Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m0 20 để hàm số 3 2 yxx mx 6 3đồng biến trên (0)

Số giá trị nguyên thuộc khoảng $\left( -2019;\,2019 \right)$ của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+2019$ ?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −20 ; 2 để hàm số y=x3−x2+3mx−1 đồng biến trên ℝ ?

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l cực hay

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi)

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

Bước 1: Tính y'=f'(x).

Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2).

Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.

Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3

+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔

Theo Vi ét ta có

+ Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0

Vậy giá trị của m cần tìm là m=

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1

+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có

+ Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x

Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt

Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞)

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1

Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 - 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Hiển thị đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m

+ Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1

+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2 ]

Theo Viét ta có

+ Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.

Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + (m + 36)x - 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.

Hiển thị đáp án

Ta có f'(x) = 3x2 - 2mx + m + 36

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v

+ f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2

Theo Vi ét ta có

+ Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ (x1+x2 )2 - 4x1 x2 - 32 = 0

(thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 15; m = -12

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn

Hiển thị đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x)= 3x2 + 6x + m; Δ' = 9 - 3m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |< 2√2

+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 9 - 3m > 0 m < 3

Theo định lý Vi – ét ta có:

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2

⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔(x1 - x2 )2 = 8 ⇔(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = -3

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 - (2 - m)x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Hiển thị đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x) = -3x2 + 2x - 2 + m; Δ' = -5 + m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | = 2

+ f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5

Theo định lý Viét ta có:

.

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔(x1 - x2 )2 = 4

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 14/3

Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x + 2017 nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b - a > 3.

Hiển thị đáp án

Ta có y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≤ 0 ∀ x ∈(a; b)

Δ = m2 - 6m + 9

TH1: Δ ≤ 0 ⇒ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí

TH2: Δ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 (x2 > x1 )

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên (x1;x2 ).

Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ (x2 - x1 )2 > 9 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4(x1.x2)>9

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Phương pháp giải bài toán

Bài toán: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + x + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

• Bước 1: Tính y’ = f’(x).
• Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
  (1)
• Bước 3: Biến đổi |x1 – x2| = l thành (x1 – x2)2 – 4x1․x2 = l2 (2).
• Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m.
• Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Ứng dụng định lý Vi-ét:Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì: