Bài toán về phương trình mặt phẳng và mặt cầu năm 2024

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1,2, - 4} \right);{\text{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\text{ và }} C\left( {2,2,3} \right)\). Mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (xOy) có bán kính là :

• A \(\sqrt {34} \)
• B \(\sqrt {26} \)
• C \(34\)
• D \(26\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Tâm I thuộc mặt phẳng \(\left( {xOy} \right):{\text{ }}z = 0\) nên ta có \(z = 0\) . Suy ra, giả sử \(I\left( {x,y,0} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) qua \(A,{\text{ }}B,{\text{ }}C\) nên ta có \(IA = IB = IC = R\)

Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}&{}\\{I{B^2} = I{C^2}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(4)}^2} = {{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2}}&{}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2} = {{(x - 2)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(3)}^2}}&{}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1}&{}\\{ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 10y = - 10}&{}\\{2x + 10y = 6}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}&{}\\{x = - 2}&{}\end{array}} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2,1,0} \right)\).

Có \(IA = \sqrt {26} = R\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Bài viết giúp làm rõ lý thuyết phương trình mặt cầu về: Phương trình chính tắc, phương trình tổng quát và vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng. Ứng dụng để giải các dạng toán đặc trưng như: Viết phương trình mặt cầu, tương giao và tiếp xúc, …

Tổng quan lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình mặt cầu

Khái niệm

Trong không gian ba chiều, mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước một khoảng không đổi R. Khi đó O gọi là tâm và khoảng cách R gọi là bán kính mặt cầu. Trong toán học, tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Định nghĩa

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: S(I; R) ⇒ S(I; R) = {M | IM = R}.

Mặt cầu tâm I, bán kính R.

Các dạng phương trình mặt cầu

Phương trình chính tắc

Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R > 0.

(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1)

Phương trình tổng quát

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)

⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu:

a2 + b2 + c2 – d > 0

– (S) có tâm I(a; b; c)

– (S) có bán kính:

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Khi đó:

– Nếu d > R: Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

Hình ảnh cho thấy mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

– Nếu d = R: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm.

Hình ảnh cho thấy mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

– Nếu d < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I’ và bán kính .

Hình ảnh cho thấy mặt phẳng cắt mặt cầu

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của I lên ∆. Khi đó:

– IH > R: ∆ không cắt mặt cầu.

Hình ảnh cho thấy đường thẳng không cắt mặt cầu

– IH = R: ∆ tiếp xúc với mặt cầu. ∆ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.

Hình ảnh cho thấy đường thẳng tiếp xúc mặt cầu

– IH < R: ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Hình ảnh cho thấy đường thẳng cắt mặt cầu

Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

– Xác định: d(I; ∆) = IH

– Lúc đó:

Đường tròn trong không gian Oxyz

Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (α).

Đường tròn trong không gian Oxyz

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

(α): Ax + By + Cz + D = 0

Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C)

– Tâm I’ = d ∩ (α)

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp (α)

– Bán kính:

Điều kiện tiếp xúc

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

– Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; ∆) = R

– Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R

Lưu ý: Tìm tiếp điểm M0(x0; y0; z0)

Sử dụng tính chất:

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Viết phương trình mặt cầu

Phương pháp giải

Thuật toán 1

Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c).

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Thuật toán 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 – d > 0)

Bài tập vận dụng

Câu 1. Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

1. (S) có tâm I(2; 2; –3) và bán kính R = 3

2. (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; –2; 1)

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(–2; 0; 1)

Hướng dẫn giải

1. Mặt cầu tâm I(2; 2; –3) và bán kính R = 3, có phương trình:

(S): (x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9

2. Ta có:

Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính , có phương trình:

(S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 18

3. Ta có:

Gọi I là trung điểm AB ⇒

Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình:

Câu 2. Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

1. (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.

2. (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x − 15y − 12z +75 = 0.

3. (S) có tâm I(–1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng ∆:

Hướng dẫn giải

1. Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ta có:

Do (S) đi qua A, B

⇒ I(10; 0; 0) và

Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính , có phương trình (S): (x – 10)2 + y2 + z2 = 50

2. Do (S) tiếp xúc với (α)

Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S): x2 + y2 + z2 = 9

3. Chọn

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là . Ta có:

Do (S) tiếp xúc với ∆

Mặt cầu tâm I(–1; 2; 0) và bán kính , có phương trình (S):

Câu 3. Viết phương trình mặt cầu (S) biết:

1. (S) qua bốn điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3), D(1; 0; 4).

