Bài tập tự luận mệnh đề tập hợp lớp 10 năm 2024

Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro

CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam

Lớp học

• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12

Tài khoản

• Gói cơ bản
• Tài khoản Ôn Luyện
• Tài khoản Tranh hạng
• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Thông tin liên hệ

(+84) 096.960.2660

• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Follow us

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,280,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,988,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,128,Đề thi THỬ Đại học,404,Đề thi thử môn Toán,68,Đề thi Tốt nghiệp,48,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,198,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,209,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,14,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,308,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,25,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,96,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,394,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Thuvienhoclieu.Com xin giới thiệu đến các bạn Chuyên đề mệnh đề mệnh đề tập hợp lớp 10 có lời giải và đáp án. Chuyên đề bao gồm các chủ đề: Mệnh đề; Tập hợp – Các phép toán trên tập hợp; Các tập hợp số; Số gần đúng. Sai số. Ứng với mỗi chủ đề đều có tóm tắt lý thuyết cơ bản xen kẻ các bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm có lời giải và đáp án. Chuyên đề được viết dưới dạng file word gồm 56 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho hai tập hợp $A=\left\{ (2;5)\,;\,\,(5;2)\,;\,\,(7;8)\,;\,\,(8;7)\,;\,\,(4;4) \right\}$, $B=\left\{ \left. (x;y) \right|{{x}^{2}}+2x={{y}{2}}+31,\,\,x\in \mathbb{N},\,y\in \mathbb{N} \right\}.$ Tìm tất cả các tập hợp $G$ thỏa mãn $G\,\,\cup \,\,B\,\,=\,\,A$.

Hướng dẫn câu 1:

${{x}^{2}}+2x={{y}{2}}+31$ $\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}-{{y}{2}}=32$ $\Leftrightarrow \left( x+1+y \right)\left( x+1-y \right)=32$

Lại có $x+1+y>0$ nên $x+1+y>x+1-y>0$, $x\in \mathbb{N}\,,\,\,y\in \mathbb{N}$.

Nên $\left\{ \begin{align} & x+1+y=32 \\ & x+1-y=1 \\ \end{align} \right.$, $\left\{ \begin{align} & x+1+y=16 \\ & x+1-y=2 \\ \end{align} \right.$, $\left\{ \begin{align}& x+1+y=8 \\ & x+1-y=4 \\ \end{align} \right.$, tìm ra $B=\left\{ \left( 8\,;\,7 \right)\,;\,\,\left( 5\,;\,2 \right) \right\}$.

Liệt kê được 4 tập hợp $G$ thỏa mãn đề bài.

Câu 2. Lớp 10A có 17 bạn giỏi Bơi, 10 bạn giỏi Chạy, 6 bạn giỏi cả Bơi và Chạy, 9 bạn giỏi cả Bơi và Võ, 7 bạn giỏi cả Chạy và Võ, 4 bạn giỏi đồng thời cả ba môn Bơi, Chạy, Võ. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn giỏi Võ, biết rằng trong lớp có 26 bạn giỏi ít nhất một môn (Bơi, Chạy, Võ) ?

Hướng dẫn câu 2:

Gọi $x$ là số bạn chỉ giỏi Bơi; $y$ là số bạn chỉ giỏi Chạy; $z$ là số bạn chỉ giỏi Võ.

$a$ là số bạn chỉ giỏi Bơi và Chạy; $b$ là số bạn chỉ giỏi Bơi và Võ; $c$ là số bạn chỉ giỏi Chạy và Võ.

$d$ là số bạn giỏi cả 3 môn trên.

Theo đề ra ta có hệ phương trình (tham khảo biểu đồ Ven)

$\left\{ \begin{array} {} x+a+b+d=17 \\ y+a+c+d=10 \\ a+d=6 \\ b+d=9 \\ c+d=7 \\ d=4 \\ x+y+z+a+b+c+d=26 \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & d=4,\,\,c=3,\,\,b=5,\,\,a=2 \\ & x=6,\,\,y=1,\,\,z=5 \\ \end{align} \right.$.

Kết luận: 17 bạn giỏi Võ.

Câu 3. Lớp 10A có 14 học sinh giỏi môn vẽ, 19 học sinh giỏi môn hát và 12 học sinh giỏi môn toán. Biết rằng có 11 học sinh vừa giỏi môn vẽ và môn hát, 9 học sinh vừa giỏi môn hát và môn toán, 5 học sinh vừa giỏi môn toán và môn vẽ, trong đó có đúng 10 học sinh chỉ giỏi đúng hai môn. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh giỏi cả ba môn vẽ, hát, toán ?

Hướng dẫn câu 3:

Gọi ${x}$ là số học sinh giỏi cả ba môn vẽ, hát, toán.

Số học sinh chỉ giỏi hai môn vẽ và hát là 11 - ${x}$.

Số học sinh chỉ giỏi hai môn hát và toán là 9 - ${x}$.

Số học sinh chỉ giỏi hai môn toán và vẽ là 5 - ${x}$.

Ta có phương trình: 11 - ${x}$+ 9 - ${x}$ + 5 - ${x}$ = 10 $\Leftrightarrow $ ${x}$ = 5.

KL …

Câu 4. Cho tập hợp $A=\left\{ 1;2;5;7 \right\}$ và $B=\left\{ 1;2;3 \right\}$. Có tất cả bao nhiêu tập $X$ thỏa mãn: $X\subset A$ và $X\subset B$?

