Đề bài
Cho \[A, B\] là hai điểm phân biệt và \[d\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB.\]
a] Ta kí hiệu \[{P_A}\]là nửa mặt phẳng bờ \[d\] có chứa điểm \[A\] [không kể đường thẳng \[d\]]. Gọi \[N\] là một điểm của \[{P_A}\]và \[M\] là giao điểm của đường thẳng \[NB\] và \[d.\] Hãy so sánh \[NB\] với \[NM + MA;\] từ đó suy ra \[NA < NB.\]
b] Ta kí hiệu \[{P_B}\]là nửa mặt phẳng bờ \[d\] có chứa điểm \[B\] [không kể điểm \[d\]]. Gọi \[N\] là một điểm của \[{P_B}.\] Chứng minh rằng \[NB < NA.\]
c] Gọi \[L\] là một điểm sao cho \[LA < LB.\] Hỏi điểm \[L\] nằm ở đâu, trong \[{P_A},{P_B}\]hay trên \[d\]?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
- Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác.
Lời giải chi tiết
a] \[M \in d\] nên \[MA = MB\] [tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng].
Do đó : \[NB = NM + MB = NM + MA\] [1]
Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác, trong tam giác \[AMN\], ta có:
\[NM + MA>NA\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[NA < NB\].
b]Gọi \[M'\] là giao điểm của \[d\] và đường thẳng \[N'A\].
Chứng minh tương tự a, ta có\[M' \in d\] nên \[M'A = M'B\] [tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng]
Do đó \[N'A = N'M' + M'A = N'M' \]\[\,+ M'B\] [3]
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác , trong tam giác \[N'M'B\] ta có: \[ N'M' + M'B>N'B\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra\[N'B < N'A\].
c] Nếu \[L \in d\] thì \[LA = LB\] [theo tính chất đường trung trực].
Nếu \[L \in P_B\]thì \[LA > LB\] [theo câu b]
Vậy để \[LA