Hai đồ thị y = x mũ 4 trừ x bình và y 3 x bình Công 1 có bao nhiêu điểm chung

Đường thẳng y=4x-1 và đồ thị hàm số y=x3−3x2−1có bao nhiêu điểm chung?

Đồ thị hàm số y=-x4+2x2có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?

Lý thuyết cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên K [K ⊂ ℝ] và x0 ∈ K

a] x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] < f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}

→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b] x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}

→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Chú ý:

1] Điểm cực đại [cực tiểu] x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2] Nói chung, giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] không phải là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên tập K; f[x0] chỉ là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên một khoảng [a;b] chứa x0.

3] Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm [x0; f[x0]] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’[x0] = 0.

Chú ý:

1] Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.

2] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

a] Nếu f’[x] đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

b] Nếu f’[x] đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng [a;b] chứa điểm x0, f’[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a] Nếu f’’[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.

b] Nếu f’’[x0] > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

c] Nếu f’’[x0] = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.