Hướng dẫn:

Vì $\left\{ \begin{align} & X\subset A \\ & X\subset B \\ \end{align} \right.$ nên $X\subset \left( A\cap B \right)$.

Mà $A\cap B=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow$ $X$ là một trong các tập sau: $\varnothing ;\left\{ 1 \right\};\left\{ 2 \right\};\left\{ 1;2 \right\}$. Có 4 tập $X$.

Câu 5. Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x+2m-3}}{\sqrt{m-x}\,-\,1}$ xác định trên khoảng $\left( -1\,;\,3 \right)$.

Hướng dẫn câu 5:

$m\,\,\ge \,\,4.$

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{x-m+1}+\dfrac{2x}{\sqrt{-x+2m}}$ xác định trên khoảng $\left( -1;3 \right)$.

Hướng dẫn câu 6:

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{align} & x-m+1\ge 0 \\ & -x+2m>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge m-1 \\ & x<2m \\ \end{align} \right.$

Với điều kiện $m-1<2m\Leftrightarrow m>-1$ thì hàm số có tập xác định là $D=\left[ m-1;2m \right)$

Vậy hàm số $y=\sqrt{x-m+1}+\dfrac{2x}{\sqrt{-x+2m}}$ xác định trên khoảng $\left( -1;3 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( -1;3 \right)\subset \left[ m-1;2m \right) \\ & m>-1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-1\le -1<3\le 2m \\ & m>-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 0 \\ & m\ge \dfrac{3}{2} \\ & m>-1 \\\end{align} \right.$ Hệ vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn bài toán đã cho.

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{x-2m+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{3-m-x}}$ xác định trên khoảng $\left( 2020;2021 \right).$

Hướng dẫn câu 7:

Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x\ge 2m-1 \\ & x<3-m \\ \end{align} \right.$.

Hàm số xác định trên $\left( 2020;2021 \right)\Leftrightarrow 2m-1\le 2020<2021\le 3-m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le \dfrac{2021}{2} \\ & m\le -2018 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m\le -2018$.

Vậy $m\in \left( -\infty ;-2018 \right]$.

Câu 8. Cho các tập hợp khác rỗng $\left[m-1 ; \dfrac{m+3}{2}\right]$ và $B=(-\infty ;-3) \cup[3 ;+\infty)$. Tìm các giá nguyên dương của $m$ để $A \cap B \neq \varnothing$.

Hướng dẫn câu 8:

$A \cap B \neq \varnothing$ điều kiện là $\left\{ \begin{align} & m-1<\dfrac{m+3}{2} \\ & m-1<-3 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & m-1<\dfrac{m+3}{2} \\ & \dfrac{m+3}{2}\ge 3 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m<5 \\ \left[ \begin{array}{*{35}{l}} m<-2 \\ m\ge 3 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m\in (-\infty -2)\cup [3;5)$

Vì $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow m\in \{3;4\}$.

Câu 9. Cho các tập hợp $A=\left\{x \in R \mid \dfrac{8}{|x-5|}>1\right\}$ và $B=\left\{(x-m)^2<9\right\}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho tập hợp $B$ là tập hợp con của tập hợp $A$.

Hướng dẫn câu 9:

Ta có $\dfrac{8}{|x-5|}>1 \Leftrightarrow|x-5|<8 \Leftrightarrow-8

Mặt khác $(x-m)^2<9 \Leftrightarrow-3

Tập hợp ${B}$ là tập hợp con của tập ${A}$ khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}-3+m>-3 \\3+m<13 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m>0 \\ m<10 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow 0

Câu 10. Cho hai tập hợp $P=[3 m-6 ; 4)$ và $Q=(-2 ; m+1)$, $m \in \mathbb{R}$. Tìm $m$ để $P \backslash Q=\varnothing$.

Hướng dẫn câu 10:

Vì ${P, Q}$ là hai tập hợp khác rỗng, nên ta có điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3m-6<4 \\ m+1>-2 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m<\dfrac{10}{3} \\ m>-3 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow -3

Để $P \backslash Q=\varnothing \Leftrightarrow P \subset Q$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3m-6>-2 \\ m+1\ge 4 \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m>\dfrac{4}{3} \\ m\ge 3 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m\ge 3$

Kết hợp với điều kiện ta có $3 \leq m<\dfrac{10}{3}$.

Câu 11. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

2. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

3. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi chúng có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

4. Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.

5. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.

6. Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

7. Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

Hướng dẫn câu 11:

1. Sai, không nằm trong các trường hợp hai tam giác bằng nhau.

2. Sai vì 2 cạnh bằng nhau chưa chắc đã tương ứng trong hai tam giác đồng dạng.

3. Đúng vì $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{{0}}\Leftrightarrow 2\widehat{A}={{180}}{0}}\Leftrightarrow \widehat{A}={{90}^{0}}.$

4. Sai, vì đường tròn có vô số trục đối xứng.

5. Đúng.

6. Sai, giả sử có hai đường chéo độ dài khác nhau.

7. Sai, lấy tứ giác bất kỳ nội tiếp đường tròn.

Câu 12. Cho tam giác $ABC$. Xét hai mệnh đề sau:

$\left( P \right)$: “tam giác $ABC$ vuông”; $\left( Q \right)$: “$A{{B}^{2}}+A{{C}{2}}=B{{C}^{2}}$”

Hãy phát biểu thành lời văn mệnh đề sau, và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai:

1. $\left( P \right)\Rightarrow \left( Q \right)$.

