Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại [zalo ]: 0393.732.038
Điện thoại: 039.373.2038 [zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ]
Kênh Youtube: //bitly.com.vn/7tq8dm
Email: tailieumontoan.com@gmail.com
Group Tài liệu toán đặc sắc: //bit.ly/2MtVGKW
Page Tài liệu toán học: //bit.ly/2VbEOwC
Website: //tailieumontoan.com
Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m được chúng tôi biên soạn và chia sẻ xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Tài liệu này gồm các dạng bài tập tìm điểm cố định mà đồ thi hàm số luôn đi qua, kèm theo đáp án chi tiết để các em dễ theo dõi, ngoài ra tài liệu tổng hợp các bài toán để các em học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức.
1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m:
- Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số [dm] tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số [dm] cũng thay đổi theo hai trường hợp:
+ Hoặc mọi điểm của [dm] đều di động
+ Hoặc có một vài điểm của [dm] đứng yên khi m thay đổi
- Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số [dm]. Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m
- Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0
2. Bài tập ví dụ về bài toán chứng minh đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định:
Bài 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng [d] có phương trình y = [m + 1]x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn:
Gọi điểm M[x0; y0] là điểm cố định mà đường thẳng [d] luôn đi qua, sau đó tìm giá trị x0 và y0 thỏa mãn.
Lời giải:
Gọi M[x0; y0] là điểm cố định mà đường thẳng [d] luôn đi qua. Khi đó ta có:
⇔ y0 = [m + 1]x0 + 2x0 - m với mọi m
⇔ y0 = mx0 + x0 + 2x0 - m với mọi m
⇔ y0 - mx0 - 3x0 - m = 0 với mọi m
⇔ m[-x0 - 1] + [y0 - 3x0] = 0 với mọi m
Vậy với mọi m, họ các đường thẳng [d] có phương trình y = [m + 1]x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M[1; 3]
Bài 2: Cho hàm số y = [2m - 3]x + m - 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.
Lời giải:
Gọi M[x0; y0] là điểm cố định mà đường thẳng [d] luôn đi qua. Khi đó ta có:
y0 = [2m - 3]x0 + m - 1 với mọi m
⇔ y0 = 2mx0 - 3x0 + m - 1 với mọi m
⇔ y0 - 2mx0 - 3x0 + m - 1 = 0 với mọi m
⇔ m[-2x0 + 1] + [y0 - 3x0 - 1] = 0 với mọi m
Vậy với mọi m, họ các đường thẳng [d] có phương trình y = [m + 1]x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ
Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m - 1. Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m
Lời giải:
Gọi M[x0; y0] là điểm cố định mà đường thẳng [d] luôn đi qua. Khi đó ta có:
y0 = mx0 + 3m - 1 với mọi m
⇔ y0 - mx0 - 3m + 1 = 0 với mọi m
⇔ m[-x0 - 3] + [y0 + 1] = 0 với mọi m
Vậy với mọi m, họ các đường thẳng [d] có phương trình y = [m + 1]x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M[-3; -1]
Bài 4: Cho hàm số y = [m - 1]x + 2020. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m
Lời giải:
Gọi M[x0; y0] là điểm cố định mà đường thẳng [d] luôn đi qua. Khi đó ta có:
y0 = [m - 1]x0 + 2020 với mọi m
⇔ y0 - mx0 - x0 - 2020 = 0 với mọi m
⇔ -mx0 + [y0 - x0 - 2020] = 0 với mọi m
Vậy với mọi m, họ các đường thẳng [d] có phương trình y = [m + 1]x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M[0; 2020]
Bài 5: Chứng minh các đường thẳng có phương trình sau luôn đi qua 1 điểm cố định.
