Hay nhất
\[y=3\sin \left[3x+\frac{\pi }{6} \right]+4\cos \left[3x+\frac{\pi }{6} \right].\]
Tập xác định \[D={\rm R}.\]
\[y=3\sin \left[3x+\frac{\pi }{6} \right]+4\cos \left[3x+\frac{\pi }{6} \right]=5\sin \left[3x+\frac{\pi }{6} +\alpha \right].\]
[với \[\cos \alpha =\frac{3}{5} ;\, \sin \alpha =\frac{4}{5} ].\]
\[\Rightarrow -5\le y\le 5.\]
Vậy
Giá trị lớn nhất của hàm số là 5 khi:
\[\sin \left[3x+\frac{\pi }{6} +\alpha \right]=1\Leftrightarrow 3x+\frac{\pi }{6} +\alpha =\frac{\pi }{2} +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{9} -\frac{\alpha }{3} +k\frac{2\pi }{3} ,\, \, k\in {\rm Z}.\]
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5 khi:
\[\sin \left[3x+\frac{\pi }{6} +\alpha \right]=-1\Leftrightarrow 3x+\frac{\pi }{6} +\alpha =-\frac{\pi }{2} +k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{2\pi }{9} -\frac{\alpha }{3} +k\frac{2\pi }{3} ,\, \, k\in {\rm Z}\]
đã hỏi trong Lớp 12 Toán học
· 10:00 29/08/2020
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=1-sin3x+3cos3x trên R
A. min y = -1
B. min y = -3
C. min y = 3
D. min y = 0
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Cách chuyển từ sin sang cos ạ ?
Trả lời [30] Xem đáp án »
-
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng
A. a0, c>0, d0, d 0 .Ta có:
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= – 1 khi: [sinx=0 và cosx=1 ⇒ x= k2π.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi [sinx=1 và cosx=0 ⇒ x= π/2+k2π.
Ví dụ 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos2 x – 6cosx + 11. Tính M.m
A.30
B.36
C.27
D.24
Lời giải:
Ta có: cos2 x – 6cosx +11 = [ cos2x – 6cosx + 9] +2 = [cosx -3]2 + 2
Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 4 ≤ cosx-3 ≤ -2
⇒ 0 ≤ [cosx-3]^2 ≤ 16
⇒ 2 ≤ [cosx-3]^2+2 ≤ 18
Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36.
Chọn B.
Ví dụ 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4]. Tính S= M+11m
A.4
B.5
C. 6
D. 8
Lời giải:.
Gọi y0 là một giá trị của hàm số.
Khi đó phương trình y0=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4] có nghiệm.
⇒ y0.[ 2cosx- sinx + 4] = cosx +2sinx + 3 có nghiệm
⇒ 2y0.cosx – sinx.y0 + 4y0- cosx – 2sinx – 3=0 có nghiệm
⇒ [ 2y0 -1]cosx – [ y0+2].sinx =3- 4y0 [*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi :
[2y0-1]2 + [ y0 + 2]2 ≥ [3-4y0]2
⇒ 4y02 – 4y0 +1 +y02 +4y0 + 4 ≥ 9-24y0+16y02
⇒ 11y02 – 24y0 + 4 ≤ 0 2/11 ≤ y0 ≤ 2
Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4
Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hàm số y= √[1+2sin2 x]+ √[1+2〖cos2 x]-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất?
A. 3,23
B. 3,56
C. 2,78
D.2,13
Lời giải:
+ Xét t= √[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x]
⇒ t2 = 1+ 2sin2 x+ 1+ 2cos2 x+ 2. √[[1+2sin2 x].[ 1+2cos2 x] ]
=4+2√[3+ sin2 2x]
Mà sin22x ≥ 0 nên t2 ≥ 4+ 2√3
Mà t > 0 nên t ≥ √[4+2√3] =1+ √3
Suy ra: y= t-1 ≥ √3
Dấu “=” xảy ra khi sin2x=0 .