2. $\left( Q \right)\Rightarrow \left( P \right)$.

Hướng dẫn câu 12:

1. $\left( P \right)\Rightarrow \left( Q \right)$: Nếu tam giác $ABC$ vuông thì $A{{B}^{2}}+A{{C}{2}}=B{{C}^{2}}$. Mệnh đề này sai vì chưa chắc $ABC$ vuông tại $A$.

2. $\left( Q \right)\Rightarrow \left( P \right)$: Nếu $A{{B}^{2}}+A{{C}{2}}=B{{C}^{2}}$ thì tam giác $ABC$ vuông. Mệnh đề này đúng theo định lí Pitago đảo.

Câu 13. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

1. Điều kiện cần và đủ để tứ giác là một hình vuông là nó có bốn cạnh bằng nhau.

2. Điều kiện cần và đủ để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là mỗi số đó chia hết cho 7.

3. Điều kiện cần để $ab>0$ là cả hai số $a$ và $b$ đều dương.
4. Điều kiện đủ để một số nguyên dương chia hết cho 3 là nó chia hết cho 3.

Hướng dẫn câu 13:

1. Mệnh đề sai. Sửa lại là: Điều kiện cần để tứ giác là một hình vuông là nó có bốn cạnh bằng nhau.

2. Mệnh đề sai. Sửa lại là: Điều kiện đủ để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là mỗi số đó chia hết cho 7.

3. Mệnh đề sai. Sửa lại là: Điều kiện đủ để $ab>0$ là cả hai số $a$ và $b$ đều dương.

4. Mệnh đề đúng.

Câu 14. Cho mệnh đề chứa biến $P\left( x \right)$, với $x\in \mathbb{R}$. Tìm $x$ để $P\left( x \right)$ là mệnh đề đúng?

1. $P\left( x \right):\,''{{x}^{2}}-5x+4=0''$.

2. $P\left( x \right):\,''{{x}^{2}}-5x+6=0''$.

3. $P\left( x \right):\,''{{x}^{2}}-3x>0''$.

4. $P\left( x \right):\,''\sqrt{x}>x''$.

5. $P\left( x \right):\,''2x+3<7''$.

6. $P\left( x \right):\,''{{x}^{2}}+x+1>0''$.

Hướng dẫn câu 14:

1. ${{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.$. Vậy khi $x\in \left\{ 1;4 \right\}$ thì $P\left( x \right)$ đúng.

2. ${{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$. Vậy khi $x\in \left\{ 2;3 \right\}$ thì $P\left( x \right)$ đúng.

3. ${{x}^{2}}-3{x}>0\Leftrightarrow x\left( x-3 \right)>0\Leftrightarrow x<0\vee x>3$

4. $\sqrt{x}>x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\ & x>{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge 0 \\ & x\left( x-1 \right)<0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow 0

5. $2x+3<7\Leftrightarrow x<2$

6. ${{x}^{{2}}+x+1={{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}}{2}}+\dfrac{3}{4}>0,\forall x\in \mathbb{R}$. $P\left( x \right)$ đúng với mọi số thực.

Câu 15. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định

1. $P$: “Mọi hình thoi là hình vuông”.

2. $P$: “Số chính phương có thể có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$”.

3. $P$: “Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước là duy nhất”.

Hướng dẫn câu 15:

1. $\overline{P}$: “Tồn tại hình thoi không là hình vuông”. Là mệnh đề đúng.

2. $\overline{P}$: “Số chính phương không thể có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$”. Là mệnh đề sai.

3. $\overline{P}$: “Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước không là duy nhất”. Là mệnh đề sai.

Câu 16. Cho mệnh đề $A:''\exists n\in \mathbb{N}:{{n}^{2}}+3n$ chia hết cho $3''$. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề $A$ và xét tính đúng sai của nó.

Hướng dẫn câu 16:

$A:''\exists n\in \mathbb{N}:{{n}^{{2}}+3n$ chia hết cho $3''$ $\Rightarrow \overline{A}:''\forall n\in \mathbb{N}:{{n}}{2}}+3n$ không chia hết cho $3''$

Xét $n=3k+r\left( k\in \mathbb{Z},r=0,1,2 \right)$$\Rightarrow {{n}^{{2}}+3n=\left( 9{{k}}{2}}+6kr+3k \right)+\left( {{r}^{2}}+r \right)$

Với $r=0$ hoặc $r=2$ thì ${{n}^{2}}+3n$ chia hết cho $3$ và $\overline{A}$ sai.

Câu 17. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai, lập mệnh đề phủ định của mệnh đề:

1. $\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}-x+1>0$.

2. $\exists n\in \mathbb{N},\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)=0$.

3. $\exists x\in \mathbb{Q},{{x}^{2}}=3$.

4. $\forall n\in \mathbb{N},{{2}^{n}}\ge n+2$.

Hướng dẫn câu 17:

1. Mệnh đề đúng, vì ${{x}^{{2}}-x+1={{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}}{2}}+\dfrac{3}{4}>0,\forall x$

Mệnh đề phủ định là $\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}-x+1\le 0$.

2. Mệnh đề sai, vì $\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)=0\Rightarrow n=-2$ hoặc $n=-1$ đều không thuộc $\mathbb{N}$.

Mệnh đề phủ định là $\forall n\in \mathbb{N},\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)\ne 0$.

