Đề bài
Dựng tam giác \[ABC,\] biết \[BC = 3 cm,\] \[\widehat A = {45^o}\] và trung tuyến \[AM = 2,5 cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng cách vẽ cung chứa góc \[\alpha:\]
+] Vẽ đường trung trực \[d\] của đoạn thẳng \[AB.\]
+] Vẽ tia \[Ax\] tạo với \[AB\] góc \[\alpha.\]
+] Vẽ đường thẳng \[Ay\] vuông góc với \[Ax\]. Gọi \[O\] là giao điểm của \[Ay\] với \[d.\]
+] Vẽ cung \[\overparen{AmB},\] tâm \[O,\] bán kính \[OA\] sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \[AB\] không chứa tia \[Ax.\]
+] \[\overparen{AmB}\] được vẽ như trên là một cung chứa góc \[\alpha.\]
Lời giải chi tiết
Cách dựng:
Dựng đoạn \[BC = 3cm.\]
Dựng \[\widehat {CBx} = 45^\circ \]
Dựng trung điểm \[M\] của \[BC.\]
Dựng trung trực của \[BC\]
Dựng tia vuông góc \[Bx\] tại \[B\] cắt đường trung trực của \[BC\] tại \[O.\]
Dựng cung tròn \[\overparen{BmC}\] bán kính \[OB\] là cung chứa góc \[45^o\] vẽ trên \[BC.\]
Dựng cung tròn tâm \[M\] bán kính \[2,5 cm\] cắt cung \[\overparen{BmC}\] tại \[A\] và \[A'.\]
Nối \[AB, AC\] [hoặc \[AB, AC\]] ta có \[ABC\] [hoặc \[ABC\]] thỏa mãn điều kiện bài toán.
[Chú ý:
Vì \[BC = 3 cm,\] nên \[MB=MC=BC:2=\dfrac{3}{2}\]
Ta có:\[\widehat {OBM} =90^0-45^0= 45^\circ \] nên tam giác OBM vuông cân tại M.
Nên\[MB=OM=\dfrac{3}{2}\]
Theo định lý Pytago ta có \[OB =\sqrt{MB^2+OM^2}= \displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2}\] \[[cm].\]
Khoảng cách \[2\] tâm \[MO = \displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2}\] \[[cm]\]
\[\displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2} - 2,5 < MO < {{3\sqrt 2 } \over 2} + 2,5\] nên \[[O]\] và \[[M]\] luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được]
Chứng minh:
Ta có \[ΔABC\] [hoặc \[ΔABC]\] có \[BC = 3cm ,\] góc A \[= 45°\][hoặc góc \[A' =45°]\] và trung tuyến \[AM =2,5cm\] [hoặc \[A'M=2,5cm]\] thỏa mãn đề bài.
Biện luận:
Bài toán có hai nghiệm hình.