219Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung: 2 2sin cos ; 0a x b x c a b+ = + > [1] Cách 1. [ ][ ]2 2 2 2 2 21 sin cos cosc a bx x xa b a b a b⇔ = + = − α+ + +Với 2 2 2 2 2 2sin ; cos ; cos 2a b c x ka b a b a b= α = α = β⇒= α ± β + π+ + +Chú ý: [1] có nghiệm 2 2 2c a b⇔ ≤ + Cách 2. Xét cos 0 2 x = là nghiệm của [1] 0b c ⇔ + = Xét 0b c + ≠. Đặt tan 2 xt = thì 22 22 1sin ; cos 1 1t tx xt t−= =+ +. Khi đó [ ] 1 ⇔[ ] [ ] [ ]2 2 0f t c b t at c b= + − + − = Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: 33sin 3 3 cos 9 1 sin 3x x x− = + Giải [ ]3 33sin 3 3 cos 9 1 4sin 3 3sin 3 4sin 3 3 cos 9 1x x x x x x− = + ⇔ − − = 31 1sin 9 3 cos 9 1 sin 9 cos 92 2 2x x x x⇔ − = ⇔ − =[]1sin 9 3 2x π⇔ − =[ ]29 23 6 18 95 7 29 23 6 54 9kx k xk kx k xπ π π π − = + π = + ⇔ ⇔ ∈ π π π π− = + π = + » Bài 2. Giải phương trình: cos 7 . cos 5 3 sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x− = − [1] Giải [ ][ ]1 cos 7 . cos 5 sin 7 .sin 5 3 sin 2 1x x x x x⇔ + − = [ ]cos 7 5 3 sin 2 cos 2 3.sin 2 1x x x x x⇔ − − ⇔ − = 31 1 1cos 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 22 2 2 3 3 2x x x xπ π⇔ − = ⇔ − = [][ ]1cos 2 2 23 2 3 3 3x x k x k x k kπ π π −π⇔ + = ⇔ + = ± + π ⇔ = π ∨ = + π ∈» PPPHHHƯƯƯƠƠƠNNNGGGTTTRRRÌÌÌNNNHHHLLLƯƯƯỢỢỢNNNGGGGGGIIIÁÁÁCCC220Bài 3. Giải phương trình: [ ]2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x+ = + [1] Giải [ ][ ]1 2 sin 2 2 1 cos 2 3 cos 2x x x⇔ + + = +[]2 sin 2 2 1 cos 2 3 2x x⇔ + − = −.Ta có [ ] [ ][ ]2 22 2222 2 1 5 2 23 2 11 6 2a bc+ = + − = −= − = −. Ta sẽ chứng minh: 2 2 2a b c+ > − < Bước 1: Xét cos 0x= có là nghiệm của [1] hay không 0a d⇔ + = Bước 2: Xét 0 cos 0a d x+ ≠ ⇒ = không là nghiệm của [1] Chia 2 vế của [1] cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình [ ][]2 21 tan tan 1 tan 0a x b x c d x⇔ + + + + =. Đặt tant x= [ ][ ] [ ] [ ]21 0f t a d t bt c d⇔ = + + + + = Bước 3: Giải và biện luận []0f t= ⇒ Nghiệm 0tgt x= ⇒ nghiệm x. 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. a. Giải phương trình: 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − = b. Giải phương trình: 2sin 3sin cos 1 0x x x− + = Giải a. 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − = [1] Nếucos 0x= là nghiệm của [1] thì từ [1] 222cos 0sin 1sin 3 0sin 3xxxx== ⇒ ⇔ − == ⇒ Vô lý. Chia 2 vế của [1] cho 2cos 0x≠ ta nhận được [ ][]2 2 21 tan 2 tan 3 3 1 tan 0 2 tan 2 tan 0x x x x x⇔ + + − + = ⇔ − = [ ] [ ]tan 02 tan 1 tan 0tan 14x kxx x kx kx= π=⇔ − = ⇔ ⇔ ∈π= + π=» b. 2sin 3sin cos 1 0x x x− + = [2] Nếucos 0x= là nghiệm của [2] thì từ [2] 2cos 0sin 1 0xx=⇒+ =⇒ Vô lý Chia 2 vế của [2] cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình [ ][]2 2 22 tan 3tan 1 tan 0 2 tan 3 tan 1 0x x x x x⇔ − + + = ⇔ − + =[ ][ ] [ ]tan 1 tan44tan 1 2 tan 1 01tan tan2xx kx x kxx kπ= = π= + π⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈= = α= α + π» 224 Bài 2. a. Giải phương trình: 2 254 3 sin cos 4cos 2sin2x x x x+ = + b. GPT: [ ][][][]2 25 33sin 3 2 sin cos 5sin 02 2 2x x x x xπ π ππ − + + + − + = Giải a. Phương trình [ ]2 252sin 4 3 sin cos 4cos 0 12x x x x⇔ − − + = Nếu cos 0x= là nghiệm của [1] thì từ [1] 252sin 02x⇒ + = ⇒ Vô lý Chia 2 vế của [1] cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình [ ][ ]2 2 251 2 tan 4 3 tan 4 1 tan 0 9 tan 8 3 tan 3 02x x x x⇔ − − + + = ⇔ − − = [ ]3tan 3 tan tan tan3 9 3x x x k x k k−π π⇔ = = ∨ = = α ⇔ = + π ∨ = α + π ∈» b. [ ][][][]2 25 33sin 3 2 sin cos 5sin 02 2 2x x x x xπ π ππ − + + + − + = [ ]2 23sin 2 sin cos 5 cos 0 2x x x x⇔ − − = Nếu cos 0x= là nghiệm của [1] thì từ [2] cos 0sin 0xx=⇒= ⇒ Vô lý Chia 2 vế của [2] cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình [ ]2tan 1 tan442 3tan 2 tan 5 05tan tan3xx kx xxx k−π= − =−π= + π⇔ − − = ⇔ ⇔= = α= α = π Bài 3. GPT: a.13 sin coscosx xx+ = b. 14sin 6 coscosx xx+ = Giải a. 223 sin cos1 13 sin cos 3 tan 1 1 tancos coscosx xx x x xx xx++ = ⇔ = ⇔ + = + [ ]{}2tan 0tan 3 tan 0 tan tan 3 0 ;3tan 3xx x x x x k kx=π⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π + π= b. 224sin 6 cos1 14sin 6 cos 4 tan 6 1 tancos coscosx xx x x xx xx++ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ [ ][ ]2tan 1 tan4 4tan 4tan 5 0 tan 1 tan 5 0tan 5 tanx x kx x x xx x k−π −π = − = = + π − − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = = α = α + π Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 225 Bài 4. Giải phương trình: 2 237 sin 2 sin 2 3cos 3 15 0x x x+ − − = [1] Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của [1] thì từ [1] 23cos 07 sin 3 15xx=⇒= ⇒ Vô lý Chia 2 vế của [1] cho 2cos 0x≠ ta có [ ][]2 231 7 tan 4 tan 3 3 15 1 tan 0x x x⇔ + − − + = [][][ ]23 37 3 15 tan 4 tan 3 3 15 0 2x x⇔ − + − + =. Ta có 32325 12 15 9 15′∆ = + − Đặt 3 33515 15 253t t t= ⇒ = ⇒ =, ta sẽ chứng minh ∆′ ∀ ∈+ + []g t⇒ tăng /[][]0,1g t m⇒ = có nghiệm [][ ][ ][][]0,1 0 , 1 1, 2t m g g∈ ⇔ ∈ ≡. Bài 6. Cho phương trình: [ ] [ ][ ]2 2sin 2 2 sin cos 1 cos 1x m x x m x m+ − − + = a. GPT: 2m= − b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của phương trình [1] thì từ [1] suy ra 2cos 0sinxx m==22211sin 1 1cos 0sin 1sin2mmx mx kxxx m= == = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ π= + π=== Nếu 1m≠ thì cos 0x= không là nghiệm của [1], khi đó chia 2 vế của [1] cho 2cos 0x≠ ta có:[ ][ ] [ ][]2 21 tan 2 2 tan 1 1 tanx m x m m x⇔ + − − + = + 226 [ ] [ ] [ ]2tan 1 tan 2 1 tan 2 1 0f x m x m x m⇔ = − − − + + = a. Nếu 2m= − thì [ ][ ]21 3 tan 1 04x x kπ⇔ − − = ⇔ = + π b. [1] có nghiệm 21112 1102 0mmmmmm m==≠⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤≠ ′∆ ≥− − + ≥ Bài 7. Cho phương trình: [ ]2 2cos sin cos 2 sin 0 1x x x x m− − − − a. Giải phương trình [1] khi 1m= b. Giải biện luận theo m Giải a. Với 1m= ta có [ ]2 21 cos sin cos 2sin 1 0x x x x⇔ − − − = []{}cos 3sin sin 0 sin 0 co tg 3 cotg ;x x x x x x k k⇔ + = ⇔ = ∨ = − = α ⇔ ∈ π α + π b. [ ][ ]1 cos 211 sin 2 1 cos 2 0 3cos 2 sin 2 2 12 2xx x m x x m+⇔ − − − − = ⇔ − = + 3 2 11cos 2 sin 210 10 10mx x+⇔ − =. Đặt 31cos , sin10 10α = α =, khi đó ta có [ ]2 1 2 1cos cos 2 sin sin 2 cos 210 10m mx x x+ +α − α = ⇔ + α = + Nếu 1 10 1 102 112 210mm m − − − ++> ⇔ < > ∪ thì [2] vô nghiệm + Nếu 1 10 1 102 11 ,2 210mm − − − ++≤ ⇔ ∈ thì đặt 2 1cos10m += β Khi đó [ ] [ ][ ]1 2 cos 2 cos2x x k±β − α⇔ ⇔ + α = β ⇔ = + π Bài 8. Giải và biện luận: [ ]2 2sin 4sin cos 2cos 0 1m x x x x+ + = Giải • 0m=, [ ][ ]{}cos 01 2cos 2sin cos 0 ;2cot 2 cotxx x x x k kx=π⇔ + = ⇔ ⇔ ∈ + π α+ π= − = α • 0m≠ thì [ ]21 tan 4 tan 2 0m x x⇔ + + = với 4 2m′∆ = − + Nếu 2m> thì [1] vô nghiệm; Nếu 2m= thì tan 14x x k−π= − ⇔ = + π + Nếu 0 2m≠ < thì 2 4 2tan tanmx x km− ± −= = β ⇔ = β + π. Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 227 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 3 VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung 3 2 2 3sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x+ + + = với [ ]2 2 2 20 1a b c d+ + + > [ ]3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x m x n x+ + + + + = Bước 1: Xét cos 0x= có là nghiệm của phương trình hay không Bước 2: Xét cos 0x≠ không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của [1] cho 3cos 0x≠ và sử dụng công thức [ ]2 22 3sin11 tan ; tan 1 tancos cosxx x xx x= + = + ta nhận được phương trình bậc 3 ẩn tanx. Bước 3: Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tgx. 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: [ ]3 3 24 sin 3cos 3sin sin cos 0 1x x x x x+ − − = Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của [1] thì từ [1] suy ra 3 3cos 0 sin 1 sin 14 sin 3sin 0 4 sin 3sin 0x x xx x x x= = ∨ = − ⇔ ⇒ − = − = Vô lý Chia 2 vế của [1] cho 3cos 0x≠ ta có [ ][]3 2 21 4tan 3 3tan 1 tan tan 0x x x x⇔ + − + − = [][ ][]3 2 2 2 2tan tan 3tan 