3. Mệnh đề sai, vì ${{x}^{2}}=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$.

Mệnh đề phủ định là $\forall x\in \mathbb{Q},{{x}^{2}}\ne 3$.

4. Mệnh đề sai, vì chọn $n=1:2\ge 3$.

Mệnh đề phủ định là: $\exists n\in \mathbb{N},{{2}^{n}}

Câu 18. Cho $n$ là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng?

1. $\forall n,n\left( n+1 \right)$ là số lẻ.

2. $\forall n,n\left( n+1 \right)$ là số chính phương.

3. $\forall n,n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$ là số chia hết cho 24.

4. $\exists n,n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$ chia hết cho 8.

Hướng dẫn câu 18:

Đáp án a) sai vì hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn,tích của chúng là số chẵn.

Đáp án b) sai vì $n\left( n+1 \right)$ không thể là số chính phương.

Đáp án c) sai xét trường hợp $n=1$ thì $1.\left( 1+1 \right)\left( 1+2 \right)=6$ không chia hết cho 24.

Đáp án d) đúng vì tồn tại $n=2$ thì $n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=2.3.4=24$ chia hết cho 8.

Câu 19. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:

1. $A=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$

2. $B=\left\{ 0;4;8;12;16 \right\}$

3. $C=\left\{ -3;9;-27;81 \right\}$

4. $D=\left\{ 9;36;81;144 \right\}$

5. $E=\left\{ 2;3;5;7;11 \right\}$

6. $F=\left\{ 3;6;9;12;15 \right\}$

7. $G=$ Tập hợp các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

8. $H=$ Tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm $I$ cho trước và có bán kính bằng 5.

Hướng dẫn câu 19:

1. $A=\left\{ n\in N|n<5 \right\}$

2. $B=\left\{ x\in N|x\vdots 4,x<20 \right\}$

3. $C=\left\{ x\in Z|x={{(-3)}^{n}},n\in N,0

4. $D=\left\{ x\in Z|x={{(3n)}^{2}},n\in N,0

5. $E=\left\{ x\in N|x \right.$ là số nguyên tố nhỏ hơn $\left. 12 \right\}$

6. $F=\left\{ x\in N|x\vdots 3,0

7. $G=\left\{ M|MA=MB; \right.$ $A$ và $B$ là các điểm cho trước $\left. {} \right\}$

8. $H=\left\{ M|IM=5;I \right.$ là điểm cho trước $\left. {} \right\}$.

Câu 20. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

1. $A=\left\{ x\in Z|2{{x}^{3}}-3{{x}{2}}-5x=0 \right\}$

2. $B=\left\{ x\in Z|x<|3| \right\}$

3. $C=\left\{ x=3k;x,k\in Z;-4

Hướng dẫn câu 20:

1. $2{{x}^{3}}-3{{x}{2}}-5x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\dfrac{5}{3} (loại) \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.$. Vậy $A=\left\{ 0;-1 \right\}$

2. $x<\left| 3 \right|\Leftrightarrow -3

$x\in Z\Rightarrow x=0;\pm 1;\pm 2$

Vậy $B=\left\{ \pm 1;\pm 2;0 \right\}$

3. $C=\left\{ -3;0;3;6;9 \right\}$.

Câu 21. Cho $A=\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5 \right\}$. Viết tất cả các tập con của $A$ có ít nhất ba phần tử.

Hướng dẫn câu 21:

Các tập con có ít nhất ba phầu tử của $A$ là:

$\left\{ 1;\ 2;\ 3 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 4 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 5 \right\},\ \left\{ 1;\ 3;\ 4 \right\},\ \left\{ 1;\ 3;\ 5 \right\},\ \left\{ 1;\ 4;\ 5 \right\},\ \left\{ 2;\ 3;\ 4 \right\},\ \left\{ 2;\ 3;\ 5 \right\},\ \left\{ 2;\ 4;\ 5 \right\},\ \left\{ 3;\ 4;\ 5 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 3;4 \right\},\ $

$\left\{ 1;\ 2;\ 3;5 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 4;5 \right\},\ \left\{ 1;\ 3;\ 4;5 \right\},\ \left\{ 2;\ 3;4;\ 5 \right\},\left\{ 1;\ 2;\ 3;4;5 \right\}$ gồm ${16}$ tập.

Câu 22. Tìm tất cả các tập hợp $X$ sao cho: $\left\{ 1;\ 2 \right\}\subset X\subset \left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6 \right\}$.

Hướng dẫn câu 22:

Tập hợp $X$ phải chứa các phần tử $1;\ 2$; ngoài ra có thể chứa thêm một số phần tử còn lại là $3;\ 4;\ 5$; tức là là tập hợp giao của 2 tập $A=\left\{ 1;\ 2 \right\}$và tập $B$, với $B$ là tập con của tập $\left\{ 3;\ 4;\ 5 \right\}$.

Vậy các tập $X$ cần tìm là: $\left\{ 1;\ 2 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 3 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 4 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 5 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 5 \right\},$

$\left\{ 1;\ 2;\ 4;\ 5 \right\},\ \left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5 \right\}.$

Câu 23. Cho $A=\left\{ 2,5 \right\};\,\,\,B=\left\{ 5,x \right\};\,\,\,C=\left\{ x,y,5 \right\}$. Tìm các cặp số $\left( x;y \right)$ để $A=B=C$.

