Đề bài
Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chia tứ giác ABCD thành 4 tam giác nhỏ để tính diện tích mỗi tam giác đó.
- Cộng các kết quả với nhau suy ra đpcm.
Sử dụng công thức diện tích tam giác \[S = \frac{1}{2}ab\sin C\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC, BD\] và \[\widehat {AIB} = \alpha \].
Ta có \[{S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \]
\[{S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin [{180^0} - \alpha ] \]
\[= {1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \]
[hai góc bù nhau có sin bằng nhau]
Suy ra \[{S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} \]
\[ = \frac{1}{2}AI.BI.\sin \alpha + \frac{1}{2}AI.DI.\sin \alpha \]
\[= {1 \over 2}AI.[BI + DI].\sin \alpha \]
\[= {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \]
Tương tự ta suy ra:
\[{S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}}\]\[ = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \]
Do đó,
\[{S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}}\]
\[ = \frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha + \frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha \]
\[= {1 \over 2}.BD.[AI + CI].\sin \alpha \]
\[= {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \]