Trước khi đi vào bài này, bản thân mình – người lên ý tưởng của bài này – vốn từng rất yêu thích môn toán, từng khá thích nghiên cứu những thành phần lý thuyết của toán sơ cấp. Nhưng thời gian qua đi, mình nhận ra được một điều đó là: việc học sinh chúng ta chạy theo những lý thuyết cao để thi học sinh giỏi, hay ngược lại học những lý thuyết thông thường nhưng chạy theo những mẹo giải, các tuyển tập phương pháp [hay còn gọi là tip, trick] để đạt được điểm cao đã trở thành một thói quen. Với bản thân mình, những điều trên không hẳn là sai, nhưng trong một xã hội phát triển như hiện tại, những điều trên, theo ý kiến chủ quan, không phải là điều mà chúng ta nên hướng đến. Những kiến thức nền tảng cơ bản nhất, với mình, đó là nền móng, với nền móng vững chắc chúng ta có thể xây dựng bất kỳ loại kiến trúc nào trên đó. Trên tinh thần như trên, bài viết này sẽ nói đến khái niệm cơ bản đầu tiên như trong tiêu đề: Tham số và biến số.
Lưu ý: trong bài viết này sẽ đệm vào những thuật ngữ tiếng Anh bên cạnh những thuật tương ứng bằng tiếng Việt, và những chú thích của người viết sẽ được ký hiệu NV. Và một điều cuối cùng, giá trị bài viết chỉ nên dừng lại ở tham khảo và thảo luận vì bài viết này không thể tránh khỏi góc nhìn chủ quan của tác giả.
Như truyền thống trong bài viết trước đây nói về tư duy giải quyết vấn đề, chúng ta sẽ bắt đầu bằng một ví dụ. Xét bài toán sau đây:
Bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm và phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Spoiler Alert: Có một lỗi trong đề [người viết cố ý để vào – NV], vậy theo các bạn lỗi đó nằm ở đâu? Các bạn hãy làm thử và nhận xét vào bài viết mình đã ra đề sai ở đâu?
Nhưng trước hết, chúng ta cần phải đi qua 2 khái niệm đang được thảo luận từ đầu. Vậy biến số [variable] hay còn gọi tắt là biến [không phải nghĩa là “cút” đâu nha – NV] và tham số [parameter] là gì?
1. Tham số, biến số là cái chi chi?
Biến số là một số có giá trị thay đổi bất kì bên trong ngữ cảnh của bài toán hay biểu thức [1]
Thực tế khái niệm biến số trong chương trình giáo dục hiện tại, chúng ta đã được tiếp xúc khá sớm từ tiểu học thông qua các bài toán “Tìm x“, giá trị của x thay đổi tùy thuộc vào bài toán nó đang bên trong. Trong trường hợp ngược lại, ta có một khái niệm được gọi là Tham số [parameter]:
Tham số là những số giá trị không đổi của bài toán hay biểu thức, và tác động đến kết quả của bài toán hay biểu thức [2]
Trong thực tế các bài toán, thông thường tham số sẽ là những số [thực hay phức] hoặc được ký hiệu là a, b, c, m, n,… và biến số thường được ký hiệu x, y, t,… Thông thường là thế, nhưng không phải lúc nào cũng thế, vì thế bài viết này tồn tại để nói sâu hơn về sự khác biệt giữa 2 khái niệm này phụ thuộc vào ngữ cảnh toán học như thế nào.
Trên đây, chúng ta chưa có sự phân biệt rõ ràng giữa 2 khái niệm tham số [parameter] và hằng số [constant] [3]. Để sự phân biệt rõ ràng hơn chúng ta sẽ thảo luận trong một bài viết chi tiết hơn về lớp các hàm số [điều này dường như vượt khỏi phạm vi toán sơ cấp THCS nhưng rất đáng để tìm hiểu nếu bạn yêu thích môn toán- NV]
a. Phân biệt tham số và biến số bên trong ngữ cảnh
Thông thường nếu như đề bài không nói gì thì bản thân chúng ta sẽ mặc định như đã trao đổi bên trên, nhưng khi đặt trong ngữ cảnh trong bài toán ta đang xét lúc đầu, liệu những mặc định đó có còn đúng? Để có thể chúng ta có thể xem xét dễ dàng, chúng ta sẽ ký hiệu:
- [1]
- [2]
Trong biểu thức [1] chúng ta có thể xác định tham số dựa vào đề bài: yêu cầu đề bài xác định rằng phương trình [1] để có nghiệm phân biệt như vậy vai trò khá rõ ràng là tham số và là biến số. Câu hỏi được đặt ra: trong biểu thức [2] đâu là biến số, đâu là tham số? Xét theo ngữ cảnh bài toán ban đầu ta có và được xác định từ phương trình [1], vì thế theo như định nghĩa ở phần đầu thì và đều là 2 tham số của T trong [2]. Còn lại và thì số nào là “biến”, số nào là “tham”?