2. (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).

Hướng dẫn giải

1. Cách 1: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

Do đó: I(–2; 1; 0) và . Vậy (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, (a2 + b2 + c2 – d > 0)

Do A(1; 2; –4) ∈ (S) ⇔ –2a – 4b + 8c + d = –21 (1)

Tương tự:

B(1; –3; 1) ∈ (S) ⇔ –2a + 6b – 2c + d = –11 (2)

C(2; 2; 3) ∈ (S) ⇔ –4a – 4b – 6c + d = –17 (3)

D(1; 0; 4) ∈ (S) ⇔ –2a – 8c + d = –17 (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d suy ra phương trình mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

2. Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) ⇒ I(0; b; c)

Ta có:

Vậy I(0; 7; 5) và . Vậy (S): x2 + (y – 7)2 + (z – 5)2 = 26

Câu 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆: và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β): x + 2y + 2z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi I(t; –1; –t) ∈ ∆ là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

Suy ra: I(3; –1; –3) và .

Vậy

Câu 5. Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A(2; 6; 0), B(4; 0; 8) và có tâm thuộc d:

Hướng dẫn giải

Ta có d: . Gọi I(1 – t; 2t; –5 + t) ∈ d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

Ta có:

Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B ⇔ AI = BI

và

Vậy

Câu 6. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; –1) và cắt đường thẳng ∆: tại hai điểm A, B với AB = 16.

Hướng dẫn giải

Chọn . Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là

Ta có:

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết:

Vậy (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 76

Câu 7. Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng ∆: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và ∆ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20π.

Hướng dẫn giải

Ta có ∆:

Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5(1 + 7t) – 4(3t) + (1 – 2t) – 6 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ I(1; 0; 1)

Ta có:

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

Vậy

Câu 8. Cho mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 2 = 0 và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.

Hướng dẫn giải

Gọi I(–t; 2t – 1; t + 2) ∈ d là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).

Theo giả thiết:

Mặt khác:

Với : Tâm , suy ra

Với : Tâm , suy ra

Câu 9. Cho điểm I(1; 0; 3) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho ∆IAB vuông tại I.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương và P(1; –1; 1) ∈ d

Ta có:

Suy ra:

Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, ∆IAB vuông tại I

Vậy

Câu 10. (Khối A – 2011) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

Hướng dẫn giải

(S) có tâm I(2; 2; 2), bán kính . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp

Khoảng cách:

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng: ax + by + cz > 0 (a2 + b2 + c2 > 0) (*)

Do (P) đi qua A, suy ra: 4a + 4b = 0 ⇔ b = –a

Lúc đó:

Theo (*), suy ra (P): x – y + z = 0 hoặc x – y – z = 0

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).

Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).

Bước 3: Gọi r là bán kính của (C):

Câu 11. Chứng minh rằng: Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 3 = 0 cắt mặt phẳng (P): x – 2 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 0) và bán kính R = 2.

Ta có: d(I, (P)) = 1 < 2 = R ⇔ mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (đpcm)

Đường thẳng d qua I(1; 0; 0) và vuông góc với (P) nên nhận làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình d:

– Tọa độ tâm I’ đường tròn là nghiệm của hệ:

– Ta có: d(I, (P)) = 1. Gọi r là bán kính của (C), ta có:

Dạng 2. Sự tương giao và sự tiếp xúc

Phương pháp gải

Các điều kiện tiếp xúc:

– Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I, ∆) = R

– Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I, (α)) = R

Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho đường thẳng (∆): và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4z + 1 = 0. Số điểm chung của (∆) và (S) là

1. 0

2. 1

3. 2

4. 3

Bài giải

⟹ Chọn A

Đường thẳng (∆) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; –2) và bán kính R = 2

Ta có và

Vì d(I, ∆) > R nên (∆) không cắt mặt cầu (S)

Câu 2. Cho điểm I(1; –2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

1. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9

2. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

3. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 10

4. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi M là hình chiếu của I(1; –2; 3) lên Oy, ta có: M(0; –2; 0)

là bán kính mặt cầu cần tìm.

Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

Câu 3. Cho điểm I(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình . Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:

1. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 50

2. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 25

3. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 25

4. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 50

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Đường thẳng (d) đi qua I(1; –2; 3) và có VTCP

Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 50

Câu 4. Mặt cầu (S) tâm I(2; 3; –1) cắt đường thẳng d: tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16 có phương trình là:

1. (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 17

2. (x + 2)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 = 289

3. (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289

4. (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 280

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Đường thẳng (d) đi qua M(11; 0; –25) và có vectơ chỉ phương

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:

Vậy (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289

Câu 5. Cho đường thẳng d: và điểm I(4; 1; 6). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6. Phương trình của mặt cầu (S) là:

1. (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 18

2. (x + 4)2 + (y + 1)2 + (z + 6)2 = 18

3. (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 9

4. (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 16

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Đường thẳng d đi qua M (−5; 7; 0) và có vectơ chỉ phương

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :

Vậy (S): (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 6)2 = 18

Câu 6. Cho điểm I(1; 0; 0) và đường thẳng d: . Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Đường thẳng (∆) đi qua M(1; 1; –2) và có vectơ chỉ phương

Ta có và

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :

Xét tam giác IAB, có

Vậy phương trình mặt cầu là:

Câu 7. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu (S) qua A(0; 0; 5) biết:

1. Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương

2. Vuông góc với mặt phẳng (P): 3x − 2y + 2z +3 = 0.

Hướng dẫn giải

1. Đường thẳng d qua A(0; 0; 5) và có một vectơ chỉ phương , có phương trình d:

2. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là

Đường thẳng d qua A(0; 0; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương , có phương trình d:

Câu 8. Cho (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 6y + 2z + 3 = 0 và hai đường thẳng

.

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1 và ∆2 đồng thời tiếp xúc với (S).

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 3; –1), R = 4

Ta có: ∆1 có một vectơ chỉ phương là

∆2 có một vectơ chỉ phương là

Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do chọn

Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng: –2x – y + 2z + m = 0

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là: −2x − y + 2z + 7 = 0, −2x − y + 2z – 17 = 0

Câu 9. Viết phương trình tiếp diện của mặt (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 6z + 5 = 0, biết tiếp diện:

1. Qua M(1; 1; 1)

2. Song song với mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 1 =0

3. Vuông góc với đường thẳng d:

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 2; 3), bán kính R = 3

1. Để ý rằng, M ∈ (S). Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là , có phương trình :

(α): 2(x – 1) – (y – 1) – 2(z – 1) = 0 ⇔ 2x – y – 2z + 1 = 0

2. Do mặt phẳng (α) // (P) nên (α) có dạng: x + 2y – 2z + m = 0

Do (α) tiếp xúc với (S)

– Với m = −6 suy ra mặt phẳng có phương trình: x + 2y – 2z – 6 = 0

– Với m = 12 suy ra mặt phẳng có phương trình: x + 2y – 2z + 12 = 0

3. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

Do mặt phẳng (α) ⊥ d nên (α) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Suy ra mặt phẳng (α) có dạng: 2x + y – 2z + m = 0

Do (α) tiếp xúc với (S)

– Với m = −3 suy ra mặt phẳng có phương: x + 2y – 2z – 3 = 0

– Với m = 15 suy ra mặt phẳng có phương trình: x + 2y – 2z + 15 = 0

Trắc nghiệm viết phương trình mặt cầu

Cũng tương tự như phần tự luận, để viết được phương trình mặt cầu ta cũng dựa vào 2 dạng phương trình cơ bản như bên dưới. Tuy nhiên dưới áp lực thời gian của câu hỏi ta cần nhận biết được khi nào thì sử dụng loại phương trình nào để tránh mất thời gian cho việc biến đổi.

