Có 10 học sinh gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXTuyển Tập Xác Suất Đủ Mức Độ.Câu 1. Lớp 11B có 20 học sinh gồm 12 nữ và 8 nam. Cần chọn ra 2 học sinh của lớp đi lao động. Tínhxác suất để chọn được 2 học sinh trong đó có cả nam và nữ.144833ABC...959595Hướng dẫn giảiD47.95Số cách chọn 2 trong số 20 học sinh là C220 = 190 ⇒ n[Ω] = 190.Gọi A là biến cố: “2 học sinh được chọn có cả nam và nữ ”.Số kết quả thuận lời cho A là C18 · C112 = 96 ⇒ n[ A] = 96. Vậy, P[ A] =n[ A ]48= .n[ Ω ]95Chọn đáp án BCâu 2. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xácsuất để phương trình x2 + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.351A .B .C .563Hướng dẫn giảiD2.3√b>2 2Phương trình x2 + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi ∆ = b2 − 8 > 0 ⇔ √b < −2 2.Vì số chấm xuất hiện ở mỗi mặt của con súc sắc là một số tự nhiên từ 1 đến 6 nên b ∈ {3, 4, 5, 6}.42Vậy xác suất cần tìm là P = = .63Chọn đáp án DCâu 3. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ một tổ có 9 học sinh. Biết rằng xác suất chọn được 2 học sinh5nữ bằng , hỏi tổ có bao nhiêu học sinh nữ?18A 5.B 3.C 4.D 6.Hướng dẫn giảiGọi số học sinh nữ là n [2 ≤ n < 9, n ∈ N].Chọn bất kỳ 2 học sinh ta có C29 = 36 cách.n [ n + 1]cách.2n [ n + 1]5Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ là=⇔ n = 4.7218Chọn đáp án CĐể chọn 2 học sinh được 2 học sinh nữ có C2n =Câu 4. Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫunhiên một số trong tập hợp X. Xác suất để số chọn ra có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi mộtkhác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau bằng3525105A.B.C.291640968748Hướng dẫn giảiD25.17496Số phần tử của tập X là 68 .Để tạo ra số có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 1PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXđứng cạnh nhau ta làm như sau:• Sắp xếp 5 chữ số lẻ trong đó có 3 chữ số 1 ta có5!= 20 cách xếp.3!• Với mỗi cách sắp xếp như thế sẽ tạo ra 6 chỗ để đưa vào các chữ số chẵn. Chẳng hạn như11135• Để tạo ra số thỏa yêu cầu bài toán ta xếp các chữ số 2; 4; 6 vào 6 chỗ trên sao cho mỗi ô trốngchỉ chứa đúng 1 chữ số. Như vậy có A36 = 120Vậy xác suất đề bài cần tìm là P =20 × 12025=.1749668Chọn đáp án DCâu 5. Có hai thùng đựng rượu Bầu Đá, một loại rượu nổi tiếng của thị xã An Nhơn, tỉnh Bình Định.Thùng thứ nhất đựng 10 chai gồm 6 chai rượu loại một và 4 chai rượu loại hai. Thùng thứ hai đựng8 chai gồm 5 chai rượu loại một và 3 chai rượu loại hai. Lấy ngẫu nhiên mỗi thùng một chai, tính xácsuất để lấy được ít nhất 1 chai rượu loại một. Biết rằng các chai rượu giống nhau về hình thức [rượuloại một và loại hai chỉ khác nhau về nồng độ cồn] và khả năng được chọn là như nhau.71317..A .B .CD922020Hướng dẫn giảiSố phần tử không gian mẫu là n[Ω] = 10 · 8 = 80.Gọi A là biến cố “Lấy được ít nhất 1 chai rượu loại một”.Số trường hợp thuận lợi cho A là n[ A] = 6 · 5 + 6 · 3 + 5 · 4 = 68.n[ A ]17Vậy xác suất cần tính là P[ A] == .n[ Ω ]20Chọn đáp án DCâu 6. Người dân Bình Định truyền nhau câu ca dao:“Muốn ăn bánh ít lá gaiLấy chồng Bình Định sợ dài đường đi.”Muốn ăn bánh ít lá gai thì bạn phải tìm về với xứ Tuy Phước - Bình Định. Nơi đây nổi tiếng trứ danhvới món bánh nghe cái tên khá lạ lẫm “Bánh ít lá gai” và hương vị làm say đắm lòng người. Trongmột lô sản phẩm trưng bày bánh ít lá gai ở hội chợ ẩm thực huyện Tuy Phước gồm 40 chiếc bánh,25 chiếc bánh có nhiều hạt mè và 15 chiếc bánh có ít hạt mè, một du khách chọn ngẫu nhiên 5 chiếcbánh, tính xác suất để du khách đó chọn được ít nhất 2 chiếc bánh có nhiều hạt mè [các chiếc bánhcó khả năng được chọn là như nhau].19901800A.B.21092109Hướng dẫn giải"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesC1184.2109D1892.2109Trang 2PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXGọi A là biến cố có ít nhất 2 chiếc bánh có nhiều mè.Suy ra A là biến cố có 1 chiếc bánh hoặc không có chiếc bánh nào có nhiều mè.Số cách chọn 4 chiếc ít mè và 1 chiếc bánh nhiều mè là C415 · C125 .Số cách chọn cả 5 chiếc ít mè là C515 .P[ A] = 1 − P[ A] = 1 −C415 · C125 + C5151990.=2109C540Chọn đáp án ACâu 7. Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nghiên cùng một lúcba tấm thẻ. Tính xác suất sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trênhai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị?1727..AB2552Hướng dẫn giảiC253.325D1771.2600Để bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhauít nhất 2 đơn vị thì phải rút được ba thẻ sao cho trong đó không có hai thẻ nào là hai số tự nhiên liêntiếp.Số phần tử của không gian mẫu [số cách rút ba thẻ bất kì] là: C326 .Số cách rút ba thẻ có đúng 2 số tự nhiên liên tiếp:Chọn các bộ hai số tự nhiên liên tiếp: [1; 2], [2, 3], · · · [25; 26].Nếu chọn hai thẻ là [1; 2] và [25; 26] thì có 2 cách, thẻ còn lại không được là 3 hoặc 24. Vậy ở trườnghợp này có tất cả 2[26 − 3] = 46 cách chọn.Nếu chọn hai thẻ là [2; 3], [3, 4], · · · [24; 25] thì có 23 cách, thẻ còn lại chỉ có 26 − 4 = 22 cách. Vậy ởtrường hợp này có tất cả 23 · 22 = 506 cách chọn.Số cách rút ba thẻ trong đó ba ba thẻ đều là ba số tự nhiên liên tiếp là 24 cách.Suy ra có C326 − 46 − 506 − 24 = 2024 cách rút được ba thẻ sao cho trong đó không có hai thẻ nào làhai số tự nhiên liên tiếp.Vậy xác suất cần tìm là P =2024253=.3325C26Chọn đáp án CCâu 8. Một hộp chứa 12 quả cầu gồm 7 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiênđồng thời 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 3 quả cầu chọn ra cùng màu trắng bằng73591A.B.C.D.44224422Hướng dẫn giảiSố phần tử của không gian mẫu: nΩ = C312 = 220.Gọi A là biến cố: “Chọn được ba quả cầu cùng màu”. Ta có n[ A] = C37 + C35 = 45.459P[ A ] == .22044Chọn đáp án C"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 3PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXCâu 9. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên mộtsố thuộc A. Tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25.17431A.B.C.8132427Hướng dẫn giảiD11.324Số các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau là 9 · A79 .Trong các số trên, số tự nhiên chia hết cho 25 khi hai chữ số cuối chia hết cho 25. Vậy hai chữ số cuốicó dạng 25 hoặc 50 hoặc 75.