Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: [{4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48 Leftrightarrow {4^x} + 32x = 32y - {4^y} + 48].
Vì [x,,,y in {mathbb{N}^*},,,x < y] nên ta thử các TH sau:
+ Với [x = 1,,,y = 2] ta có: [4 + 32 = 64 - 16 + 48 Leftrightarrow 36 = 96] [Vô lí].
[ Rightarrow x ge 2 Rightarrow VT = {4^x} + 32x ge 80,,left[ 1 right]].
Xét hàm số [fleft[ y right] = 32y - {4^y} + 48] ta có [f'left[ y right] = 32 - {4^y}ln 4 = 0 Leftrightarrow y = {log _4}dfrac{{32}}{{ln 4}}].
BBT:
Vì [y in {mathbb{N}^*}] nên [fleft[ y right] = 32y - {4^y} + 48 in {mathbb{N}^*}], dựa vào BBT [ Rightarrow fleft[ y right] le 97,,left[ 2 right]].
Từ [1] và [2]
[begin{array}{l} Rightarrow 80 le fleft[ y right] le 97 Rightarrow 80 le VP le 97 Rightarrow 80 le VT le 97\ Rightarrow 80 le {4^x} + 32x le 97,,left[ * right]end{array}].
Hàm số [gleft[ x right] = {4^x} + 32x] đồng biến trên [mathbb{R}], do đó từ [*] ta suy ra [x = 2].
Với [x = 2] ta có [80 = 32y - {4^y} + 48 Leftrightarrow 32y - {4^y} = 32], sử dụng MODE7 ta tìm được [y = 3].
Vậy có 1 cặp số [left[ {x;y} right]] thỏa mãn là [left[ {x;y} right] = left[ {2;3} right]].[]
Chọn D.
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \[\left[ {x;\,y} \right]\] thoả mãn \[0 < x \le 2021\] và \[{3^x}\left[ {x + 1} \right] = {27^y}y\]?
A. \[2019\].
B. \[2020\].
C. \[674\].
D. \[763\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \[{3^x}.\left[ {x + 1} \right] = {27^y}.y\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{3^x}.\left[ {x + 1} \right]} \right] = {\log _3}\left[ {{{27}^y}.y} \right]\]
\[ \Leftrightarrow x + {\log _3}\left[ {x + 1} \right] = 3y + {\log _3}y\] \[ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right] + {\log _3}\left[ {x + 1} \right] = 3y + {\log _3}y + {\log _3}3\] \[ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right] + {\log _3}\left[ {x + 1} \right] = 3y + {\log _3}\left[ {3y} \right]\,\,\,\,\,\left[ * \right]\]
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = t + {\log _3}t\], với \[t > 0\].
\[f’\left[ t \right] = 1 + \frac{1}{{t\ln 3}} > 0\], \[\forall t > 0\].
Suy ra hàm số \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0;\, + \infty } \right]\].
Từ đó \[\left[ * \right] \Leftrightarrow f\left[ {x + 1} \right] = f\left[ {3y} \right]\]\[ \Leftrightarrow x + 1 = 3y\]\[ \Leftrightarrow x = 3y – 1\].
Vì \[0 < x \le 2021\] nên \[0 < 3y – 1 \le 2021\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3} < y \le \frac{{2022}}{3}\]\[ \Rightarrow y \in \left\{ {1;{\kern 1pt} \,2;\,3;\,…;\,674} \right\}\].
Ứng với mỗi giá trị \[y\] nguyên dương cho ta một giá trị \[x\] nguyên dương.
Vậy có \[674\] cặp số nguyên dương \[\left[ {x;\,y} \right]\] thỏa yêu cầu bài toán.
Viết phân số âm năm phần tám.
Trong các cách viết sau đây, cách viết nào cho ta phân số:
Phần tô màu trong hình sau biểu diễn phân số nào?
Hãy viết phép chia sau đưới dạng phân số: $\left[ { - 58} \right]:73$
Phần tô màu trong hình sau biểu diễn phân số nào?
Phân số nào dưới đây bằng với phân số \[\dfrac{{ - 2}}{5}?\]
Tìm số nguyên \[x\] biết \[\dfrac{{35}}{{15}} = \dfrac{x}{3}?\]
Điền số thích hợp vào chỗ chấm $\dfrac{{15}}{{90}} = \dfrac{5}{{...}}$
Viết \[20\,d{m^2}\] dưới dạng phân số với đơn vị là mét vuông.
Nhận xét nào sau đây là đúng khi nói về phân số?