Viết phương trình mặt cầu trong trắc nghiệm

Phương trình mặt cầu (S) dạng 1

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm I(a;b;c) và bán kính R. Khi đó: (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R ⇔ (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Phương trình mặt cầu (S) dạng 2

(S): x2 + y2 + z2 + 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Với a2 + b2 + c2 – d > 0 là phương trình mặt cầu dạng 2

Tâm I(a; b; c), bán kính:

Ví dụ

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I(0; 0; –3) và đi qua điểm M(4; 0; 0). Phương trình của (S) là

1. x2 + y2 + (z + 3)2 = 25

2. x2 + y2 + (z + 3)2 = 5

3. x2 + y2 + (z – 3)2 = 25

4. x2 + y2 + (z – 3)2 = 5

Hướng dẫn giải

Tâm: I(a;b;c)

Bước 1: (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R ⇔ (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Bước 2:

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có bán kính của mặt cầu (S) là

Từ đó ta có phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + (z + 3)2 = 25

⟹ Chọn A

Bài tập vận dụng

Câu 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(–1; 2; –3) và đi qua giao điểm của đường thẳng d: với mặt phẳng (Oxy).

1. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 27

2. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 27

3. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9

4. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Mặt phẳng Oxyz là: z = 0

Gọi A = d ∩ (Oxyz) ⇒ t = –3 ⇒ A(–2; 5; 0)

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là

Phương trình mặt cầu (S) tâm và bán kính I(–1; 2; –3) và bán kính là

(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 27

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I(–1; 2; –3) và tiếp xúc với trục Ox. Phương trình của (S) là:

1. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 13

2. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 27

3. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 13

4. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 27

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Gọi A là hình chiếu của I lên trục Ox ⇒ A(–1; 0; 0).

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là

Phương trình mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; –3) và bán kính là

(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 13

Câu 3. Mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; –3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 1 = 0 có phương trình:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là:

Câu 4. Mặt cầu (S) tâm I(2; 1; 5) và tiếp xúc với mặt cầu (S1): (x – 1)2 + y2 + z2 = 3 có phương trình:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Từ (S1): (x – 1)2 + y2 + z3 = 3 ⇒ Tâm I1(1; 0; 0) và bán kính

Do vậy điểm I(2; 1; 5) nằm ngoài mặt cầu (S1): (x – 1)2 + y2 + z2 = 3

Ta có pt đường thẳng II1 là

Gọi A = II1 ∩ (S1) ⇒ A(1 – t; –t; –5t). Do A ∈ (S1) nên

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 5)2 = 12

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 5)2 = 48

Câu 5. Mặt cầu (S) tâm I(1; 2; 4) và tiếp xúc với mặt phẳng (S1): (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 27 có phương trình:

1. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 3

2. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 9

3. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 3

4. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 9

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Từ (S1): (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 27, tâm I1(–1; 0; 2) và bán kính

Do vậy điểm I(1; 2; 4) nằm trong mặt cầu (S1)

(S) và (S1) tiếp xúc

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 3

Câu 6. Mặt cầu (S) tâm I(–1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình:

1. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 1

2. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 14

3. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 1

4. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Phương trình mặt phẳng (Oyz): x = 0

Bán kính mặt cầu là:

Phương trình mặt cầu là: (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 1

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 2), B(3; 5; 0). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

1. (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2 = 3

2. (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2 = 12

3. (x + 2)2 + (y + 4)2 + (z + 1)2 = 12

4. (x + 2)2 + (y + 4)2 + (z + 1)2 = 3

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Trung điểm của đoạn thẳng AB là

Mặt cầu đường kính AB có tâm I(2; 4; 1), bán kính

Vậy phương trình của mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2 = 3

Câu 8. Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1; 2; 0)

1. x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0

2. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 6z + 5 = 0

3. x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 11 = 0

4. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 6z + 11 = 0

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c)

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1; 2; 0) nên M là hình chiếu của I(a; b; c) lên mp (Oxy) suy ra I(2; 1; c)

Ta có mp (Oxy) có phương trình là z = 0

Ta có

Với c = 3

Mặt cầu I(2; 1; 3), bán kính R = 3 có phương trình là:

(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z + 5 = 0

Với c = –3

Mặt cầu I(2; 1; –3), bán kính R = 3 có phương trình là:

(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 6z + 5 = 0

Câu 9. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1; 2; 3), B(4; –6; 2) có tâm I thuộc trục Ox là

1. (S): (x – 7)2 + y2 + z2 = 6

2. (S): (x + 7)2 + y2 + z2 = 36

3. (S): (x + 7)2 + y2 + z2 = 6

4. (S): (x – 7)2 + y2 + z2 = 49

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Vì I ∈ Ox nên gọi I(x; 0; 0).