Hướng dẫn câu 23:

Vì $A=B=C$ nên cả 3 tập hợp A, B, C chỉ chứa 2 phần tử là 2 và 5. Do đó ta có $x=2$ và $\left[\begin{align} & y=2 \\ & y=5 \\ \end{align} \right.$.

Câu 24. Cho $A$ là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em, $B$ là tập hợp học sinh đang học tiếng Anh ở trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập:

1. $A\cap B$

2. $A\backslash B$

3. $A\cup B$

4. $B\backslash A$.

Hướng dẫn câu 24:

1. $A\cap B$ là tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường em.

2. $A\backslash B$ là tập hợp các học sinh lớp 10 nhưng không học môn tiếng Anh của trường em.

3. $A\cup B$ là tập hợp các học sinh học lớp 10 hoặc học môn tiếng Anh của trường em.

4. $B\backslash A$ là tập hợp các học sinh học môn tiếng Anh nhưng không học lớp 10 của trường em.

Câu 25. Một lớp có 45 học sinh, đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao?

Hướng dẫn câu 25:

+) Gọi $A$ là tập hợp các bạn đăng ký môn bóng đá, $B$ là tập hợp các bạn đăng kí cầu lông, gọi $x$ là số bạn đăng ký cả hai môn.

+) Tập hợp số học sinh của lớn là: $A\cup B=A\backslash B\cup B$: Ta có: $25+30-x=45\Rightarrow x=10.$

Vậy có 10 bạn đăng ký cả hai môn.

Câu 26. Trong một trường THPT, khối 10 có 160 em học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, 140 em tham gia câu lạc bộ Tin, 100 em học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi khối 10 có bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn câu 26:

Gọi $A$ là tập hợp các bạn tham gia câu lạc bộ Toán.

$B$ là tập hợp các bạn tham gia câu lạc bộ Tin như vậy số học sinh của khối 10 là số phần tử của tập hợp $A\cup B=A\backslash B\cup B$ vậy có: 160+140=200 học sinh khối 10.

Câu 27. Trong 100 học sinh lớp 10 có 70 học sinh nói được tiếng Anh, 45 học sinh nói được tiếng Pháp và 23 học sinh nói được cả hai tiếng Anh và Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh không nói được hai thứ tiếng?

Hướng dẫn câu 27:

+) Gọi $A$ là tập hợp số học sinh nói được tiếng Anh, $B$ là tập hợp số học sinh nói được tiếp Pháp

Tập hợp số học sinh nói được cả 2 tiếng là: $A\cap B$ và có 23 học sinh

Vậy có 100-23=77 học sinh không nói được cả hai thứ tiếng.

+) Tập hợp số học sinh nói được ít nhất 1 thứ tiếng là: $A\backslash B\cup B$ và có: 40+45-23=92 học sinh

Vậy số học sinh không nói được tiếng gì là: 100-92=8 học sinh không nói được một trong hai thứ tiếng.

Câu 28. Cho các tập hợp:$A=\left\{ a;\ b;\ c;\ d \right\}$ $B=\left\{ b;\ d;\ e \right\}$ $C=\left\{ a;\ b;\ e \right\}$. Chứng minh:

1. $A\cap \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash \left( A\cap C \right)$

2. $A\backslash \left( B\cap C \right)=\left( A\backslash B \right)\cup \left( A\backslash C \right)$.

Hướng dẫn câu 28:

1. $A\cap \left( B\backslash C \right)=\left\{ a;\ b;\ c;\ d \right\}\cap \left\{ d \right\}=\left\{ d \right\}$

$\left( A\cap B \right)\backslash \left( A\cap C \right)=\left\{ b;\ d \right\}\cap \left\{ a;\ b \right\}=\left\{ d \right\}$

Vậy $A\cap \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash \left( A\cap C \right)$.

2. $A\backslash \left( B\cap C \right)=\left\{ a;\ b;\ c;\ d \right\}\backslash \left\{ b;\ e \right\}=\left\{ a;\ c;\ d \right\}$

$\left( A\backslash B \right)\cup \left( A\backslash C \right)=\left\{ a;\ c \right\}\cup \left\{ c;\ d \right\}=\left\{ a;\ c;\ d \right\}$

Vậy $A\backslash \left( B\cap C \right)=\left( A\backslash B \right)\cup \left( A\backslash C \right)$.

Câu 29. Chứng minh rằng:

1. Nếu $A\subset B$ thì $A\cap B=A$.

2. Với ba tập $A,\ B,\ C$ thì $A\cap \ \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash C$.

Hướng dẫn câu 29:

1. $x\in A\cap B\Rightarrow x\in A$. Do đó $A\cap B\subset A$.

$x\in A\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\x\in B\left( {do} \ A\subset B \right) \\\end{matrix} \right.\Rightarrow x\in A\cap B$. Do đó $A\subset A\cap B$.

Vậy $A\cap B=A$.

2. Giả sử: $x\in A\cap \left( B\backslash C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x\in A \\ x\in B\backslash C \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x\in A \\x\in B \\ x\notin C \\\end{matrix} \right.\Rightarrow x\in \left( A\cap B \right)\backslash C$.

Do đó $A\cap \left( B\backslash C \right)\subset \left( A\cap B \right)\backslash C$. (1)

Ngược lại, giả sử: $x\in \left( A\cap B \right)\backslash C\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x\in A\cap B \\ x\notin C\ \ \ \ \ \ \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in A \\ x\in B \\x\notin C \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in A \\ x\in B\backslash C \\\end{matrix} \right.\Rightarrow x\in A\cap \left( B\backslash C \right)$

Do đó: $\left( A\cap B \right)\backslash C\subset A\cap \left( B\backslash C \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $A\cap \ \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash C$.

