Bất phương trình mũ là phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình học Phổ thông, đặc biệt là ôn thi THPT Quốc Gia. Mở giấy viết ra và cùng học 4 cách giải bất phương trình mũ siêu nhanh siêu dễ với Vuihoc ngay sau đây.
Muốn giải các bài bất phương trình nhanh tiết kiệm thời gian làm trắc nghiệm thì trước hết phải nắm được kiến thức tổng quan về bất phương trình mũ. Vì vậy hay xem ngay bảng dưới đây nhé!
1. Ôn tập lý thuyết về bất phương trình mũ Toán 12
1.1. Quy tắc xét dấu biểu thức và các dạng bất phương trình mũ cơ bản
- Quy tắc xét dấu biểu thức bất phương trình mũ:
- Bước 1: Đặt điều kiện $q[x]\neq 0$
Tìm tất cả các nghiệm của $p[x]; q[x]$ và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự lớn dần rồi điền vào trục Ox.
- Bước 2: Cho $x\rightarrow +\infty$ để xác định dấu của $g[x]$ khi $x\rightarrow +\infty$
- Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc “chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu]:
+ Qua nghiệm bội lẻ thì $g[x]$ đổi dấu
+ Qua nghiệm bội chẵn thì $g[x]$ không đổi dấu.
- Các dạng bất phương trình mũ đã học
1.2. Bất phương trình mũ
Bất phương trình mũ cơ bản thường có dạng $a^{x}> b; a^{x}< b; a^{x}\geqslant b, a^{x}\leqslant b$ với $a> 0; a\neq 1$
- Đối với trường hợp $a^{x}> b$ và $a^{x}\geqslant b$, ta có đồ thị minh họa sau:
Như vậy, tập nghiệm của bất phương trình mũ $a^{x}> b$ và $a^{x}\geqslant b$ được thể hiện như sau:
$a^{x}> b$ Tập nghiệm $a > 1$ $0 < a < 1$ $b\leqslant 0$ $R$ $R$ $b > 0$ $[log_{a}b;+\infty]$ $[-\infty; log_{a}b]$ $a^{x}\geqslant b$ Tập nghiệm
$a > 1$
$0 < a < 1$ $b\leqslant 0$ $R$ $R$ $b > 0$ $[log_{a}b;+\infty]$ $[-\infty; log_{a}b]$
- Đối với trường hợp $a^{x}< b$ và $a^{x}\leqslant b$
Như vậy, tập nghiệm của bất phương trình $a^{x}< b$ và $a^{x}\leqslant b$
$a^{x}< b$ Tập nghiệm $a > 1$ $0 < a < 1$ $b\leqslant 0$ $\varnothing $ $\varnothing $ $b > 0$ $[-\infty, log_{a}b]$ $[a;+\infty]$ $a^{x}\geqslant b$ Tập nghiệm $a > 1$ 0 a^{g[x]}$
- Nếu a>1 thì $a^{f[x]}> a^{g[x]}\Leftrightarrow f[x]> g[x]$ [cùng chiều khi $a > 1$]
- Nếu 0 a^{g[x]}\Leftrightarrow [a-1][f[x]- g[x]]> 0$ [hoặc xét 2 trường hợp của cơ số].
2.2. Bài tập áp dụng giải bất phương trình mũ
Tham khảo bài tập phương trình bất phương trình mũ kèm đáp án: Tại đây
Ví dụ: Giải bất phương trình mũ $2^{x^{2}-5x+6}> 1$
Giải:
BPT $\Leftrightarrow 2^{x^{2}-5x+6}> 2^{0}$ $\Leftrightarrow x^{2}-5x+6> 0$
$\Leftrightarrow x < 2$ hoặc $x > 3$
3. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
3.1. Lý thuyết cần nhớ
Tùy vào từng dạng mà ta sẽ có những cách giải bất phương trình mũ khác nhau. Tuy nhiên, đối với phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.
- Dạng 1: $m.a^{{2f[x]}}+ n.a{{2 =a{^{f[x]}} [t>0] f[x]}}+p> 0$
- Ta đặt: $t= a^{^{2f[x]}} [t>0]$
- Đưa về dạng phương trình ẩn t, ta được phương trình: $m.t^{2}+n.t+p> 0$
- Tương tự, đối với bất phương trình $m.a^{{3f[x]}}+ n.a{^{3f[x]}}+p> 0$, ta cũng đặt
$t=a^{^{f[x]}} [t>0]$ rồi đưa về phương trình bậc 3 và giải như bình thường.
