- LG câu a
- LG b
Cho hàm số \[y = 2{x^4} - 4{x^2}\][1]
LG câu a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1].
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
Tập xác định : \[D = R\]
\[y' = 8{x^3} - 8x = 8x[{x^2} - 1]\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {0;1} \right]\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0;{y_{CD}} = 0\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm 1;{y_{CT}} = - 2\]
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
\[y'' = 24{x^2} - 8;\]\[y'' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\]
Đồ thị có hai điểm uốn: \[{I_1}\left[ { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{{10}}{9}} \right];\]\[{I_2}\left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{{10}}{9}} \right]\].
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại: \[A[ - \sqrt 2 ;0],O[0;0],B[\sqrt 2 ;0]\].
LG b
Với giá trị nào của \[m\], phương trình \[{x^2}|{x^2} - 2| = m\] có đúng \[6\] nghiệm thực phân biệt?
[Đề thi đại học năm 2009; khối B]
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình đã cho về \[\left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right| = 2m\].
- Dựng đồ thị hàm số \[y = \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right|\] từ đồ thị hàm số đã vẽ ở ý a:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục \[Ox\].
+ Lấy đối xứng phần dưới qua \[Ox\] và xóa phần dưới đi.
- Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đường thẳng \[y = 2m\] và đồ thị vừa vẽ được.
Giải chi tiết:
Ta có: \[{x^2}|{x^2} - 2| = m\]\[ \Leftrightarrow 2{x^2}\left| {{x^2} - 2} \right| = 2m\]\[ \Leftrightarrow \left| {2{x^2}\left[ {{x^2} - 2} \right]} \right| = 2m\]\[ \Leftrightarrow \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right| = 2m\]
Từ đồ thị hàm số \[y = 2{x^4}-4{x^2}\] có thể suy ra đồ thị của hàm số \[y = \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right|\] như sau:
Phương trình : \[\left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right| = 2m\] có \[6\] nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \[y = 2m\] giao với đồ thị trên tại \[6\] điểm phân biệt \[ \Leftrightarrow 0 < 2m < 2\] \[ \Leftrightarrow 0 < m < 1\].
Vậy \[0 < m < 1\].