Câu 30. Cho $X=\left\{ \left. x\in \mathbb{N} \right|2

Xác định $A\subset X;\ B\subset X$sao cho: $\left\{ \begin{matrix}A\cap B=\left\{ 6;\ 8;\ 11 \right\}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\A\cup \left\{ 5;\ 6;\ 7 \right\}=\left\{ 3;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 10;\ 11 \right\}\ \ \ \ \ \ (2)\ \\ \left\{ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10;\ 11 \right\}=B\cup \left\{ 6;\ 10 \right\}\ \ \ (3) \\\end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn câu 30:

Từ (1) và (2) suy ra: $\left\{ 3;\ 6;\ 8;\ 10;\ 11 \right\}\subset A$

Từ (1) và (3) suy ra: $\left\{ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10;\ 11 \right\}\subset B$

Vậy $A=\left\{ 3;\ 6;\ 8;\ 10;\ 11 \right\}$; $B=\left\{ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10;\ 11 \right\}$.

Câu 31. Cho hai tập hợp $A$ và $B$ dưới đây. Viết tập $A\cap B,A\cup B$ bằng hai cách:

1. $A=\{x|x$ là ước nguyên dương của 12} $B=\{x|x$ là ước nguyên dương của 18}

2. $A=\{x|x$ là bội nguyên dương của 6} $B=\{x|x$ là ước nguyên dương của 15}.

Hướng dẫn câu 31:

1. $A\cap B=\{x|x$ là ước nguyên dương của 6$\}=\{1;2;3;6\}$

$A\cup B=\{x|x$ là ước nguyên dương của 12 hoặc $18\}=\{1;2;3;4;6;9;12;18\}$

2. $A\cap B=\{x|x$ là bội nguyên dương của $30\}=\{30;60;90;...30n;...\}$

$A\cup B=\{x|x$ là bội nguyên dương của 6 hoặc $18\}=\{6;12;15;18;24;30;...\}$.

Câu 32. Cho $A$ là tập hợp các số nguyên lẻ, $B$ là tập hợp các bội của 3, $C$ là tập hợp các bội của 6. Xác định $A\cap B,B\cap C,C\backslash B.$

Hướng dẫn câu 32:

$A\cap B=\left\{ x\in \mathbb{Z}| \right.$$x$ lẻ và $x$ là bội của $\left. 3 \right\}=\left\{ 3(2k-1)|k\in \mathbb{Z} \right\}$

$B\cap C=\left\{ x \right.\in \mathbb{Z}|$$x$ là bội của$~{3}$hoặc $x$ là bội của $\left. 6 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{Z}| \right.x$ là bội của $\left. 3 \right\}=B.$

$C\backslash B=\left\{ x \right.\in \mathbb{Z}|x$ là bội của ${6}$ và $x$ không là bội của $\left. 3 \right\}=\varnothing .$

Câu 33. Cho tập hợp $A=\left\{ a,b,c,d \right\}$; $B=\left\{ b;d;\,e \right\}$; $C=\left\{ a;\,b;\,c \right\}$. Chứng minh các hệ thức:

1. $A\cap \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash \left( A\cap C \right)$

2. $A\backslash \left( B\cap C \right)=\left( A\backslash B \right)\cap \left( A\backslash C \right)$.

Hướng dẫn câu 33:

1. Ta có $B\backslash C=\left\{ d;e \right\}\Rightarrow A\cap \left( B\backslash C \right)=\left\{ d \right\}$

$A\cap B=\left\{ b;d \right\},A\cap C=\left\{ a;b;c \right\}\Rightarrow \left( A\cap B \right)\backslash \left( A\cap C \right)=\left\{ d \right\}$

Vậy $A\cap \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash \left( A\cap C \right)$

2. $B\cap C=\left\{ b \right\}\Rightarrow A\backslash \left( B\cap C \right)=\left\{ a;c;d \right\}$

$A\backslash C=\left\{ d \right\},A\backslash B=\left\{ a;c \right\}\Rightarrow \left( A\backslash B \right)\cap \left( A\backslash C \right)=\left\{ a;c;d \right\}$

Vậy $A\backslash \left( B\cap C \right)=\left( A\backslash B \right)\cap \left( A\backslash C \right)$.

Câu 34. Chứng minh rằng:

1. Nếu $A\subset B$ thì $A\cap B=A$.

2. Nếu $A\subset C$ và $B\subset C$ thì $A\cup B\subset C$.

3. Nếu $A\cup B=A\cap B$ thì $A=B$. d) Nếu $A\subset B$ và $A\subset C$ thì $A\subset B\cap C$.

Hướng dẫn câu 34:

1. Nếu $A\subset B$ thì $A\cap B=A$

Thật vậy:

Xét với mọi $x\in A$ thì $x\in B$( do $A\subset B$) nên $x\in A\cap B$$\Rightarrow A\subset A\cap B$ $\left( 1 \right)$.

Hơn nữa với mọi $x\in A\cap B$ $\Rightarrow x\in A$ hay $A\cap B\subset A$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta suy ra $A\cap B=A$.

2. Xét với mọi $x\in A\cup B\Rightarrow \left[ \begin{align}& x\in A\xrightarrow{A\subset C}x\in C \\ & x\in B\xrightarrow{B\subset C}x\in C \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow x\in C$ $\Rightarrow A\cup B\subset C$.

