Giải bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây trang 97. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học.
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
1. Hãy so sánh độ dài dây AB và dây CD trên mỗi hình 87? Giải thích [nếu được].
Trả lời:
* Hình 87a
AB > CD, vì AB là đường kính của đường tròn, CD là dây cung [không phải là đường kính của đường tròn]
* Hình 87b
AB > CD
3. Bài toán: Cho AB và CD là hai dây [khác đường kính] của [O; R]. Gọi OH, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD [h.89]. Chứng minh rằng
Gợi ý: Điền vào chỗ chấm [...]
Áp dụng định lý Py-ta-go vào
OHB, vuông tại H: $OB^{2}$ = .........................................
OKD, vuông tại K: $OD^{2}$ = .........................................
Do
Vậy ........................................= ....................................
Trả lời:
Áp dụng định lý Py-ta-go vào
OHB, vuông tại H: $OB^{2}$ = $OH^{2}$ + $HB^{2}$
OKD, vuông tại K: $OD^{2}$ = $OK^{2}$ + $KD^{2}$
Do = $OK^{2}$[ = $R^{2}$]
Vậy + $HB^{2}$ = $OK^{2}$ + $KD^{2}$.
B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
1. b] Đọc kĩ nội dung sau
Trong một đường tròn:
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
2. b] Đọc kĩ nội dung sau
Trong hai dây của một đường tròn:
- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn;
- Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
d] Cho ABC, O là giao điểm của ba đường trung trực. H, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC [h.90] Biết OH > OK > OI. Hãy so sánh độ dài ba cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC.
Trả lời:
Vì O là giao điểm của ba đường trung trực AB, AC, BC nên tam giác ABC là tam giác nội tiếp đường tròn tâm O khi đó AB, AC, BC là ba dây cung của đường tròn [O]
Ta có tính chất: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại
Vì OH > OK > OI nên ta được AB < AC < BC
Vậy AB < AC < BC.
Câu 1: Trang 99 sách VNEN 9 tập 1
Cho đường tròn tâm O, bán kính 13cm, dây AB = 24cm.
a] Tính khoảng cách từ O đến đây AB.
b] Gọi M là điểm thuộc dây AB sao cho AM = 7cm. Kẻ dây EF đi qua M và vuông góc với AB. Chứng minh EF = AB.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 100 sách VNEN 9 tập 1
Cho đường tròn [O] và một điểm E nằm ngoài đường tròn, vẽ đường tròn [E] cắt đường tròn [O] tại hai điểm A và B [h.91]. Các đoạn thẳng EA và EB lần lượt cắt đường tròn [O] tại C và D [cho như hình vẽ]. Chứng minh rằng hai dây AC và BD của đường tròn [O] bằng nhau.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 100 sách VNEN 9 tập 1
Cho đường tròn [O] bán kính 2,5cm, dây AB = 4cm. Vẽ dây CD song song với AB và CD = 4,8cm. Tính khoảng cách giữa hai dây AB và CD.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 100 sách VNEN 9 tập 1
Cho hình 92, trong đó hai đường tròn cùng có tâm O. Cho biết AB > CD. Hãy so sánh các độ dài:
a] ME và MF;
b] MH và MK
=> Xem hướng dẫn giải
D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG
Câu 1: Trang 100 sách VNEN 9 tập 1
Cho đường tròn [O], điểm A nằm trong đường tròn. Vẽ dây MN vuông góc với OA tại A. Vẽ dây PQ bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây MN và PQ [h.93]
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 100 sách VNEN 9 tập 1
Đố: Nhà ba bạn An, Cường, Thái ở ba địa điểm như hình 94. Hỏi đoạn đường từ nhà An đến nhà Cường hay nhà Thái xa hơn? Vì sao?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 101 sách VNEN 9 tập 1
Cho hình 95. Trên đường tròn [O] lấy hai dây AM và BN bằng nhau [M và N nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB]. Hai đường thẳng AM và BN cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
a] OF là phân giác của góc AOB.
b] OF vuông góc với AB.