1 tan tan 0 tan 1 tan 3 0x x x x x x x⇔ − − + − = ⇔ − − = [ ]tan 1 tan 34 3x x x k x k kπ π⇔ = ∨ = ± ⇔ = + π ∨ = ± + π ∈» Bài 2. Giải phương trình: [ ]3sin 2 .sin 2 sin 3 6 cos 1x x x x+ = Giải [ ][ ]3 31 sin 2sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x x⇔ + − = 3 2 34 sin 3sin 2 sin cos 6 cos 0x x x x x⇔ − − + = [2] Nếucos 0x= là nghiệm của [2] thì từ [2] suy ra 3 3cos 0 sin 1 sin 14 sin 3sin 0 4 sin 3sin 0x x xx x x x= = ∨ = − ⇔ ⇒ − = − = Vô lý Chia 2 vế của [2] cho 3cos 0x≠ ta có [ ]3 22 tan 2 tan 3tan 6 0x x x⇔ − − + = [ ][ ]{}2tan 2 tan 3 0 tan 2 tan tan 3 ;3x x x x x k kπ⇔ − − = ⇔ = = α ∨ = ± ⇔ ∈ α + π ± + π 228 Bài 3. Giải phương trình: 1 3sin 2 2 tanx x+ = Giải Điều kiện: [ ]cos 0 12x x kπ≠ ⇔ ≠ + π 2 21 11 3sin 2 2 tan 1 6sin cos 2 tan 6 tan 2 tancos cosx x x x x x xx x+ = ⇔ + = ⇔ + = ⋅ [][]2 2 3 21 tan 6 tan 2 tan 1 tan 2 tan tan 4 tan 1 0x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ − − − = [ ][ ]21,21,2tan 14tan 1 2 tan 3tan 1 03 17tan tan4xx nx x xxx n= −π= − + π⇔ + − − = ⇔ ⇔±= = α= α + π Bài 4. Giải phương trình: []32 sin 2 sin4x xπ+ = [1] Giải [ ][][][ ]3331 2 2 sin 4sin 2 sin 4sin sin cos 4sin4 4x x x x x x xπ π ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = Nếu cos 0x= là nghiệm của [1] thì từ [1] suy ra 3 3cos 0 sin 1 sin 1sin 4sin sin 4sin 0x x xx x x x= = ∨ = − ⇔ ⇒ = − = Vô lý Chia 2 vế của [1] cho 3cos 0x≠ ta có [ ][ ][]32 2 2 31 tan 1 4tan 1 tan tan 3tan 3tan 1 4 tan 4tanx x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + + + = + [ ][ ]3 2 23tan 3tan tan 1 0 tan 1 3tan 1 0 tan 14x x x x x x x kπ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = + π Bài 5. Giải phương trình: []38 cos cos33x xπ+ = Giải []338 cos cos3 8 cos .cos sin sin cos 33 3 3x x x x xπ π π + = ⇔ − = [ ] [ ][ ]3 33 3cos 3 sin 4 cos 3cos 3 sin cos 3cos 4 cos 0 1x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − − + =Nếu cos 0x= là nghiệm của [1] thì từ [1] suy ra 2 2cos 10 cos sin 1 0 1sin 0xx xx=⇒ = + = ⇒ = ⇒= Vô lý Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 229 Chia 2 vế của [1] cho 3cos 0x≠ ta có [ ][ ][ ]321 3.tan 1 3 1 tan 4 0x x⇔ − − + + = [ ][ ]23 23 3 tan 3 3 tan 3 3 tan 1 3 1 tan 4 0x x x x⇔ − + − − + + = []3 2 23 3 tan 12 tan 3 3 tan 0 tan 3 tan 4 tan 3 0x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = {}[ ]1tan 0 tan tan 3 ; ;6 33x x x x k k k kπ π⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ π + π + π ∈» Bài 6. Giải phương trình: []3sin 2 sin4x xπ− = [1] Giải [ ][][]331 2 2 sin 4sin 2 sin 4 sin4 4x x x xπ π ⇔ − = ⇔ − = [ ] [ ][]3 32sin cos 4sin tan 1 4 tan 1 tanx x x x x x⇔ − = ⇔ − = + 3 2 3 3 2tan 3 tan 3 tan 1 4 tan 4 tan 3 tan 3tan tan 1 0x x x x x x x x⇔ − + − = + ⇔ + + + = [ ][ ][ ]2tan 1 3tan 1 0 tan 1 0 tan 14x x x x x k kπ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + π ∈» Bài 7. Giải phương trình: 35sin 4 cos6 sin 2 cos2 cos 2x xx xx− = [1] Giải Điều kiện: [ ]cos 2 0 2 22 4 2kx x k xπ π π≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ + Với điều kiện [2] ta có [ ]31 6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x⇔ − = [ ]3 3 26 sin 2 cos 5 2sin cos cos 3sin cos 5sin cos 0x x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − = [3] Nếu cos 0x= là nghiệm của [3] thì từ [3] suy ra 2 2cos 00 sin cos 1 0 1sin 0xx xx=⇒ = + = ⇒ = ⇒= Vô lý Chia 2 vế của [3] cho 3cos 0x≠ ta có []23 tan 1 tan 1 5 tan 0x x x+ − − = ⇔[ ][]2tan 1 3.tan 3 tan 1 0x x x− + + = [ ][]21 1tan 1 3 tan 0 tan 12 4 4x x x x n π⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + π Do 4x nπ= + π mâu thuẫn với [2]: 4 2kxπ π≠ + nên phương trình [1] vô nghiệm. 230 Bài 8. [ ] [ ] [ ] [ ]3 24 6 sin 3 2 1 sin 2 2 sin cos 4 3 cos 0m x m x m x x m x− + − + − − − = a. Giải phương trình khi 2m= b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 0,4xπ ∈ Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của phương trình thì từ phương trình suy ra [ ] [ ] [ ] [ ]3 3cos 0 sin 1 sin 14 6 sin 6 3 sin 0 4 6 sin 6 3 sinx x xx m x m x m x= = ∨ = − ⇔ ⇒ − + − = − + − Vô lý Chia 2 vế của phương trình cho 3cos 0x≠ ta có phương trình [ ] [ ][][ ] [ ][]3 2 2 24 6 tan 3 2 1 tan 1 tan 2 2 tan 4 3 1 tan 0m x m x x m x m x⇔ − + − + + − − − + =[ ] [ ] [ ]3 2tan 2 1 tan 3 2 1 tan 4 3 0x m x m x m⇔ − + + − − − = [ ] [ ][][ ]2tan 1 tan 2 tan 4 3 0 1x x m x m⇔ − − + − = a. Nếu 2m= thì [ ][ ][]21 tan 1 tan 4 tan 5 0x x x⇔ − − + = [ ] [ ][ ]2tan 1 tan 2 1 tan 14x x x x k kπ ⇔ − − + ⇔ = ⇔ = − π ∈ » b. Đặt [ ]tan 0,1 0,4t x xπ = ∈ ∀ ∈ , khi đó phương trình [ ][ ][ ][]221 0 1 0,11 1 2 4 3 02 4 3 0t tt t mt mt mt m− = ⇔ = ∈⇔ − − + − = ⇔− + − = Xét phương trình: 22 4 3 0t mt m− + − = với []0,1t ∈ [ ] [ ]2233 2 2 22tt m t g t mt−⇔ − = − ⇔ = =−. Ta có [ ][][][ ][ ]21 30 0, 12t tg t tt− −′= ≥ ∀ ∈− []g t⇒ đồng biến trên []0,1 ⇒ Tập giá trị []g t là [ ][ ][ ]30 , 1 ; 22g g = Để phương trình [1] có nghiệm duy nhất []0,4xπ∈ thì phương trình []2g t m= hoặc vô nghiệm []0,1t ∈ hoặc có đúng 1 nghiệm 1t= []2g t m⇔ = vô nghiệm []2 2 10,13 322 4m mtm m≥ ≥ ∈ ⇔ ⇔< nên []0f t= có 2 nghiệm phân biệt 1 2,t t 234 Theo định lý Viét, ta có 1 2 1 2. 1 . 1t t t t= − ⇒ =[][ ]11220 1 22, 20 1 22, 2tttt < ≤