Trong không gian cho mặt phẳng \[[\alpha]\] và đường thẳng \[d\] không vuông góc với mặt phẳng \[[\alpha]\]. Để tìm hình chiếu vuông góc của \[d\] lên \[[\alpha]\] ta chọn 2 điểm \[A, B\] trên \[d\] rồi tìm hình chiếu \[K, H\] lần lượt của \[A, B\] lên \[[\alpha]\]. Đường thẳng \[a\] trong \[[\alpha]\] đi qua 2 điểm \[H, K\] chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \[d\] lên mặt phẳng \[[\alpha]\].
Trường hợp đặc biệt \[d\] cắt \[[\alpha]\] tại \[M\]: Chọn trên \[d\] một điểm \[B\] khác \[M\] rồi tìm điểm \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[B\] lên \[[\alpha]\]. Khi đó hình chiếu vuông góc của \[d\] lên \[[\alpha]\] là đường thẳng \[a\] qua 2 điểm \[M\] và \[H\].
Trường hợp đặc biệt này thường được dùng khi tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trường hợp \[d\] và \[[\alpha]\] song song nhau, nếu gọi \[a\] là hình chiếu vuông góc của \[d\] trên \[[\alpha]\] thì ta có \[d \parallel a.\]
Vậy cách viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyz như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.
Các em có thể xem lại nội dung Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình đường thẳng trong Oxyz nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.
° Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng [d] lên mặt phẳng [P] trong không gian Oxyz
- Cho mp[P]: Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng [d]. Hãy viết phương trình hình chiếu của đường thẳng [d] lên mặt phẳng [P].
* Phương pháp
- Bước 1: Viết phương trình mp[Q] chứa [d] và vuông góc với mp[P].
- Bước 2: Hình chiếu cần tìm d'= [P]∩[Q]
> Chú ý: Nếu d⊥[P] thì hình chiếu của d là điểm H=d∩[P]
* Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
* Lời giải:
- Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng:
m[x - 2z] + n[3x - 2y + z - 3] = 0
⇔ [m + 3n]x - 2ny + [-2m + n]z - 3n = 0
- Vì Q ⊥ P ta có:
1.[m + 3n] - 2[-2n] + 1.[-2m + n] = 0
⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0
⇔ -m + 8n = 0
⇔ m = 8n
- Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp [Q]: 11x - 2y - 15z - 3 = 0
- Vì hình chiếu d’ của [d] trên mp[P] nên d' là giao tuyến của mp[P] và mp[Q].
Phương trình của d’ sẽ là:
* Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d' trên [P] biết phương trình mặt phẳng [P]: x - y + z - 1 = 0 và phương trình đường thẳng d' là:
* Lời giải:
- Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương
- Mặt phẳng [ P] có vecto pháp tuyến là:
- Mặt phẳng [Q] chứa d' và vuông góc với [P] có:
Ta thấy N[1;2;-1] điểm thuộc d' cũng thuộc [Q]
- Phương trình mặt phẳng [Q] là:
1.[x – 1] + 0.[y - 2] – 1.[z + 1] = 0
⇔ x – z – 2 = 0
- Hình chiếu cần tìm d = [P] ∩ [Q]
Tọa độ của điểm M [x; y; z] thuộc d thỏa mãn:
Chọn x = t, suy ra:
Vậy phương trình đường thẳng [d] là:
>> xem ngay: Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Hy vọng với bài viết về cách viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyzở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng [P], nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng [P]: Phương pháp giải. Lấy hai điểm bất kỳ trên d và xác định hình chiếu vuông góc xuống [P], tiếp tục viết phương trình đi qua hai hình chiếu ta được phương trình d. Thứ hai, viết phương trình mặt phẳng [Q] qua d và vuông góc với [P], khi đó d là giao tuyến của hai mặt phẳng [P], [Q]. Trong trường hợp d song song hay cắt [P], ta chỉ cần lấy hình chiếu của một điểm xuống mặt phẳng [P]. Ví dụ 7. Viết phương trình hình chiếu vuông góc d của đường thẳng d: lên mặt phẳng [P]: 2 + 3t + 1 = 0. Giao điểm của [P] và d là M [c; g; 3]. Ta tìm được M[-1; 1; -1], cần tìm thêm hình chiếu vuông góc của một điểm khác trên d xuống [P]. Ta có A[1; 2; 1] thuộc d, đường thẳng qua A và vuông góc với [P] là g = 2 + t, từ đây ta xác định z = 1 + t. Hình chiếu vuông góc d’ của đường thẳng d trên mặt phẳng [P] là đường thẳng đi qua các điểm M, A’. MA là đường thẳng đi qua điểm A[-1; 1; -1] và có véc-tơ chỉ phương u = [1; –2; 1]. Ví dụ 8. Cho mặt phẳng [P]: 2t + 2 – 1 = 0, hãy viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d’: y = 1 – t lên [P]. Do mp vuông góc nên d || [P], do đó ta chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm A[1; 1; 1] lên [P] là điểm A’, sau đó viết phương trình d qua A nhận u làm véc-tơ chỉ phương. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 14. Trong không gian Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: – y – 2 2 + 3 trên mặt phẳng tọa độ [Org]. Trên đường thẳng d lấy hai điểm A[-1; 2; -3] và B[1; 5; -2]. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B xuống mặt phẳng [Org] suy ra A[-1; 2; 0] và B[1; 5; 0]. Khi đó hình chiếu d của d xuống [Org] qua hai điểm A, B. x = -1 + 2t Đường thẳng A’, B có phương trình tham số g = 2 + 3t. Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[1; 2; -3], B[2; 5; 7]. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng [Oc]. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên mặt phẳng [O2]. Dễ thấy A'[1; 0; -3], B[2; 0; 7] và A’B’ = [1; 0; 10]. Đường thẳng AB chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng [Org]. Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và mặt phẳng [P] có phương trình d: y = 2 + 3t, [P]: 3x + 4 – 8 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc. Dễ thấy d cắt mặt phẳng [P] tại điểm A[2; -1; 1] và B[4; 2; -1]. Gọi B’ là hình chiếu vuông góc của B trên [P], khi đó ta có B[1; 1; 0]. Đường thẳng AB chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng [P]. Đường thẳng x – 1 y – 1. Bài 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d hình chiếu vuông góc d’ của d trên mặt phẳng [P]: 3x – y + z – 9 = 0.
Gọi [Q] là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với [P], khi đó d = [P]0[Q]. Ta có n = [2; -1; 2] là véc-tơ chỉ phương của d; n = [3; -1; 1] là véc-tơ pháp tuyến của [P]. Do đó n = [1; 4; 1] là véc-tơ pháp tuyến của [O]. Bài 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm I. Biết A[1; 2; 1, B[2; 3; 0], D[-2; 1; 2] và S[0; 4; 3]. Gọi M là trung điểm SB và G là trọng tâm tam giác SBD. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng MG trên mặt phẳng [ABCD].