Đề bài
Chọn phương án đúng
Câu 1. Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 7 \le 0\\{x^2} - \left[ {2m + 1} \right]x + {m^2} + m \le 0\end{array} \right.\]
Giá trị của \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất là
A. \[m = 0\]
B. \[m = 7\]
C. \[0 \le m \le 7\]
C. \[m = 0\] hoặc \[m = 7\]
Câu 2. Phương trình \[\sqrt {{x^2} + x + 2} = 4 - 2x\] có tập nghiệm là
A. \[S = \left\{ {1;\dfrac{{14}}{3}} \right\}\]
B. \[S = \left\{ 1 \right\}\]
C. \[S = \left\{ {\dfrac{{14}}{3}} \right\}\]
D. \[S = \emptyset \]
Câu 3. Phương trình \[x + \dfrac{4}{x} + 7 = 4\sqrt x + \dfrac{8}{{\sqrt x }}\] có tập nghiệm là
A. \[S = \left\{ {9;16} \right\}\]
B. \[S = \left\{ {1;16} \right\}\]
C. \[S = \left\{ {1;4} \right\}\]
D. \[S = \left\{ {4;9} \right\}\]
Câu 4. Phương trình \[\sqrt {\dfrac{{x + 3}}{x}} + 4\sqrt {\dfrac{x}{{x + 3}}} = m\] có nghiệm khi và chỉ khi
A. \[0 < m \le 4\]
B. \[m \ge 8\]
C. \[m \ge 4\]
D. \[0 < m \le 8\]
Câu 5. Bất phương trình \[ - 16{x^2} + 8x - 1 \ge 0\] có tập nghiệm là
A. \[S = \left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right]\]
B. \[S = \emptyset \]
C. \[S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\]
D. \[S = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\]
Câu 6. Phương trình \[\sqrt {x - 2} + \sqrt {7 - x} = 3\] có tập nghiệm là
A. \[S = \left\{ {3;6} \right\}\]
B. \[S = \left\{ {2;4} \right\}\]
C. \[S = \left\{ {4;6} \right\}\]
D. \[S = \left\{ {2;3} \right\}\]
Câu 7. Phương trình \[\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x - 2} = \sqrt {2x - 2} \] có tập nghiệm là
A. \[S = \left\{ {\dfrac{{11}}{7};3} \right\}\]
B. \[S = \left\{ { - \dfrac{{11}}{7};3} \right\}\]
C. \[S = \left\{ 3 \right\}\]
D. \[S = \left\{ {\dfrac{{11}}{7}} \right\}\]
Câu 8. Bất phương trình \[ - 2{x^2} + 5x + 7 \ge 0\] có tập nghiệm là
A. \[S = \left[ { - \infty ; - \dfrac{7}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right]\]
B. \[S = \left[ { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {\dfrac{7}{2}; + \infty } \right]\]
C. \[S = \left[ { - \dfrac{7}{2};1} \right]\]
D. \[S = \left[ { - 1;\dfrac{7}{2}} \right]\]
Câu 9. Phương trình \[\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} + 6\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}} = 5\] có tập nghiệm là
A. \[S = \left\{ { - 3;2} \right\}\]
B. \[S = \left\{ {\dfrac{{11}}{8};2} \right\}\]
C. \[S = \left\{ { - 3;\dfrac{{11}}{8}} \right\}\]
D. \[S = \left\{ {\dfrac{7}{8};2} \right\}\]
Câu 10. Bất phương trình \[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] + 9 - 5\sqrt {2{x^2} + 3x + 4} < 0\] có tập nghiệm là
A. \[S = \left[ { - \dfrac{3}{2};0} \right]\]
B. \[S = \left[ { - \dfrac{5}{2};1} \right]\]
C. \[S = \left[ { - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {0;1} \right]\]
D. \[S = \left[ { - \infty ; - \dfrac{5}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right]\]
Lời giải chi tiết
Câu 1. Chọn D
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 7 \le 0\\{x^2} - \left[ {2m + 1} \right]x + {m^2} + m \le 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 7\\m \le x \le m + 1\end{array} \right.\]
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \[m + 1 = 1\] hoặc \[m = 7 \]
\[\Leftrightarrow m = 0{\rm{ \text{ hoặc } m = 7}}\].
Câu 2. Chọn B
Ta có: \[\sqrt {{x^2} + x + 2} = 4 - 2x \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 2x \ge 0\\{x^2} + x + 2 = {\left[ {4 - 2x} \right]^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\3{x^2} - 17x + 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x = 1{\rm{ \text{ hoặc } }}x =\dfrac{{14}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ 1 \right\}\].
Câu 3. Chọn C
Xét phương trình: \[\begin{array}{l}x + \dfrac{4}{x} + 7 = 4\sqrt x + \dfrac{8}{{\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right]^2} + 3 = 4\left[ {\sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right]\end{array}\].
Điều kiện xác định \[x > 0.\]
Đặt \[t = \sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }},t \ge 2\sqrt 2 \]. Phương trình trở thành:
\[{t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left[ \text{ loại } \right]\\t = 3\end{array} \right.\].
Vậy \[\sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }} = 3 \Leftrightarrow x - 3\sqrt x + 2 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\].
Phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {1;4} \right\}\].
Câu 4. Chọn C
Điều kiện xác định \[\dfrac{{x + 3}}{x} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 3\\x > 0\end{array} \right.\].
Theo bất đẳng thức Côsi ta có;
\[\sqrt {\dfrac{{x + 3}}{x}} + 4\sqrt {\dfrac{x}{{x + 3}}} \ge 2\sqrt {\sqrt {\dfrac{{x + 3}}{x}} .4\sqrt {\dfrac{x}{{x + 3}}} } = 4.\]
Dấu bằng xảy ra khi \[x = 1\].
Suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[m \ge 4\].
Câu 5. Chọn C
Ta có: \[ - 16{x^2} + 8x - 1 \ge 0\]
\[\Leftrightarrow 16{x^2} - 8x + 1 \le 0\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {4x - 1} \right]^2} \le 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\].
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\].
Câu 6. Chọn A
Xét phương trình \[\sqrt {x - 2} + \sqrt {7 - x} = 3\].
Điều kiện xác định \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 7.\]
Ta có: \[\sqrt {x - 2} + \sqrt {7 - x} = 3 \]
\[\Leftrightarrow x - 2 + 7 - x + 2\sqrt {x - 2} \sqrt {7 - x} = 9\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} \sqrt {7 - x} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\left[ {7 - x} \right] = 4\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 6\end{array} \right.\]
Phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {3;6} \right\}\].
Câu 7. Chọn A
Xét phương trình \[\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x - 2} = \sqrt {2x - 2} \].
Điều kiện xác định \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \ge 0\\x - 2 \ge 0\\2x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\].
Ta có: \[\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x - 2} = \sqrt {2x - 2} \]
\[\Leftrightarrow \sqrt {2x + 3} = \sqrt {x - 2} + \sqrt {2x - 2} \]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + 3 = x - 2 + 2x - 2 + 2\sqrt {x - 2} \sqrt {2x - 2} \\ \Leftrightarrow 7 - x = 2\sqrt {x - 2} \sqrt {2x - 2} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 - x \ge 0\\49 - 14x + {x^2} = 4\left[ {x - 2} \right]\left[ {2x - 2} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\7{x^2} - 10x - 33 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{7}\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\]
Phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\dfrac{{11}}{3};3} \right\}\].
Câu 8. Chọn D
Ta có: \[ - 2{x^2} + 5x + 7 \ge 0 \]
\[\Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 7 \le 0 \]
\[\Leftrightarrow - 1 \le x \le \dfrac{7}{2}.\]
Vậy bất phương trình có tập nghiêm là \[S = \left[ { - 1;\dfrac{7}{2}} \right]\].
Câu 9. Chọn B
Điều kiện xác định \[\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 1\end{array} \right.\].
Đặt \[t = \sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} ,t > 0\]. Phương trình trở thành
\[t + \dfrac{6}{t} = 5 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right.\].
+] \[\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = 4\]
\[\Leftrightarrow x + 2 = 4x - 4 \Leftrightarrow x = 2\] [thỏa mãn điều kiện].
+] \[\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = 9 \]
\[\Leftrightarrow x + 2 = 9x - 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{8}\] [thỏa mãn điều kiện].
Phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\dfrac{{11}}{8};2} \right\}\].
Câu 10. Chọn C
Bất phương trình xác định với mọi \[x \in \mathbb{R}\].
Ta có: \[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] + 9 - 5\sqrt {2{x^2} + 3x + 4} < 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 4 - 5\sqrt {2{x^2} + 3x + 4} + 6 < 0\]
Đặt \[t = \sqrt {2{x^2} + 3x + 4} ,t > 0\]. Bất phương trình trở thành
\[{t^2} - 5t + 6 < 0 \Leftrightarrow 2 < t < 3\].
Vậy: \[2 < \sqrt {2{x^2} + 3x + 4} < 3 \]
\[\Leftrightarrow 4 < 2{x^2} + 3x + 4 < 9\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3x > 0\\2{x^2} + 3x - 5 < 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - \dfrac{3}{2}{\rm{ \text{ hoặc } x > 0}}\\{\rm{ - }}\dfrac{5}{2} < x < 1\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow - \dfrac{5}{2} < x < - \dfrac{3}{2}{\rm{ \text{ hoặc } 0 < x < 1}}\]
Bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ { - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {0;1} \right]\].