Nếu như mặc định thông thường thì sẽ là tham số và chính là biến số, nhưng theo ngữ cảnh bài toán này thì lại khác. Đầu tiên, từ ngữ cảnh bài toán – tức là đề bài – ta có yêu cầu “Tìm để phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt” chính ngữ cảnh này đã xác định vai trò tham số của trong [1], và ngữ cảnh thứ 2 ràng buộc cho : “Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất” ngữ cảnh này rõ ràng thiếu đi 1 yếu tố. Theo bạn là gì?
Trong ngữ cảnh thứ 2, chúng ta có 2 thành phần chưa biết rõ ràng là biến số hay tham số là và , và ngữ cảnh không cho biết thêm nên “tìm cực trị của biểu thức T” theo biến số nào, hay ? Từ ngữ cảnh 1, chúng ta có thể tìm ra được miền xác định của [lúc này chưa biết rõ là biến số hay tham số – NV] đó là: [đây là lúc các bạn đọc tự giải nha, mình gợi ý như thế này thôi – NV]. Dù ràng buộc trên một miền như trên, việc xác định chính xác là giá trị bao nhiêu trong T là điều bất khả thi, nên theo định nghĩa như lúc đầu, ta có thể xác định là biến số của biểu thức [2]. Một điều khác là, vốn như mặc định cũng là biến số của biểu thức [2]. Vậy…
b. Đề bài trên sai ở đâu?
Sau những phân tích bên trên, có lẽ đây là lúc chúng ta chỉ ra điểm sai sót [sai sót đối với cấp học mà thôi – NV] mà người viết đã cố ý thêm vào [Có thể bạn đã nhận ra từ lúc nhìn vào đề bài – NV]. Vậy đây là lúc chúng ta cần nhìn vào đề bài chính xác:
Bài toán chính xác: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm và phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Điều khác biệt giữa đề bài chính xác bên trên và đề bài ban đầu là gì? Đó chính là biến số trong biểu thức T, trong đề bài chính xác chúng ta chỉ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T theo biến số . Điều này khá dễ dàng và phù hợp với cấp độ THCS mà bài toán trên hướng đến. Còn trong đề bài ban đầu, việc có thêm biến số tăng độ khó cho bài toán lên nhiều lần, đó là: khảo sát và tìm cực trị [tức là giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số – NV] của một hàm số 2 biến và .
Tới đây chính là thời khắc dành riêng cho các bạn đọc, hãy thử sức mình với bài toán chính xác bên trên và một bài toán khác đến từ người viết bài, và cùng người viết thảo luận trong phần bình luận bên dưới:
Bài toán 2: Tìm m để phương trình có nghiệm
Một số bạn học sinh từng nhờ ZeFro review quyển này, hiện thì mình chưa review được, nhưng đã mua và đọc sơ qua, có thể nói quyển sách này mang khá nhiều ưu điểm:
- Các viết dễ hiểu, hệ thống các suy luận bằng sơ đồ
- Bám sát các bài trong sách giáo khoa, tuy không có nâng cao nhiều nhưng nền tảng rất tốt
- Sách được phát triển bởi NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội, được phân phối chính hãng trên Tiki, Shopee, nên chất lượng in ấn khá ổn.
Phụ lục: Khảo sát về bài viết từ ZeFro
Rất mong được các bạn thực hiện khảo sát sau, [chúng tôi sẽ không chia sẻ bất kì thông tin nào của bạn cho bất kì tổ chức cá nhân nào]
Nếu bạn cảm thấy các bài viết về toán học của ZeFro có ích cho bạn và mong muốn hỗ trợ cho trang ZeFro, hãy mua cho các thành viên ZeFro 1 ly café tại đây:
2. Không chỉ là khái niệm riêng của toán học
Dưới đây chúng ta sẽ bàn ra xa hơn ngữ cảnh toán học về khái niệm biến số và tham số. Đây vốn là những khái niệm nền tảng nên việc chúng xuất hiện trong những ngữ cảnh ngoài toán học hẳn là điều dễ hiểu. Chúng ta sẽ thảo luận trong 2 trường hợp sau.
a. Lượng chất dư hay thiếu?
Hãy lấy một lượng trong và cho từ từ một lượng khí vào, theo như những gì chúng ta được học trong chương trình hóa học THCS thì phản ứng sẽ có 2 trường hợp như sau:
- [Phản ứng 1 – PU1]
- [PU2]
Để có thể trực quan mời các bạn xem qua video sau [4]: Trong video, tác giả Adam Bridgeman dùng chất chỉ thị màu để trực quan hóa phản ứng trên, có 3 màu chất chỉ thị tương ứng với các môi trường hóa học: {[Acid, Vàng Đỏ], [Trung tính, Xanh lá]; [Base – Kiềm, Tím]}. Thông qua quan sát trong thí nghiệm môi trường phản ứng chuyển từ tính Kiềm [do ] Trung Tính [do sản phẩm ] tính Acid nhẹ [do sản phẩm ]
Trong các phản ứng trên, những hệ số cân bằng đó là những tham số cố định [cũng có thể gọi là hằng số] của bài toán, vậy đâu là biến số, đó là lượng chất và trong phản ứng, chính tỷ lệ số mol của 2 chất trên sẽ quyết định loại muối nào sẽ xuất hiện trong dung dịch sau phản ứng.