• 2 chữ số cuối là 25, có 7 · A57 số.• 2 chữ số cuối là 50, có A68 số.• 2 chữ số cuối là 75, có 7 · A57 số.Vậy xác suất cần tìm là7 · A57 + A68 + 7 · A5711=.3249 · A79Chọn đáp án DCâu 10. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chiahết cho 3.A 1.B 3.C2.3D1.3Hướng dẫn giảiTa có n [Ω] = 6.Gọi A: “Mặt có số chấm chia hết cho 3” ⇒ A = {3, 6} ⇒ n[ A] = 2.1n[ A]= .Xác suất cần tìm P[ A] =n[Ω]3Chọn đáp án DCâu 11. Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu đại số và 4 câu hình học. Thầy gọibạn Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trên đê trả lời. Hỏi xácsuất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu?1129A .B.C.63030Hướng dẫn giảiD5.6Không gian mẫu: n[Ω] = C310 .Gọi A là biến cố có ít nhất một câu hình. n[ A] = C14 .C26 + C24 .C16 + C34 .n[ A]5P[ A ] == .n[Ω]6Chọn đáp án DCâu 12. Cho đa giác đều 18 cạnh. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn 2 tam giác trong số các tamgiác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh. Xác suất để chọn được hai tam giác vuông có cùngchu vi là35A.286Hướng dẫn giảiB70.143"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesC35.143D10.33Trang 4LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Xét hai tam giác vuông ABC và A BC có chung cạnh huyền và có chu vi bằng nhau. Đặt ϕ = ABC,ϕ = A BC, 0◦ < ϕ, ϕ < 90◦ .AABCOChu vi hai tam giác bằng nhau khiBC [sin ϕ + cos ϕ] = BC [sin ϕ + cos ϕ ]⇔ sin [ ϕ + 45◦ ] = sin ϕ + 45◦ϕ=ϕ⇔ ϕ = 90◦ − ϕSuy ra hai tam giác ABC và A BC bằng nhau. Gọi S là tập hợp tất cả các tam giác vuông, ta có|S | = 4C29 = 144 vàS =Sϕϕ∈Ωtrong đó S ϕ là tập hợp các tam giác vuông có một góc bằng ϕ, Ω = 10◦ ; 20◦ ; 30◦ ; 40◦ . Dễ thấy|S10◦ | = |S20◦ | = |S30◦ | = |S40◦ | = 4 · 9 = 36.Xác suất để chọn được hai tam giác có chu vi bằng nhau làP=4 · C23635=.2143C144Chọn đáp án CCâu 13. Một người rút ngẫu nhiên ra 6 quân bài từ bộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Xác suất đểrút được 6 quân bài trong đó có 1 tứ quý và 2 quân bài còn lại có chất khác nhau làC1 · C1 · C136C113 · C24 · C112 · C112C115 · C112 · C112C113 · C24 · C112 · C112A 15 48.B.C.D.A652A652C652C113Hướng dẫn giảiGọi A là biến cố người đó bốc được 1 tứ quý và 2 quân bài còn lại có chất khác nhau.Không gian mẫu |Ω| = C652 .Bộ bài gồm có 13 tứ quý, do đó số cách chọn 1 tứ quý để người đó rút trúng là C113 .Với 1 tứ quý đã chọn, bộ bài còn lại 48 quân bài chia thành 4 chất, mỗi chất gồm 12 quân bài. Do đó,số cách chọn 2 quân bài còn lại có chất khác nhau để người đó rút trúng là C24 · C112 · C112 .C1 · C2 · C1 · C1|Ω A |Vì vậy |Ω A | = C113 · C24 · C112 · C112 . Do đó P[ A] == 13 4 1 12 12 .|Ω|C13Chọn đáp án D"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 5PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXCâu 14. Một ban đại diện gồm 5 người được thành lập từ 10 người có tên sau đây: Lan, Mai, Minh,Thu, Miên, An, Hà, Thanh, Mơ, Nga. Tính xác xuất để ít nhất 3 người trong ban đại diện có tên bắtđầu bằng chữ M.5A.252Hướng dẫn giảiB1.24C5.21D11.42Ta có số phần tử của không gian mẫu là n[Ω] = C510 .Gọi A là biến cố: “ít nhất 3 người trong ban đại diện có tên bắt đầu bằng chữ M”.