Xét các số thực a b thỏa mãn a lớn hơn b lớn hơn 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|
Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = log a b 2 a 2 + 3 log b a b A.19 B.13 C.14 D.15 Các câu hỏi tương tự
Xét các số thực a; b thỏa mãn a> b> 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = log 2 a b a 2 + 3 log b a b A. 19 B. 13 C. 14 D. 15
Xét các số thực a, b thỏa mãn 1 4 < b < a < 1 Biểu thức P = log a ( b - 1 4 ) - log a b b đạt giá trị nhỏ nhất khi A. log a b = 1 3 B. log a b = 2 3 C. log a b = 3 2 D. log a b = 3
Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P của biểu thức P = log a b 2 a 2 + 3 log b a b A. 19. B. 13. C. 14. D. 15.
Giả sử a, b là các số thực sao cho x3 + y3 = a.103x + b.102x đúng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn log (x + y) = z và log(x2 + y2) = z + 1. Giá trị của a+b bằng: A. - 31 2 B. - 25 2 C. 31 2 D. 29 2
Xét số thực a,b thỏa mãn b > 1 và a ≤ b < a . Biểu thức P = log a b a + 2 log b a b đạt giá trị nhỏ nhất khi A. a = b 2 . B. a 2 = b 3 . C. a 3 = b 2 . D. a 2 = b .
Cho các số thực dương a,b thỏa mãn log a = x , log b = y . Tính P = log ( a 2 b 3 ) 
Cho x,y,z,a,b,c là các số thực thay đổi thỏa mãn ( x + 3 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 2 và a+b+c=1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 là A. 3 - 2 B. 3 + 2 C. 5 - 2 6 D. 5 + 2 6 Lời giải của GV Vungoi.vn $P = {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12{\left( {{{\log }_{\frac{b}{a}}}a} \right)^2} - 3$$ = {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12{\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}\dfrac{b}{a}}}} \right)^2} - 3$$ = {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12{\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right)^2} - 3$ Ta có: $\dfrac{{3b - 1}}{4} \le {b^3}$$ \Leftrightarrow 3b - 1 \le 4{b^3}$$ \Leftrightarrow 4{b^3} - 3b + 1 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\left( {4{b^2} - 4b + 1} \right) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right){\left( {2b - 1} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng với \(\dfrac{1}{3} < b < 1\)) $ \Rightarrow {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^3}$ ( vì \(a < 1\)) $ \Rightarrow {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) \ge 3{\log _a}b$ Do đó $P \ge 3{\log _a}b + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}} - 3$$ \Leftrightarrow P \ge 3\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}$ \(\left( * \right)\) Vì \(\dfrac{1}{3} < b < a < 1\) nên \({\log _a}b > 1\) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho \(3\) số dương: \(\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)\), \(\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)\), $\dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}$ \(\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\)\( \ge 3.\,\sqrt[3]{{\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}}}\) \( \Leftrightarrow 3\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}} \ge 9\) \(\left( {**} \right)\) Từ \(\left( * \right)\)và \(\left( {**} \right)\) ta có \(P \ge 9\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)^3} = 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b - 1 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\b = {a^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2}}}\end{array} \right.\) Vậy \(\min P = 9\)
Cho hai số thực \(a\), \(b\) đều lớn hơn \(1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\) bằng A. \(\frac{4}{9}\). B. \(\frac{9}{4}\). C. \(\frac{9}{2}\). D. \(\frac{1}{4}\). Lời giải Chọn B Ta có \(S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\)\( = {\log _a}\left( {ab} \right) + {\log _b}\sqrt[4]{{ab}}\) \( = 1 + {\log _a}b + \frac{1}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)\)\( = {\log _a}b + \frac{1}{{4{{\log }_a}b}} + \frac{5}{4}\). Đặt \(x = {\log _a}b\). Do \(a\), \(b > 1\) nên \(x > 0\). Khi đó \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\). Cách 1. Ta có \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\)\( \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}\) (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(x\) và \(\frac{1}{4}x\)). Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{4x}}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{1}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). Vậy \(\min S = \frac{9}{4}\) tại \({\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \). Cách 2. Ta có \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có \(f’\left( x \right) = 1 – \frac{1}{{4{x^2}}}\)\( = \frac{{4{x^2} – 1}}{{4{x^2}}}\); \(f’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x = – \frac{1}{2} \notin \left( {0; + \infty } \right)\) hoặc \(x = \frac{1}{2} \in \left( {0; + \infty } \right)\). Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0\,\,; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \frac{9}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\). Vậy \(\min S = \frac{9}{4}\) tại \({\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \). ======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốTrang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Xét các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\).
A. B. C. D. |