- Dạng 2: $m.a^{{2f[x]}}+n.ab{f[x]}+p.b^{2f[x]}> 0$
- Đầu tiên, chia 2 vế của bất phương trình cho $b^{2f[x]}$, ta được phương trình:
$m.a^{{2f[x]}}+n.ab{f[x]}+p.b^{2f[x]}> 0\Leftrightarrow m[\frac{a}{b}]{2f[x]}+ n[\frac{a}{b}]{f[x]}$
Đặt $t=[\frac{a}{b}]{f[x]} [t>0]$ $\Rightarrow m.t{2} \Rightarrow +n.t+p> 0$
- Tương tự, với bất phương trình $m.a^{{3f[x]}}+ n.[a{2}.b]{f[x]}+p[ab{2}]{f[x]}+ q [b]{^{3f[x]}}> 0$
Ta cũng chia cả 2 vế của bất phương trình cho $[b]{{3f[x]}}$ sau đó đặt $t=[\frac{a}{b}]{3} [t>0]$ rồi đưa về phương trình bậc 3: $m.t{3}+n.t^{2}+p.t+q> 0$ và giải như bình thường:
- Dạng 3:$m.a^{{2f[x]}}+ n.a{{f[x]+g[x]}}+ p.a{^{2g[x]}}> 0$
- Phân tích bất phương trình, ta có: $m.a^{{2f[x]}}+ n.a{{f[x]+g[x]}}+ p.a{{2g[x]}}> 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow m.a{2[{f[x]-g[x]}]}+ n.a{2[^{f[x]-g[x]}]}+p> 0$
Đặt: $t=a^{{f[x]-g[x]}} [t>0]$ $\Rightarrow m.t{2}+n.t+p> 0$
3.2. Bài tập áp dụng
Tham khảo bài tập phương trình bất phương trình mũ chọn lọc kèm đáp án: Tại đây
a, $\frac{2^{x-1}-2x+1}{2^x-1{{}}}\leqslant 0\Leftrightarrow\frac{\frac{2}{2{x}}-2x+1}{2^x-1{^{}}}\leqslant 0$
Đặt $t=2_{x}; t>0$ bất phương trình trở thành:
$\frac{\frac{2}{2t}-t+1}{t-1{{}}}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{-t{2}+t+2}{t[t-1]}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow 0 < t < 1$ hoặc $t\geqslant 2$ $\Leftrightarrow$ $x < 0$ hoặc $x\geqslant 1$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: $[-\infty ;0]\cup [1;+\infty]$
Nắm chắc kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán 12 với bộ bí kíp Cán Đích 9+ của VUIHOC ngay!!!
4. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp Logarit hóa
4.1. Lý thuyết cần nhớ
Xét bất phương trình dạng: $a^{f[x]}> b^{g[x]} [a\neq; b> 0]$
- Lấy logarit 2 vế với cơ số $a > 1$, ta được bất phương trình: $log_{a}a^{f[x]}> log_{a}b^{g[x]}\Leftrightarrow f[x]> g[x]log_{a}b$
- Lấy logarit 2 vế với cơ số $0 < a log_{a}b^{g[x]}\Leftrightarrow f[x] > g[x]log_{a}b$
4.2. Bài tập áp dụng
Tham khảo ngay bài tập kèm giải bất phương trình mũ: Tại đây
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $2^{x+2} > 3$
Giải: BPT: $\Leftrightarrow log_{2}2^{x+2} > log_{2}3$ $\Leftrightarrow x+2 > log_{2}3$ $\Leftrightarrow x > log_{2}3-2= log_{2}$ Vậy tập nghiệm là: $[log_{2}\frac{3}{4};+\infty]$
5. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp xét tính đơn điệu hàm số
5.1. Lý thuyết cần nhớ
Cho hàm số $y=f[t]$ xác định và liên tục trên tập xác định D:
- Nếu hàm số $f[t]$ luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D $ thì $f[u] > f[v]\Leftrightarrow u>v$
- Nếu hàm số $f[t]$ luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f[v] > f[u]\Leftrightarrow u 13$
Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x+4\geqslant 0 & & \\ 2x+4\geqslant 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geqslant -2$
Bất phương trình tương đương: $3^{\sqrt{x+4}}+2^{\sqrt{2x+4}}> 13$
Xét hàm số $f[x]=3^{\sqrt{x+4}}+2^{\sqrt{2x+4}}-13$ với $x\geqslant -2$
Ta có: $f'[x]=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}.3^{\sqrt{x+4}}In3+\frac{2}{\sqrt{x+2}}.4^{\sqrt{x+2}}In4 > 0, \forall x\geqslant -2$
Suy ra: $f[x]$ đồng biến trên $[-2;+\infty]$
+ Nếu $x > 0$ thì $f[x] > f[0]\Leftrightarrow 3^{\sqrt{x+4}}+4^{\sqrt{x+2}} > 0$ nên $x > 0$ là nghiệm
+ Nếu $-2\leqslant x\leqslant 0$ thì $f[x]\leqslant f[0] \Leftrightarrow 3^{\sqrt{x+4}}+4^{\sqrt{x+2}}\leqslant 0 nên -2\leq x\leqslant 0$ không có nghiệm
Vậy x > 0 là nghiệm của bất phương trình.
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
6. Bài tập áp dụng tổng hợp giải bất phương trình mũ
Để luyện tập thành thạo tất cả các phương pháp giải bất phương trình mũ, VUIHOC đã biên soạn gửi tặng các em bộ tài liệu luyện tập giải bất phương trình mũ siêu chi tiết và đầy đủ các phương pháp trên. Nhớ tải về để làm thử nhé!
\>>>Tải xuống bộ bài tập tổng hợp giải bất phương trình mũ