=> Xem hướng dẫn giải
Cập nhật: 07/09/2021
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐEN dây A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Định lí 1 Trong một đường tròn Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lí 2 Trong hai dây của một đường tròn Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn. Dây nào gần tâm-hơn thì lớn hơn. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Cho đường tròn [O] và hai dây AB, CD. Các đường thẳng AB và CD gặp nhau tại diêm p nằm ngoài [O]; H và K theo thứ tự là trung điểm của các dây AB và CD. Hãy so sánh PH và PK biết AB > CD. Giải Cách 1: Ta có: HA = HB OH 1 AB tại H. [Đường kính qua trung điểm của một dây] Tựơng tự: KC = KD => OK i CD tại K. Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông HOP và KOP, ta có: PH2 + OH2 = PO2 PK2 + OK2 = PO2 => PH2 + OH2 = PK2 + OK2 o PH2 - PK2 = OK2 - OH2 Theo ĐL liên hệ giữa dây và khoảng cách từ dây đến tâm ta có AB > CD * zx> OH OH2 OK2.- OH2 > 0 Do đó: PH2 - PK2'> 0 PH2 > PK2 Vậy: PH > PK Bài tập cơ bản Cho đường tròn tâm o bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm. Tính khoảng cách từ tàm o đến đây AB. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = lem. Kế dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB. Cho đường tròn [O] có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điếm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng niinh rằng: EH = EK EA = EC Giải a] Kẻ OH vuông góc với AB tại H. Ta đươc AH = — AB = 4 cm ■ 2 Trong tam giác vuông OAH có: OH2 = OA2 - AH2 = 52 - 42 = 9 Suy ra OH = 3cm[l] Vậy khoảng cách từ tâm o đến dây AB là OH = 3cm. b] Kẻ OK vuông góc với CD tại K. Tứ giác OHIK có H = ĩ = K - lv nên là hình chữ nhật. Lại có IH = AH - AI = 4 - 1 = 3cm [2] Nên OH = IK = 3cm [Tính chất hình chữ nhật] Suy ra CD = AB [Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau]. E a] Nối OE ta có: AB = CD => OH = OK [Định lí 3] Hai tam giác vuông OEH và OEK có: OE là cạnh chung OH = OK Nêu AOEH = AOEK [cạnh huyền, cạnh góc vuông] Suy ra EH = EK [1] b] Ta có: OH 1 AB nên AH = — AB [định lí 1] Tương tự KC = — CD . Mà AB = CD [gt] suy ra AH = KC [2] Từ [1] và [2] suy ra EA = EH + HA = EK + KC = EC Vậy EA = EC. Bài tập tương tự Cho đường tròn [O], hai dây AB và CD cắt nhau tại M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K lần lượt là trung diêm của AB và CD. Cho biết AB > CD. Chứng minh MH > MK. LUYỆN TẬP Cho đường tròn tâm o bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD. Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là o. Cho biết AB > CD. Hãy so sánh các độ dài: OH và OK ME và MF MH và MK Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF. Giải 14. Kẻ OH ± AB, OH ± CD. Ta thây H, o, K thẳng hàng. Ta có: AB AH = —— = 20 cm; KH = 22 cm 2 Trong tam giác vuông AHO có: OH2 = OA2 - AH2 = 252 - 202 = 225 Nên OH = x/225 = 15 [cm] Do đó OK = KH - OH = 22 - 15 = 7 [cm] Trong tam giác vuông COK có: CK2 = CO2 - OK2 = 252 - 72 = 576 Nên CK = 7576 = 24 Suy ra CD = 2CK = 48cm. a] Trong đường tròn nhỏ: AB > CD => OH < OK [định lí 3] Trong đường tròn lớn: OH ME > MF [định lí 3] Trong đường tròn lớn: ME > MF => MH > MK Kẻ OH 1 EF. Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH [đường vuông góc'ngắn hơn đường xiên]. Do OA > OH nên BC < EF [định lí 3].
Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 [trang 106]
Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 106 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây thuộc chương 2 Hình học 9.
Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 trang 106. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.
Định lý 1: Trong một đường tròn:
a] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b] Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lý 2. Trong hai dây của một đường tròn:
a] Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b] Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Xét đường tròn [O]:
Khi đó:
Giải bài tập toán 9 trang 106 tập 1
Bài 12 [trang 106 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
a] Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b] Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa
a] Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.
Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây suy ra: J là trung điểm của AB.
Ta được
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có:
OJ2 = OA2 – AJ2 = 52 – 42 = 9 [OA = R = 5cm]
=> OJ = 3cm [1]
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm.
b] Kẻ OM vuông góc với CD tại M.
Tứ giác OJIM có: góc I = góc J = góc M = 900 nên là hình chữ nhật
Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm
=> OM = IJ = 3cm [Tính chất hình chữ nhật] [2]
Từ [1], [2] suy ra CD = AB [hai dây cách đều tâm thì bằng nhau]. [đpcm]
Bài 13 [trang 106 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho đường tròn [O] có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a] EH = EK
b] EA = EC.
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa:
a] Nối OE ta có: AB = CD
=> OH = OK [hai dây bằng nhau thì cách đều tâm]
H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB [đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
K là trung điểm của CD nên OK ⊥ CD [đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
Hai tam giác vuông OEH và OEK có:
OE là cạnh chung
OH = OK
Do đó ΔOEH = ΔOEK [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
=> EH = EK [1]. [đpcm]
b] Ta có: H là trung điểm của AB nên AH =
K là trung điểm của CD nên
Tương tự
Mà AB = CD [gt] suy ra AH = KC [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
EA = EH + HA = EK + KC = EC
Vậy EA = EC. [đpcm]
Giải bài tập toán 9 trang 106 tập 1: Luyện tập
Bài 14 [trang 106 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa
Kẻ OM ⊥ AB, ON ⊥ CD.
Ta thấy M, O, N thẳng hàng. Ta có:
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AMO có:
OM2 = OA2 – AM2 = 252 – 202 = 225
=> OM = √225 = 15cm
=> ON = MN – OM = 22 – 15 = 7 [cm]
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CON có:
CN2 = CO2 – ON2 = 252 – 72 = 576
=> CN = √576 = 24
=> CD =
Bài 15 [trang 106 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.
Hãy so sánh các độ dài:
a] OH và OK
b] ME và MF
c] MH và MK.
Gợi ý đáp án
a] Trong đường tròn nhỏ:
AB > CD => OH < OK [định lí 3]
b] Trong đường tròn lớn:
OH < OK => ME > MF [định lí 3]
c] Trong đường tròn lớn:
ME > MF => MH > MK
Bài 16 [trang 106 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
Gợi ý đáp án
Kẻ OH ⊥ EF.
Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH [đường vuông góc ngắn hơn đường xiên].
Vì OA > OH nên BC < EF [định lí 3].
Cập nhật: 30/06/2021