• Trường hợp 1: Có đúng 3 người tên bắt đầu bằng chữ M.Chọn 3 người có tên bắt đầu bằng chữ M: có C34 cách chọn.Chọn 2 người trong 6 người còn lại: có C26 cách chọn. Suy ra có C34 · C26 cách chọn.• Trường hợp 2: Có đúng 4 người tên bắt đầu bằng chữ M.Chọn 4 người có tên bắt đầu bằng chữ M: có C44 cách chọn.Chọn 1 người trong 6 người còn lại: có C16 cách chọn. Suy ra có C44 · C16 cách chọn.Suy ra n[ A] = C34 · C26 + C44 · C16 = 66.VậyP[ A ] =6611n[ A]= 5 = .n[Ω]42C10Chọn đáp án DCâu 15. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất đểchọn được một số mà trong số đó, chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước và bachữ số đứng giữa đôi một khác nhau.777AB..150002500Hướng dẫn giảiC11.648D11.15000Số phần tử của tập S là 9 · 10 · 10 · 10 · 10 = 90000.Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập Sta được n[Ω] = C190000 .Gọi biến cố A : “Chọn được một số mà trong số đó, chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ sốđứng trước và ba chữ số đứng giữa đôi một khác nhau”.Gọi số cần chọn có dạng abcde với a, b, c, d, e ∈ N và 1 ≤ a ≤ b < c < d ≤ e ≤ 9.Đặt a1 = a − 1, e1 = e + 1, ta có 0 ≤ a1 < b < c < d < e1 ≤ 10.Số các bộ số có dạng a1 bcde1 với 0 ≤ a1 < b < c < d < e1 ≤ 10 là C511 .Với mỗi bộ số có dạng a1 bcde1 ta được một số dạng abcde, nên n[ A] = C511 .C577Vậy P[ A] = 1 11 =.15000C90000Chọn đáp án ACâu 16. Một hộp chứa 18 quả cầu gồm 8 quả cầu màu xanh và 10 quả cầu màu trắng. Chọn ngẫunhiên 2 quả từ hộp đó. Tính xác xuất để chọn được 2 quả cầu cùng màu."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 6PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEX12.17Hướng dẫn giảiAB5.17C73.153D80.153Gọi Ω là không gian mẫu.Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp ta có C218 cách hay n [Ω] = C218 = 153.Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cầu cùng màu. Ta có các trường hợp sau.• TH1. Lấy được 2 quả cầu màu xanh có C28 = 28 cách.• TH2. Lấy được 2 quả cầu màu trắng có C210 = 45 cách.Do đó, n [ A] = 73.Vậy xác suất biến cố A là P [ A] =73n [ A]=.n [Ω]153Chọn đáp án CCâu 17. Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất chọn được 2 bi cùng màulà40.9Hướng dẫn giảiAB4.9C1.9D5.9Số phần tử của không gian mẫu là n[Ω] = C29 .Gọi A là biến cố 2 bi được chọn cùng màu, ta có n[ A] = C25 + C24 = 16.4n[ A]= .Vậy xác suất chọn được 2 bi cùng màu là P[ A] =n[Ω]9Chọn đáp án BCâu 18. Một hộp chứa 13 quả bóng gồm 6 quả bóng màu xanh và 7 quả bóng màu đỏ. Chọn ngẫunhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp đó. Xác suất để 2 quả bóng chọn ra cùng màu bằng8657A.B.C.D.13131313Hướng dẫn giảiC2 + C26Xác suất để chọn ra 2 quả bóng cùng màu là 6 2 7 = .13C13Chọn đáp án BCâu 19. Từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6}, lập một số bất kì gồm 3 chữ số. Tính xác suất để số nhận đượcchia hết cho 6.2A .7Hướng dẫn giảiB1.4C1.8D1.6• Số các số có 3 chữ số được lập là 63 .• Gọi số có 3 chữ số chia hết cho 6 là abc. Ta có abc chia hết cho 6 ⇔ abc chia hết cho 2 và 3.