Viết số nguyên \[ - 16\] dưới dạng phân số ta được:
Viết số nguyên \[a\] dưới dạng phân số ta được:
Cách viết nào sau đây cho ta một phân số:
Phân số \[\dfrac{{ - 9}}{7}\] được đọc là:
Phân số có tử bằng \[ - 4\], mẫu bằng \[5\] được viết là:
Rút gọn phân số \[\dfrac{{ - 12a}}{{24}}\] , \[a \in \mathbb{Z}\] ta được:
18/10/2021 2,916
C. 2022[2022-1]
Đáp án chính xác
Chọn C
Ta có: logx+12y+1≤4y4+4y3−x2y2−2y2x⇔logxy+y2y2+y≤4y4+4y3+y2−x2y2+2y2x+y2
⇔logxy+y−log2y2+y≤2y2+y2−xy+y21
Xét hàm số ft=logt+t2 với t∈0;+∞.
Ta có: f't=1tln10+2t>0;∀t∈0;+∞. Suy ra hàm f[t] đồng biến trên t∈0;+∞.
Khi đó: 1⇔fxy+y≤f2y2+y⇔xy+y≤2y2+y⇔x≤2y.
Vì y∈ℤ+ và y≤2021 nên ta xét các trường hợp sau.
- y=1⇒x∈1;2.
- y=2⇒x∈1;2;3;4.
- ……………………………….
- y=2021⇒x∈1;2;3;.....;4042.
Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán là: 2+4+6+...+4042=2022.2021
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số y=f[x] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số y=f[x] nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
Xem đáp án » 18/10/2021 3,043
Với a là số thực dương tùy ý, log24a bằng
Xem đáp án » 18/10/2021 2,484
Cho hàm số y=f[x] có đạo hàm trên R và hàm số y=f'[x] có đồ thị như hình vẽ. Trên [-2;4], gọi x0 là điểm mà tại đó hàm số g[x]=fx2+1−lnx2+8x+16 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x0 thuộc khoảng nào?
Xem đáp án » 18/10/2021 2,079
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng [SBC] bằng 30°. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
Xem đáp án » 18/10/2021 1,533
Cho hàm số bậc bốn y=f[x] có đồ thị [C] như hình vẽ bên. Biết hàm số y=f[x] đạt cực trị tại các điểm x1,x2,x3 thỏa mãn x3=x1+2, fx1+fx3+23fx2=0 và [C] nhận đường thẳng d:x=x2 làm trục đối xứng. Gọi S1,S2,S3,S4 là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số S1+S2S3+S4 gần kết quả nào nhất
Xem đáp án » 18/10/2021 1,216
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên R?
Xem đáp án » 18/10/2021 726
Một công ty sản xuất bồn đựng nước hình trụ có thể tích thực 1m3 với chiều cao bằng 1m. Biết bề mặt xung quanh bồn được sơn bởi loại sơn màu xanh tô như hình vẽ và màu trắng là phần còn lại của mặt xung quanh; với mỗi mét vuông bề mặt lượng sơn tiêu hao 0.5 lít sơn. Công ty cần sơn 10000 bồn thì dư kiến cần bao nhiêu lít sơn màu xanh gần với số nào nhất, biết khi đo được dây cung BF=1m
Xem đáp án » 18/10/2021 640
Trong không gian Oxyz vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M[-3;5;7]?
Xem đáp án » 18/10/2021 570
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A[-2;1;1] và B[2;1;1]. Xét khối nón [N] có đỉnh A đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi [N] có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng [P] chứa đường tròn đáy của [N] cách điểm E[1;1;1] một khoảng là bao nhiêu?
Xem đáp án » 18/10/2021 566
Cho khối chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B, SA=2a, AB=3a, BC=4a. Thể tích khối chóp đã cho bằng
Xem đáp án » 18/10/2021 545
Cho số phức z=5-3i. Môđun của số phức 1−2iz¯−1 bằng
Xem đáp án » 18/10/2021 470
Cho hàm số y=f[x] có đồ thị hàm số y=f'[x] như hình vẽ dưới đây .
Hàm số gx=x+x2−1 có bao nhiêu điểm cực đại
Xem đáp án » 18/10/2021 353
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có B'B=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=a3. Tính góc giữa C'A và mp [ABC]
Xem đáp án » 18/10/2021 328
Tập nghiệm của bất phương trình log12x≤log122x−1 là
Xem đáp án » 18/10/2021 256
Cho hàm số f[x]=sin4x. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Xem đáp án » 18/10/2021 241