Do (S) đi qua A, B nên

Suy ra I(7; 0; 0) ⇒ R = IA = 7

Do đó (S): (x – 7)2 + y2 + z2 = 49

Câu 10. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(2; 0; –2), B(–1; 1; 2) và có tâm I thuộc trục Oy là

1. (S): x2 + y2 + z2 + 2y – 8 = 0

2. (S): x2 + y2 + z2 – 2y – 8 = 0

3. (S): x2 + y2 + z2 + 2y + 8 = 0

4. (S): x2 + y2 + z2 – 2y + 8 = 0

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Vì I ∈ Oy nên gọi I(0; y; 0).

Do (S) đi qua A, B nên

Suy ra I(70; –1; 0) ⇒ R = IA = 3

Do đó (S): x2 + (y + 1)2 + z2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2y – 8 = 0

Câu 11. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và tâm I ∈ (Oxy) là

1. (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

2. (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 9

3. (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

4. (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 9

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Vì I ∈ (Oxy) nên gọi I(x; y; 0). Ta có:

Câu 12. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2; 1; 1)

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Giả sử I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2; 1; 1).

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2; 1; 1) có các thành phần tọa độ đều dương nên a = b = c = r

Phương trình mặt cầu (S) là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – a)2 = a2

Vì mặt cầu (S) đi qua điểm M(2; 1; 1) nên

Câu 13. Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; –4) và thể tích bằng 36π. Phương trình của (S) là

1. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 9

2. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 4)2 = 9

3. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 9

4. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 3

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Ta có:

Khi đó (S) có tâm I(1; 2; –4) và bán kính R = 3

⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 9

Câu 14. Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và diện tích bằng 32π. Phương trình của (S) là

1. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16

2. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 16

3. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 8

4. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 8

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta có:

Khi đó (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính

⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 8

Câu 15. Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0). Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Biết diện tích lớn nhất của (C) bằng 3π. Phương trình của (S) là

1. x2 + (y – 2)2 + z2 = 3

2. (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 3

3. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 9

4. (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 9

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Nhận xét: Mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) và diện tích của (C) lớn nhất khi (P) qua tâm I của (S).

Ta có:

Khi đó (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính

⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 3

Câu 16. Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1). Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Biết chu vi lớn nhất của (C) bằng . Phương trình của (S) là

1. (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 4

2. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 2

3. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4

4. (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 2

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Đường tròn (C) đạt chu vi lớn nhất khi (C) đi qua tâm I của mặt cầu (S).

Ta có:

Khi đó (S) có tâm I(1; 1; 1) và bán kính

⇒ (S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 2

Câu 17. Cho I(1; –2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho

1. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16

2. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 20

3. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 25

4. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I(1; –2; 3) trên trục Ox

⇒ M (1; 0; 0) và M là trung điểm của AB

Ta có:

∆IMA vuông tại M

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16

Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt cầu đi qua A(2; 3; –3), B(2; –2; 2), C(3; 3; 4) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).

1. (x – 6)2 + (y – 1)2 + z2 = 29

2. (x + 6)2 + (y + 1)2 + z2 = 29

3. (x + 6)2 + (y – 1)2 + z2 = 29

4. (x – 6)2 + (y + 1)2 + z2 = 29

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Giả sử I(a; b; 0) ∈ (Oxy) là tâm, r là bán kính của mặt cầu (S) và đi qua A(2; 3; –3), B(2; –2; 2), C(3; 3; 4)

Phương trình mặt cầu (S) là (x – a)2 + (y – b)2 + z2 = r2

Vì mặt cầu đi qua A(2; 3; –3), B(2; –2; 2), C(3; 3; 4) nên

Vậy phương trình mặt cầu (S) là (x – 6)2 + (y – 1)2 + z2 = 29

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3), D(1; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

1. (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

2. (x – 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 26

3. (x + 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 26

4. (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Giả sử (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thay lần lượt tọa độ của A, B, C, D vào phương trình ta được