Đề bài
Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất \[4\] đỉnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa hình đa diện:
Hình \[\left[ H \right]\] gồm các hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:
+ Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Lời giải chi tiết
Gọi \[{M_1}\] là một mặt của hình đa diện\[\left[ H \right]\] chứa ba đỉnh \[A,B,C\].
Khi đó \[AB,BC\] là hai cạnh của \[\left[ H \right]\].
Gọi \[{M_2}\] là mặt khác với \[{M_1}\] và có chung cạnh \[AB\] với \[{M_1}\].
Khi đó \[{M_2}\] còn có ít nhất một đỉnh \[D\] khác với \[A\] và \[B\].
Nếu \[D \equiv C\] thì \[{M_1}\] và \[{M_2}\] có hai cạnh chung \[AB\] và \[BC\] [vô lý].
Vậy \[D\] phải khác \[C\]. Do đó \[\left[ H \right]\] có ít nhất bốn đỉnh \[A,B,C,D\].
Chú ý:
Có thể lấy ví dụ minh họa như sau:
+ Ba điểm phân biệt bất kì thì chỉ xác định được một mặt phẳng chứ không xác định được một hình đa diện.
+ Bốn điểm không đồng phẳng thì xác định được tình tứ diện nên ta suy ra ngay điều phải chứng minh.