Lưu ý: Trong một diễn biến khác: dù sục từ từ một lượng khí vào dung dịch nước vôi trong [limewater] thì sản phẩm luôn là kết tủa . Còn phản ứng với khí dư theo phản ứng tạo thạch nhũ [5]
Nếu bạn muốn củng cố lại các kiến thức một cách vững chắc, hãy sử dụng dịch vụ của Học mãi.
Trong các bài viết của ZeFro chỉ tập trung vào việc hiểu rõ các khải niệm cơ bản nhất. Và mặc định các bạn đã hiểu rõ các kiến thức căn bản trong sách giáo khoa
b. Lên ga bao nhiêu là đủ?
Khoảng tuổi 15 một số bạn trẻ sẽ có điều kiện được bố mẹ sắm sửa một chiếc xe máy cỡ nhỏ khoảng 50cc hoặc một chiếc xe đạp điện. Tuy là 2 loại xe khác nhau nhưng có 1 chi tiết rất giống nhau, đó là cơ chế tay ga.
Chúng ta có những tham số cố định bên trong chiếc xe, hãy ví dụ bằng một xe máy động cơ đốt trong, các tỉ lệ giữa xăng và không khí [nôm na trong ngôn ngữ đời thường là tỉ lệ xăng gió – NV] được quy định từ trước trong quá trình thiết kế; tỉ lệ nhông – sên – dĩa có thể được thay đổi bởi bạn nhưng khi chiếc xe đang vận hành, đó là những tham số không đổi; tương tự với những thông số chúng ta có thể thay đổi: thể tích cylinder [xi-lanh, con số 50cc = 50 chính là thông số thể tích xi-lanh – NV], tỉ số của bộ số,… Tất cả những yếu tố bên trên, chúng ta có thể thay đổi, nhưng trong quá trình chiếc xe vận hành [nôm na là xe chạy – NV], chúng là những tham số.
Trên thực tế, hình ảnh chiếc xe tương tự một hàm số, nhưng chúng ta chỉ tạm biết đến các “tham số” như trên, vậy đâu là “biến số” trong hàm số trên? Theo mình, biến số ở đây chính là tay ga của chiếc xe. Chúng ta có thể vặn tay bất kì trong khoảng từ 0% đến 100%, nhưng giá trị đó không được xác định cụ thể, có thể nếu thích chúng ta chỉ vặn khoảng 25%, có khi 76%. Vì giá trị biến thiên [nghĩa là thay đổi – NV] như vậy, đây chính là một trong các biến số mà chúng ta có thể quan sát được [Trong đây không nhắc đến tốc độ tua máy vì đó là một thành phần phụ thuộc vào mức độ vặn tay ga của chúng ta – NV].
Trực quan “Biến số” trên xe máy
Lời khuyên: dù tay ga cho chúng ta lựa chọn từ 0 đến 100% nhưng các bạn cố gắng đừng “hết ga hết số” nhé. Trong tương lai, các dòng xe máy sẽ có thêm một biến số nằm trong hệ thống cam đó là hệ thống Van biến thiên [Variable Valve Timing] nhưng trong bài này sẽ không đề cập đến vì nó nằm ngoài khuôn khổ.
3. Bài học rút ra
- Việc hiểu rõ những khái niệm cơ bản nhất sẽ giúp cho việc mở rộng khả năng nghiên cứu, phát triển tư duy của bản thân chúng ta, không chỉ bên trong lĩnh vực toán học, mà còn những lĩnh vực khác.
- Việc quan sát thực tế với những kiến thức nền tảng có thể gợi mở những ý tưởng mới trong quá trình học tập và làm việc trong tương lai, đôi khi những ý tưởng đó có thể thay đổi thế giới của riêng mỗi chúng ta.
Trước khi tạm kết thúc chủ đề thảo luận trong bài viết này, mình xin được dẫn một câu thoại kinh điển trong một bộ phim kinh điển của điện ảnh Ấn Độ để thể hiện quan điểm cá nhân của người viết bài này:
Cramming may get you past 4 years in college but it will screw your next 40 years
Nhồi nhét kiến thức có thể giúp cậu vượt qua 4 năm đại học nhưng sẽ hành hạ cậu 40 năm tiếp theo.
Rancho – 3 Idiots [3 chàng ngốc] | đạo diễn: Rajkumar Hirani
4. Tài liệu tham khảo
Ý tưởng và trình bày: Thanh Ho
ELSA hiện tại đang là trợ thủ đắc lực của mình trong việc chinh phục phần nói a.k.a speaking trong kì thi IELTS. Có thể nó cũng sẽ giúp bạn như thế. Nếu bạn đang có mục tiêu chinh phục các kỳ thi tiếng Anh trong thời gian ngắn sắp tới, hãy thử cân nhắc đến ELSA thử nhé!