Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = x + 4 2x - m
|
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số \(y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m+25 \right)x-1\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right)\).
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: D Tập xác định \(D=\mathbb{R}\). Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m+25\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x>1\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m+25\ge 0, \forall x>1\) \(\Leftrightarrow m\ge -4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25, \forall x>1\). Xét hàm số \(f\left( x \right)=-4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25\), với x>1. \({f}'\left( x \right)=-12{{x}^{2}}+24x\). \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -12{{x}^{2}}+24x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\) Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(m\ge -4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25,\,\forall x>1\Leftrightarrow m\ge -9\) \(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{4}{x^4} + mx - \dfrac{3}{{2x}}\\ \Rightarrow y' = {x^3} + m - \dfrac{3}{2}.\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}} = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}}\end{array}\) Để hàm số đồng biến . \( \Leftrightarrow {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} \left( { - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}}} \right)\) Dùng máy tính cầm tay, chức năng TABLE (Mode + 7) Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}}\\g(x):bo\,\,qua\\Start:0\\End:5\\Step\dfrac{5}{{19}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Max = - 2,52\) Theo đánh giá trên \(m \ge Max \Rightarrow m \ge - 2,52\) + Mà \(m\) là số nguyên âm \( \Rightarrow m = \left\{ { - 1; - 2} \right\}{\rm{.}}\) Chọn A. Cách 2: Xét hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}\) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge - \left( {{x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right)\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left[ { - \left( {{x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right)} \right]\end{array}\) Xét hàm số \(y = - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}}\) \( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}} = 0\) \( \Leftrightarrow - {x^5} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Ta có BBT: \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left( { - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}} \right) = - \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow m \ge - \frac{5}{2}\) +) Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). +) Cô lập m, đưa BPT về dạng \(m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\). +) Sử dụng chức năng MODE 7, xác định GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và kết luận. Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có \(y' = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} = \dfrac{{2{x^5} + 2m{x^2} + m}}{{2{x^2}}}\). Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2{x^5} + 2m{x^2} + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^5} + m\left( {2{x^2} + 1} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{ - 2{x^5}}}{{2{x^2} + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\end{array}\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{ - 2{x^5}}}{{2{x^2} + 1}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), sử dụng MTCT ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow m \ge 0\). |