3. Vì $A\cup B=\left( A\backslash B \right)\cup \left( B\backslash A \right)\cup \left( A\cap B \right)$ mà $A\cup B=A\cap B$ thì $A=B$ nên $\left\{ \begin{align}& A\backslash B=\varnothing \Rightarrow A\subset B \\ & B\backslash A=\varnothing \Rightarrow B\subset A \\ \end{align} \right.\Rightarrow A=B$.

4. Do $A\subset B$ và $A\subset C$ nên với mọi $x\in A\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x\in B \\ & x\in C \\ \end{align} \right.\Rightarrow x\in B\cap C\Rightarrow A\subset \left( B\cap C \right)$.

Câu 35. Cho $E=\left\{ x\in N\left| x\le 8 \right. \right\}; A=\left\{ 1,3,5,7 \right\}; B=\left\{ 1;2;3;6 \right\}.$

1. Tính ${{C}_{E}}A;{{C}_{E}}B;{{C}_{E}}A\cap {{C}_{E}}B.$

2. Chứng minh ${{C}_{E}}\left( A\cup B \right)\subset {{C}_{E}}\left( A\cap B \right).$

Hướng dẫn câu 35:

1. Ta có: ${{C}_{E}}A=\left\{ 0;2;4;6;8 \right\};{{C}_{E}}B=\left\{ 0;4;5;7;8 \right\}\Rightarrow {{C}_{E}}A\cap {{C}_{E}}B=\left\{ 4;8 \right\}.$

2. $\left\{ \begin{align} & A\cup B=\left\{ 1;2;3;5;6;7 \right\}\Rightarrow {{C}_{E}}\left( A\cup B \right)=E\backslash \left\{ 1;2;3;5;6;7 \right\} \\ & A\cap B=\left\{ 3 \right\}\Rightarrow {{C}_{E}}\left( A\cap B \right)=E\backslash \left\{ 3 \right\} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{C}_{E}}\left( A\cup B \right)\subset {{C}_{E}}\left( A\cap B \right).$

Câu 36. Cho tập hợp $A=\left\{ x\in \mathbb{R}/-3\le x\le 2 \right\},B=\left\{ x\in \mathbb{R}/0

Hướng dẫn câu 36:

$A=\left[ -3;2 \right],B=\left( 0;7 \right),C=\left( -\infty ;-1 \right),D=\left( 5;+\infty \right).$

Câu 37. Cho $A=\left[ 3;\,+\infty \right)$, $B=\left( 0;\,\,4 \right)$. Tìm $A\cap B,\,\,A\cup B,\,\,A\backslash B,\,\,B\backslash A$.

Hướng dẫn câu 37:

$A\cap B=\left[ 3;\,\,4 \right)$, $A\cup B=\left[ 0;\,\,+\infty \right)$, $A\backslash B=\left[ 4;\,\,+\infty \right)$, $B\backslash A=\left( 0;\,\,3 \right)$.

Câu 38. Cho $A=\left( 1;\,\,4 \right)$, $B=\left( 2;\,\,6 \right)$. Tìm $A\cap B,\,\,A\cup B,\,\,A\backslash B,\,\,B\backslash A$.

Hướng dẫn câu 38:

$A\cap B=\left( 2;\,\,4 \right)$, $A\cup B=\left( 1;\,\,6 \right)$, $A\backslash B=\left( 1;\,\,2 \right]$, $B\backslash A=\left( 2;\,\,4 \right]$.

Câu 39. Cho các tập hợp $A=\left\{ 3k+1|k\in \mathbb{Z} \right\},B=\left\{ 6m+4|m\in \mathbb{Z} \right\}$. Chứng minh rằng $B\subset A$

Hướng dẫn câu 39:

Ta có: $\forall x\in B$ $\Rightarrow x=6m+4$ $\Rightarrow x=3\left( 2m+1 \right)+1$.

Đặt $k=2m+1\in \mathbb{Z}$, ta được $x\in A$. Suy ra: $B\subset A$.

Câu 40. Có thể kết luận gì về số $a$ biết:

1. $(-1;3)\cap (a;+\infty )=\varnothing $

2. $(5;a)\cap (2;8)=(2;8)$

3. $[3;12)\backslash (-\infty ;a)=\varnothing $

Hướng dẫn câu 40:

Theo đề bài thì ta có kết quả

1. $a\ge 3$

2. $5

3. $a\ge 12$.

Câu 41. Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa). Hỏi có bao nhiêu học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A?

Hướng dẫn câu 41:

Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là

Số học sinh giỏi Toán: 6+4+3=13.

Số học sinh giỏi Lý: 6+5+3=14.

Số học sinh giỏi Hóa: 4+5+3=12.

Ta lại có:

Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: 6.

Số học sinh giỏi cả Toán và Hóa: 4.

Số học sinh giỏi cả Hóa và Lý: 5.

Và số học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa là 3.

Số học sinh giỏi hơn một môn là 4+6+5+3=18.

Câu 42. Cho tập A là tập hợp các số tự nhiên, mà mỗi số tự nhiên trong A đều chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5, hoặc chia hết cho cả 3 và 5. Trong đó có 2019 số chia hết cho 3; 2020 số chia hết cho 5, 195 số chia hết cho 15; Hỏi tập A có bao nhiêu phần tử?

Hướng dẫn câu 42:

Theo biểu đồ ven ta có:

Tập $A$ có 2019-195+195+2020-195=3844 phần tử.

Câu 43. Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn câu 43:

Gọi $T$, $L$ lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý.

Ta có:

$\left| T \right|$: là số học sinh giỏi Toán

$\left| L \right|$: là số học sinh giỏi Lý

$\left| T\cap L \right|$: là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý

Khi đó số học sinh của lớp là: $\left| T\cup L \right|+6$.

Mà $\left| T\cup L \right|=\left| T \right|+\left| L \right|-\left| T\cap L \right|=25+23-14=34$.

Vậy số học sinh của lớp là 34+6=40.

Câu 44. Cho tập hợp $A=\left[ m;m+2 \right],B\left[ -1;2 \right]$. Tìm điều kiện của $m$ để $A\subset B$?

Hướng dẫn câu 44:

Để $A\subset B$ thì $-1\le m

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge -1 \\ & m+2\le 2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge -1 \\ & m\le 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow -1\le m\le 0$

Câu 45. Cho tập hợp $A=\left( 0;+\infty \right)$ và $B=\left\{ x\in \mathbb{R}\backslash m{{x}^{2}}-4x+m-3=0 \right\}$. Tìm $m$ để $B$ có đúng hai tập con và $B\subset A$.

Hướng dẫn câu 45:

Để $B$ có đúng hai tập con thì $B$ phải có duy nhất một phần tử, và $B\subset A$ nên B có một phần tử thuộc $A$. Tóm lại ta tìm $m$ để phương trình $m{{x}^{2}}-4x+m-3=0$ (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0.

+ Với $m=0$ ta có phương trình: $-4x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{4}$ (không thỏa mãn).

+ Với $m\ne 0$:

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0 điều kiện cần là:

$\Delta '=4-m\left( m-3 \right)=0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+3m+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-1 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.$

+) Với $m=-1$ ta có phương trình $-{{x}^{2}}-4x-4=0$

Phương trình có nghiệm $x=-2$ (không thỏa mãn).

+) Với $m=4$, ta có phương trình $4{{x}^{2}}-4x+1=0$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{2}>0\Rightarrow m=4$ thỏa mãn.

Câu 46. Cho tập hợp $A=\left[ m;m+2 \right],B=\left[ 1;3 \right)$. Tìm điều kiện để $A\cap B=\varnothing $?

Hướng dẫn câu 46:

$A\cap B=\varnothing $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\ & m+2<1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\ & m<-1 \\ \end{align} \right.$.

Câu 47. Cho hai tập hợp $A=\left[ -3;-1 \right]\cup \left[ 2;4 \right]$, $B=\left( m-1;m+2 \right)$. Tìm $m$ để $A\cap B\ne \varnothing $.

Hướng dẫn câu 47:

Ta đi tìm $m$ để $A\cap B=\varnothing $ và loại giá trị này đi

$A\cap B=\varnothing $ khi $m+2\le -3$ hoặc $m-1\ge 4$ hoặc $\left\{ \begin{align}& -1\le m-1 \\ & m+2\le 2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le -5 \\ & m\ge 5 \\ & m=0 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow A\cap B\ne \varnothing \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -5

Câu 48. Cho số thực $a<0$. Tìm $a$ để $\left( -\infty ;9a \right)\cap \left( \dfrac{4}{a};+\infty \right)\ne \varnothing $ ?

Hướng dẫn câu 48:

$\left( -\infty ;9a \right)\cap \left( \dfrac{4}{a};+\infty \right)\ne \varnothing \,\,\left( a<0 \right)\Leftrightarrow \,\,\dfrac{4}{a}<9a\,$ $\Leftrightarrow \,\,\dfrac{4}{a}-9a\,\,<0\,$ $\Leftrightarrow \dfrac{4-9a{}^{{2}}{a}<0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4-9a{}}{2}>0 \\ & a<0\,\, \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow -\dfrac{2}{3}

Câu 49. Cho hai tập hợp $A=\left( m-1;\,5 \right);\,B=\left( 3;\,+\infty \right),\,m\in \mathbb{R}.$ Tìm $m$ để $A{ }\!\!\backslash\!\!{ }B=\varnothing .$

Hướng dẫn câu 49:

Điều kiện $m-1<5\Leftrightarrow m<6$

Để $A{ }\!\!\backslash\!\!{ }B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B\Leftrightarrow m-1\ge 3\Leftrightarrow m\ge 4$

Kết hợp điều kiện bàn đầu ta được: $4\le m<6.$

Câu 50. Cho tập hợp khác rỗng $A=\left[ a,8-a \right],a\in R$. Với giá trị nào của $a$ thì $A$ sẽ là một đoạn có độ dài bằng 5?

Hướng dẫn câu 50:

Điều kiện: $8-a>a\Leftrightarrow a<4$

Độ dài đoạn $A$ là $8-a-a=5\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\left( tm \right)$.

Câu 51. Cho hai tập hợp $M=\left[ 2m-1\,;{ }2m+5 \right]$ và $N=\left[ m+1\,;{ }m+7 \right]$ (với $m$ là tham số thực). Tìm $m$ để hợp của hai tập hợp $M$ và $N$ là một đoạn có độ dài bằng 10?

Hướng dẫn câu 51:

Nhận thấy $M,\,N$ là hai đoạn cùng có độ dài bằng 6, nên để $M\cup N$ là một đoạn có độ dài bằng 10 thì ta có các trường hợp sau: