Đề bài - bài 46 trang 63 sbt hình học 12 nâng cao
\(\eqalign{& {R \over r} = {{\left( {{x^2} + {{{x^2}{{\tan }^2}\varphi } \over 2}} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + {x^2}{{\tan }^2}\varphi } } \right)} \over {{x^3}{{\tan }^2}\varphi }} \cr& = {{\left( {2 + {{\tan }^2}\varphi } \right)\left( {1 + {1 \over {\cos \varphi }}} \right)} \over {2{{\tan }^2}\varphi }} \cr& = {{\left( {1 + {1 \over {{{\cos }^2}\varphi }}} \right)\left( {{{\cos \varphi + 1} \over {\cos \varphi }}} \right)} \over {2 \cdot {{1 - {{\cos }^2}\varphi } \over {{{\cos }^2}\varphi }}}} \cr& = {{1 + {{\cos }^2}\varphi } \over {2\cos \varphi \left( {1 - \cos \varphi } \right)}} = {1 \over 2} \cdot {{1 + {t^2}} \over {t\left( {1 - t} \right)}} \cr} \) Đề bài Xét hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy và chiều cao thay đổi. Tìm hệ thức liên hệ giữa cạnh đáy và chiều cao của hình chóp để \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, ở đó \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp. Lời giải chi tiết Gọixlà độ dài cạnh đáy,ylà chiều cao của hình chóp;R, rlần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp thì dễ tính được \(R = {{{x^2} + 2{y^2}} \over {4y}},\) \(r = {{xy} \over {x + \sqrt {{x^2} + 4{y^2}} }}\). Vậy \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {\left( {{R \over r}} \right)^3} = {\left[ {{{({x^2} + 2{y^2})(x + \sqrt {{x^2} + 4{y^2}} )} \over {4x{y^2}}}} \right]^3}.\) Từ đó \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \({R \over r}\) nhỏ nhất. Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì \(\varphi = \widehat {SIH}\) (Ilà trung điểm củaBC). Khi đó \(y = {x \over 2}\tan \varphi \Rightarrow 4{y^2} = {x^2}{\tan ^2}\varphi ,\) từ đó \(\eqalign{ (với \(0 < t = \cos \varphi < 1.\)) Như vậy, \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(f(t) = {{1 + {t^2}} \over {t(1 - t)}}\) đạt giá trị nhỏ nhất (0< t < 1). Ta có : \(\eqalign{ & f'(t) = {{2t(1 - {t^2}) - (1 - 2t)(1 + {t^2})} \over {{{\left[ {t(1 - t)} \right]}^2}}} \cr & = {{2{t^2} - 2{t^3} - 1 + 2t - {t^2} + 2{t^3}} \over {{{\left[ {t(1 - t)} \right]}^2}}} = {{{t^2} + 2t - 1} \over {{t^2}{{(1 - t)}^2}}}. \cr & \cr} \) \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 + \sqrt 2 \) (do 0< t <1). Ta có bảng biến thiên Vậyf(t)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = - 1 + \sqrt 2 \), tức là \(\cos \varphi = -1 + \sqrt 2 \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}\varphi = {1 \over {3 - 2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}\varphi = {{1 - 3 + 2\sqrt 2 } \over {3 - 2\sqrt 2 }} = {{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {2 \over {\sqrt 2 - 1}} = 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right) \cr & \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt {2\sqrt 2 + 2} . \cr} \) Vậy hệ thức liên hệ giữaxvàylà \(y = x{{\sqrt {2\sqrt 2 + 2} } \over 2}.\) Khi đó \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. .com |