+ Lại có:
√[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x] ≤ √[[1^2+ 1^2 ].[ 1+2sin2x+ 1+2cos2 x] ]= 2√2
⇒ y= √[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x]-1 ≤ 2√2-1
Dấu “=” xảy ra khi sin2 x= cos2x
Vậy {[m= √3 và M=2√2-1] ⇒ M+ m≈3,56
Chọn B.
Câu 1:Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=8sin2x+3cos2x . Tính P= M- 2m.
A. P= - 1
B. P= 1
C. P= 2
D. P=0
Hiển thị lời giải Chọn A.
Ta có: y = 8sin2 x + 3cos2x = 8sin2x + 3[ 1 – 2sin2x ] = 2sin2x+ 3.
Mà -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 2sinx+3 ≤ 5 ⇒ 3 ≤ y ≤ 5.
Suy ra: M= 5 và m= 3
Do đó: P = 5- 2.3= - 1
Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y= 4sin2x + 3.cos2x .
A. M= 3
B. M= 1
C. M= 5
D. M= 4
Hiển thị lời giải Chọn C.
Ta có: y = 4sin2x+ 3cos2x = 5.[ 4/5.sin2x+ 3/5 cos2x].
Đặt cosα= 4/5 và sinα= 3/5
Khi đó: y= 5[ cosα.sin2x+sinα.cos2x]=5.sin[ α+2x]
⇒ - 5 ≤ y ≤ 5
Suy ra M= 5.
Câu 3:Gọi M ; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin2x – 4sinx+ 5. Tính M+ m.
A.3
B.8
C.10
D.12
Hiển thị lời giải Chọn D.
Ta có: y= sin2x – 4sinx+ 5= [ sinx- 2]2 + 1.
Do: -1 ≤ sinx ≤ 1 nên-3 ≤ sinx-2 ≤ -1
⇒ 1 ≤ [ sinx-2]2 ≤ 9 ⇒ 2 ≤ [ sinx-2]2+1 ≤ 10 .
Suy ra: M=10 và m = 2
Do đó; M+ m = 12
Câu 4:Cho hàm số y= cos2x- cosx có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hiển thị lời giải Chọn C.
Ta có: cos2x- cosx = [cosx- 1/2]2- 1/4 .
Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên [- 3]/2 ≤ cosx- 1/2 ≤ 1/2
⇒ 0 ≤ [ cosx- 1/2]2 ≤ 9/4 ⇒ [- 1]/4 ≤ [ cosx- 1/2]2- 1/4 ≤ 2.
Do đó [- 1]/4 ≤ y ≤ 2. Vậy tập giá trị của hàm số là [[- 1]/4;2]
⇒ Trong đoạn [ -1/4;2] có ba giá trị nguyên thỏa mãn là 0; 1 và 2.
Do đó có 3 giá trị thỏa mãn.
Câu 5:Hàm số y= cos2x+ 2sinx+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
A. x= [-π]/2+k2π.
B. x= π/2+k2π.
C. x= k π
D. x= k2π
Hiển thị lời giải Chọn B.
Ta có: cos2x+ 2sinx+ 2 = 1- sin2x+ 2sinx + 2= - sin2x + 2sinx+ 3 = - [sinx-1]2 + 4
Mà - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên-2 ≤ sinx-1 ≤ 0
Suy ra: 0 ≤ [ sinx-1]2 ≤ 4 ⇒ -4 ≤ - [sinx-1]2 ≤ 0
⇒ 0 ≤ 4 - [sinx-1]2 ≤ 4
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sinx= 1 ⇒ x= π/2+k2π.
Câu 6:Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y= sin4x -2 cos2x+ 1.
A.M= 2; m= - 2
B.M=1; m=0
C.M=4;m= - 1
D M=2;m= - 1
Hiển thị lời giải Chọn D.
Ta có: sin4x- 2cos2x + 1= sin4x – 2[ 1- sin2x] + 1
= sin4x + 2sin2x - 1 = [ sin2 x +1]22 - 2
Mà: 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ sin2 x+1 ≤ 2
Suy ra: 1 ≤ [ sin2 x+1]2 ≤ 4 ⇒ -1 ≤ [ sin2 x+1]2-2 ≤ 2 .