a, y = 3[m + 1]x - 3m - 2
b, [m + 2]x + [m-3]y - m + 8 = 0
Hướng dẫn giải
a, y = 3[m + 1]x - 3m - 2
Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M[xo;yo] với mọi m
Ta có: yo = 3[m+1]xo - 3m - 2
⇔ yo = 3xom + 3xo - 3m - 2
⇔ [3xo -3]m = yo - 3xo + 2
⇔ 3xo - 3 = 0 và yo - 3xo + 2 = 0
⇔ xo = 1; yo = 1
b, [m + 2]x + [m-3]y - m + 8 = 0
Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M[xo; yo] với mọi m
Ta có: [m+2]xo + [m-3]yo - m + 8 = 0
⇔ mxo + 2xo + myo - m + 8 = 0
⇔ m[xo + yo -1] + 2xo - 3yo + 8 = 0
⇔ xo + yo - 1 = 0 và -2xo + 3yo - 8 = 0
⇔ xo = -1 và yo = 2
Bài 6: Cho đường thẳng [d] có dạng: y=[2a-1]x-3.
a, Viết phương trình đường thẳng [d] biết đường thẳng đi qua A[1;-1]
b, Viết phương trình đường thẳng [d’] vuông góc với đường thẳng [d] và cắt trục tung tại B có tung độ là 4/3 .
c, Vẽ [d] và [d’] trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm C giữa [d] và [d’].
Hướng dẫn giải
- A[1;-1] thuộc vào [d] nên: -1 = [2a-1].1 -3 ⇔ 2a = 3 ⇔ a = 3/2
Phương trình đường thẳng [d]: y=[2. 3/2 - 1]x - 3 ⇔ y = 2x - 3.
- Phương trình đường thẳng [d’] có dạng y = a’x+b’
[d’] vuông góc với [d] ⇔ a’.2 = -1 ⇔ a’ = -1/2
Vậy [d’]: y= -1/2x + b
Tọa độ điểm B[0; 4/3] thuộc [d] ⇔ 4/3 = -1/2.0 + b ⇔ b = 4/3
Phương trình đường thẳng [d’]: y= -1/2x + 4/3
c, Phương trình hoành độ giao điểm C giữa [d] và [d’]:
2x-3 = -1/2x + 4/3
2x+ 1/2x= 4/3 + 3
5/2x = 13/3
x = 26/15
\=> y = 2.26/15 - 3 = 7/15
Vậy C[26/15; 7/15]
Bài 7: Cho hàm số y = 2mx + m - 1. Chứng minh đồ thị hàm số [d] của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải
Gọi điểm cố định có tọa độ [x0; y0]. Khi đó với mọi m ta có
m[2x0 + 1] - 1 – y0 = 0
Vậy đồ thị [d] của hàm số luôn đi qua một điểm cố định là điểm
Bài 8: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = [m + 5]x + 2m - 10 luôn đi qua một điểm cố định với mọi tham số m.
Hướng dẫn giải
Gọi điểm cố định cần tìm có tọa độ [x0; y0]. Khi đó với mọi giá trị của tham số m ta có
y0 = [m + 5]x0 + 2m -10
\=> m[x0 + 2] + 5x0 – y0 – 10 = 0
\=> Với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định có tọa độ [−2; −20]
Bài 9: Chứng minh đồ thị hàm số y = [m + 1]x – 2m đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn giải
Gọi điểm cố định có tọa độ [x0; y0]. Khi đó với mọi giá trị của tham số m ta có:
y0 = [m + 1]x0 – 2m
\=> m[x0 – 2] + x0 – y0 = 0
\=> Với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định có tọa độ [2; 2].
Bài 10: Cho hàm số y = [2m + 1]x + m + 4 [m là tham số] có đồ thị là đường thẳng [d]. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng [d] luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
Giả sử M[x0; y0] là điểm cố định của đường thẳng [d]
Khi đó ta có:
y0 = [2m + 1]x0 + m + 4
\=> m[2x0 + 1] + x0 + 4 – y0 = 0
\=> Với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định
3. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định:
Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = [m + 1]x - 2m [dm]. Chứng minh rằng đồ thị hàm số [dm] luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
Bài 2: Cho hàm số y = [m - 1]x + m + 3. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m
Bài 3: Cho hàm số y = [2m - 3]x + m - 5. Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.
Bài 4: Cho hàm số y = [m + 2]x + 2m - 1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.
Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = [m + 2]x + m - 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, hãy xác định điểm đó
Bài 6: Cho hàm số y = mx - 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.