Nên M= 2; m= - 1
Câu 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin4x – cos4x.
A. - 3
B. - 1
C. 3
D. 5
Hiển thị lời giải Chọn B.
Ta có: y= 4sin4x – cos4x= 4.[[1-cos2x]/2]2-[2cos2 2x-1]
= 1- 2cos2x+ cos22x – 2cos2x + 1
= - cos42x - 2cos2x + 2 = - [cos2x+ 1]2 + 3
Mà -1 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2x+1 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ [cos2x+1]2 ≤ 4 ⇒ -1 ≤ -[cos2x+1]2+3 ≤ 3
Suy ra m= - 1.
Câu 8:Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2[ sinx - cosx]. Tính P= M+ 2m.
A. 2
B. - 2√2
C. - √2
D. 4√2
Hiển thị lời giải Chọn B
Ta có : 2[ sinx- cosx]=2√2 sin[ x- π/4]
Với mọi x thì : - 1 ≤ sin[ x- π/4] ≤ 1
⇒ - 2√2 ≤ 2√2.sin[ x- π/4] ≤ 2√2
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là M= 2√2 và m= -2√2
⇒ P= M+ 2m= - 2√2
Câu 9:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= √[1- cos2 x]+1là:
A. 2 và 1
B. 0 và 3
C. 1 và 3
D.1 và 1+ √2
Hiển thị lời giải Ta có : √[1- cos2 x]= √[sin2 x]= |sinx|
Do đó; hàm số y= √[1- cos2 x]+1=|sinx|+1
Với mọi x ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên 0 ≤ |sinx| ≤ 1
⇒ 1 ≤ |sinx|+1 ≤ 2
⇒ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 2 và 1.
Chọn A
Câu 10:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin2 x+ 6cos2x+ 2 là
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Hiển thị lời giải Ta có: 4sin2x + 6cos2 x+ 1= 2[ 1- cos2x] + 3[ 1+cos2x] + 2 = cos2x+ 7
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên 6 ≤ cos2x+7 ≤ 8
Suy ra: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 6
Chọn B.
Câu 11:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
A.max y=4,min y=3/4
B.max y=3,min y=2
C.max y=4,min y=2
D.max y=3,min y=3/4
Hiển thị lời giải Đặt t=sin2x, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ cos2x=1-2t
⇒ y= 2t+[1-2t]2=42-2t+1=[2t-1/2]2+3/4
Do 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ -1/2 ≤ 2t-1/2 ≤ 3/2 ⇒ 0 ≤ [2t-1/2]2 ≤ 9/4 ⇒ 3/4 ≤ y ≤ 3 .
Vậy max y=3 đạt được khi x=π/2+kπ .
min y=3/4 đạt được khi sin2x=1/4 .
Chọn D.Câu 12:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1
A. max y=6,min y=-2
B. max y=4,min y=-44
C. max y=6,min y=-4
D.max y=6,min y=-1
Hiển thị lời giải Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski: [ac+bd]2 ≤ [c2+d2][a2+b2] .
Đẳng thức xảy ra khi a/c=b/d .
Ta có: [3sinx+4cosx]2 ≤ [32+42][sin2+cos2]=25
⇒ 5 ≤ 3sinx+4cosx ≤ 5 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6
Vậy max y=6 , đạt được khi tanx=3/4 .
min y=-4 , đạt được khi tanx=-3/4.
Chọn C.
Câu 13:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin2x+3sin2x-4cos2x
A. min y= -3√2 -1, max y=3√2 +1
B. min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1
C. min y= -3√2 , max y=3√2 -1
D. min y= -3√2 -2, max y=3√2 -1
Hiển thị lời giải Ta có: y= 2sin2 x + 3sin2x - 4cos2x
= 1 – cos2x + 3sin2x - 2[ 1+ cos2x]
=3sin2x-3cos2x-1=3√2sin[2x-π/4]-1
Mà -1 ≤ sin[2x- π/4] ≤ 1 ⇒ - 3√2 ≤ 3√2sin[2x- π/4] ≤ 3√2
⇒ - 3√2-1 ≤ 3√2sin[ 2x- π/4]-1 ≤ 3√2-1
Suy ra min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1 .
Chọn B.
Câu 14:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x+3sin2x+3cos2x
A. min y= 2+√10 , max y=2-√10
B. min y= 2+√5, max y=2+√5
C. min y= 2+√2, max y=2-√2
D. min y= 2+√7, max y=2-√7
Hiển thị lời giải Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopki ta có :
- √[32+ 12 ] ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √[32+ 12 ]
Suy ra : -√10 ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √10
⇒ 2-√10 ≤ y ≤ 2+√10
Từ đó ta có được: maxy=2+√10;miny=2-√10.
Chọn A.
Câu 15:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=sinx+ √[2-sin2]
A.min y= 0, max y=3
B.min y= 0, max y=4
C.min y= 0, max y=6
D.min y= 0, max y=2
Hiển thị lời giải Ta có 0 ≤ y ∀x và y2=2+2sin√[2-sin2]
Mà 2|sin√[2-sin2]| ≤ sin2+2-sin2=2
Suy ra 0 ≤ y2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ y ≤ 4
min y=0 đạt được khi x=-π/2+k2π
max y=2 đạt được khi x=π/2+k2π
Chọn D.
Câu 16:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=[sin2x+2cos2x+3]/[2sin2x-cos2x+4]
A. min y= -2/11, max y=2
B. min y= 2/11, max y=3
C. min y= 2/11, max y=4
D. min y= 2/11, max y=2
Hiển thị lời giải + Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcopski ta có:
[2sin2x – cos2x]2 ≤ [22+[-1]2]. [ sin22x + cos22x] = 5
⇒ -√5 ≤ 2sin2x-cos2x ≤ √5
⇒ 4-√5 ≤ 4+ 2sin2x-cos2x ≤ 4+√5
⇒ 4+ 2sin2x- cos2x > 0 với mọi x.
+ Ta có:
y=[sin2x+2cos2x+3]/[2sin2x-cos2x+4]
⇒ y. 2sin2x – y.cos2x + 4y = sin2x +2cos2x + 3
⇔ [2y-1]sin2x-[y+2]cos2x=3-4y [*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi:
⇒ [2y-1]2+[y+2]2 ≥ [3-4y]2
⇔ 11y2-24y+4 ≤ 0 ⇔ 2/11 ≤ y ≤ 2
Suy ra: min y= 2/11, max y=2 .
Chọn D.
Câu 17:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=[2sin23x+4sin3xcos3x+1]/[sin6x+4cos6x+10]
A. min y= [11-9√7]/83, max y=[11+9√7]/83
B. min y= [22-9√7]/11, max y=[22+9√7]/11
C. min y= [33-9√7]/83, max y=[33+9√7]/83
D. min y= [22-9√7]/83, max y=[22+9√7]/83
Hiển thị lời giải +Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski ta có:
[ sin6x+4cos6x]2 ≤ [12+42]. [ sin26x+ cos26x]= 17
⇒ -√17 ≤ sin6x+4cos6x ≤ √17
⇒ sin6x+4cos6x+10 ≥ 10-√17 > 0 ∀x thuộc R
Do đó; hàm số xác định với mọi x.
+ ta có: y=[2sin6x-cos6x+2]/[sin6x+4cos6x+10]
⇒ [y-2]sin6x+[4y+1]cos6x=2-10y
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi:
⇒ [y-2]2+[4y+1]2 ≥ [2-10y]2 ⇔ 83y2-44y-1 ≤ 0
⇒ [22-9√7]/83 ≤ y ≤ [22+9√7]/83.
Suy ra: min y= [22-9√7]/83, max y=[22+9√7]/83
Chọn D.
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Video liên quan
-