– Có 3 cách chọn c.– Có 6 cách chọn b."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 7PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEX– Do a + b + c chia hết cho 3 nên có 2 cách chọn a.Suy ra có 36 số có 3 chữ số lập từ {1; 2; 3; 4; 5; 6} chia hết cho 6.• Xác suất cần tìm là136= .366Chọn đáp án DCâu 20. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ vua. Người dànhchiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 vánvà người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất dành chiến thắng.7431A .B .C .D .8542Hướng dẫn giảiĐể cuộc thi kết thúc thì cần tối đa thêm 3 ván đấu nữa diễn ra. Khi đó xảy ra các trường hợp sau:• Ván thứ nhất: người thứ nhất thắng. Khi đó người thứ nhất thắng đủ 5 ván, người thứ hai mớithắng 2 ván nên cuộc thi dừng lại. Kết quả chung cuộc người thứ nhất dành chiến thắng.• Ván thứ nhất: người thứ nhất thua, tiếp tục ván thứ hai thì người thứ nhất thắng. Khi đó ngườithứ nhất thắng đủ 5 ván , người thứ hai mới thắng 3 ván nên cuộc thi dừng lại. Kết quả chungcuộc người thứ nhất dành chiến thắng.• Ván thứ nhất và ván thứ hai người thứ nhất thua, ván thứ ba người thứ nhất thắng. Khi đóngười thứ nhất thắng đủ 5 ván, người thứ hai mới thắng 4 ván nên cuộc thi dừng lại. Kết quảchung cuộc người thứ nhất dành chiến thắng.• Ván thứ nhất, ván thứ hai và ván thứ ba người thứ nhất đều thua. Khi đó người thứ nhất thắng4 ván, người thứ hai đã thắng 5 ván nên cuộc thi dừng lại. Kết quả chung cuộc người thứ haidành chiến thắng.Trong 4 trường hợp trên chỉ có 3 trường hợp đầu là người thứ nhất dành chiến thắng. Vậy xác suất3cần tìm là .4Chọn đáp án CCâu 21. Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư đã được ghi sẵn địa chỉ cần gửi. Tính xácxuất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó.513A .B .C .888Hướng dẫn giảiD7.8Ta xét các trường hợp sau:• Trường hợp 1. Chỉ có 1 lá thư được bỏ đúng địa chỉ. Giả sử ta chọn 1 trong 4 lá để bỏ đúngphong bì của nó thì có 4 cách chọn. Trong mỗi cách chọn đó ta lại chọn một lá để bỏ sai, khi đócó 2 cách và có đúng 1 cách để bỏ sai hai lá thư còn lại.Vậy trường hợp 1 sẽ có 4 · 2 · 1 = 8 cách."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 8PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEX• Trường hợp 2. Có đúng 2 lá thư được bỏ đúng phong bì của nó. Số cách chọn 2 lá để bỏ đúnglà C24 = 6 cách. 2 lá còn lại nhất thiết phải bỏ sai nên có 1 cách bỏ.Vậy trường hợp 2 có 6 · 1 = 6 cách.• Trường hợp 3. Có 3 lá thư được bỏ đúng phong bì của nó, khi này đương nhiên là cả 4 phongbì đều bỏ đúng địa chỉ.Trường hợp này có đúng 1 cách.Kết hợp cả 3 trường hợp ta có 8 + 6 + 1 = 15 cách chọn. Số phần tử không gian mẫu là 4! = 24.515= .Xác suất cần tìm là P =248Chọn đáp án ACâu 22. Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên mộtsố thuộc tập X. Tính xác suất để số lấy được luôn chứa đúng ba số thuộc tập Y = {1; 2; 3; 4; 5} và basố này đứng cạnh nhau, có số chẵn đứng giữa hai số lẻ.372525A P= .B P=.C P=.63189378Hướng dẫn giảiD P=37.945Ta có n[Ω] = A610 − A59 . Ký hiệu 3 số của tập Y đứng cạnh nhau có số chẵn đứng giữa hai số lẻ là D.Số cách chọn D là 2A23 . Xem D như là một chữ số. Với mỗi số D, ta tìm số các số tự nhiên có 4 chữ sốđôi một khác nhau lấy trong tập U = { D, 0, 6, 7, 8, 9} sao cho luôn có mặt số D.Xét số nhận cả 0 đứng đầu. A có 4 cách xếp vào 4 vị trí, các số còn lại có A35 cách chọn. Số cách chọnlà 4A35 . Xét số có dạng 0b2 b3 b4 . Số cách chọn là 3A24 .2A23 [4A35 − 3A24 ]37=Các số cần lập là 2A23 [4A35 − 3A24 ]. Vậy P =.65945A10 − A9Chọn đáp án DCâu 23. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là một sốnguyên tố bằng1A .4Hướng dẫn giảiB1.2C2.3D1.3Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là 1 số nguyên tố, suy ra A ∈ {2, 3, 5}.n[ A]31Ta có n[ A] = 3, n[Ω] ⇒ P[ A] == = .n[Ω]62Chọn đáp án BCâu 24. Từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6}, lập một số bất kì gồm 3 chữ số. Tính xác suất để số nhận đượcchia hết cho 6.1A .6Hướng dẫn giảiB1.4C2.7D1.8Gọi Ω là không gian mẫu chọn một số bất kì gồm 3 chữ số ⇒ |Ω| = 63 .Gọi A là biến cố chọn số có 3 chữ số và chia hết cho 6.Số chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3 [vì 2 và 3 là số nguyên tố cùng nhau]."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 9LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Chọn chữ số hàng đơn vị có 3 cách chọn.Chọn chữ số hàng chục có 6 cách chọn.Chọn chữ số hàng trăm [chọn sao cho tổng 3 chữ số chia hết cho 3] có 2 cách chọn.Suy ra | A| = 3 · 6 · 2 = 36.Vậy xác suất cần tìm là P[ A] =1| A|= .|Ω|6Chọn đáp án ACâu 25. Một hộp chứa 13 quả bóng gồm 6 quả bóng màu xanh và 7 quả bóng màu đỏ. Chọn ngẫunhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng6875A.B.C.D.13131313Hướng dẫn giảiC2 + C26Xác suất để chọn ra 2 quả bóng cùng màu là 6 2 7 = .13C13Chọn đáp án ACâu 26. Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; E = { a1 a2 a3 a4 | a1 ; a2 ; a3 ; a4 ∈ A, a1 = 0}. Lấy ngẫu nhiên mộtphần tử thuộc E. Tính xác suất để phần tử đó là số chia hết cho 5.13513...ABC491648Hướng dẫn giảiD1.4Số cách chọn 1 phần tử thuộc E là 7 · 83 ⇒ |Ω| = 3584.Gọi A là biến cố “Số được chọn chia hết cho 5”.Khi đó |Ω A | = 7 · 82 · 2 = 896.|Ω A |8961⇒ P[ A] === .|Ω|35844Chọn đáp án DCâu 27. Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi tronghộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.95313513ABCD....408408102408Hướng dẫn giảiSố kết quả chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp là n[Ω] = C1 85 = 8568.Gọi A là biến cố “5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.”⇒ n[ A] = C35 · C16 · C17 + C15 · C26 · C27 = 1995.n[ A]199595Vậy P[ A] ===.n[Ω]8586408Chọn đáp án ACâu 28. Trong một tổ có 3 học sinh nữ và 7 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 3học sinh để lập nhóm tham gia trò chơi dân gian. Xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữlà7.20Hướng dẫn giảiAB7.60"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesC7.10D7.30Trang 10LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Gọi A là biến cố “3 học sinh được chọn có cả nam và nữ ”.Số phần tử của không gian mẫu là n[Ω] = C310 = 120.Ta có n[ A] = C310 − C33 − C37 = 84.847n[ A]== .Xác suất cần tìm P =n[Ω]12010Chọn đáp án CCâu 29. Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 8 nữ cần lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Xácsuất để trong 4 người được chọn đều là nam bằngC4C4A 48 .B 45 .C13C13Hướng dẫn giảiCC48.A413DA45.C48Chọn 4 học sinh trong 13 học sinh có n[Ω] = C413 .Gọi biến cố A : “Chọn 4 học sinh nam trong 5 học sinh nam” có n[ A] = C45 .C45n[ A]Suy ra P[ A] == 4 .n[Ω]C13Chọn đáp án BCâu 30. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong4 học sinh được chọn luôn có một học sinh nữ là11AB..14210Hướng dẫn giảiC13.14D209.210Gọi A là biến cố chọn được 4 học sinh trong đó luôn có một học sinh nữ.Số khả năng chọn được 4 học sinh là C410 .Số cách chọn được 4 học sinh không có học sinh nữ nào là C46 .Suy ra số cách chọn được 4 học sinh trong đó luôn có một học sinh nữ là C410 − C46 .C4 − C413Vậy P [ A] = 10 4 6 = .14C10Chọn đáp án CCâu 31. Có 5 học sinh lớp A, 5 học sinh lớp B được xếp ngẫu nhiên vào hai dãy ghế đối diện nhaumỗi dãy 5 ghế [xếp mỗi học sinh một ghế]. Tính xác suất để 2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhaukhác lớp.[5!]A.10!Hướng dẫn giảiB5!.10!C2 [5!]2.10!D25 · [5!]2.10!Gọi D là biến cố để xếp được học sinh thỏa mãn 2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp.Số cách sắp xếp 10 học sinh hai trường A, B vào chỗ là 10!.Ta đi tìm số cách sắp xếp 10 học sinh thỏa mãn bài toán.Không mất tính tổng quát ta có thể xét trường hợp sauHọc sinh thứ nhất của trường A có 10 cách chọn ghếChọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ nhất trường A có 5 cách.Chọn học sinh thứ hai trường A có 8 cách chọn ghế."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 11LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ hai trường A có 4 cách.Chọn học sinh thứ ba trường A có 6 cách chọn ghế.Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ ba trường A có 3 cách.Chọn học sinh thứ tư trường A có 4 cách chọn ghế.Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ tư trường A có 2 cách.Chọn học sinh thứ năm trường A có 2 cách chọn ghế.Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ năm trường A có 1 cách.Vậy có 10 · 5 · 8 · 4 · 6 · 3 · 4 · 2 · 2 · 1 = 25 · [5!]2 .25 · [5!]2.Do đó P [ D ] =10!Chọn đáp án DCâu 32. Một nhóm học sinh đi dự hội nghị có 5 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinhlớp 12C được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn, mỗi học sinh ngồi một ghế. Tính xác suất để khôngcó 2 học sinh nào cùng lớp ngồi cạnh nhau.17AB..42126Hướng dẫn giảiC1.126D5.126Gọi Ω là không gian mẫu, ta có n[Ω] = 9!.Gọi X là biến cố không có 2 học sinh nào cùng lớp ngồi cạnh nhau.Chọn một học sinh lớp 12A làm mốc và xếp vào một chỗ.4 học sinh lớp 12A còn lại xếp vào 4 vị trí cách nhau một chỗ: có 4! cách.Còn lại 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C xếp vào 5 chỗ trống: có 5! cách.Suy ra có 4! · 5! = 2880 cách sắp xếp, hay n[ X ] = 2880.Vậy xác suất cần tính làP[ X ] =n[ X ]28801==.n[Ω]9!126Chọn đáp án CCâu 33. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có: 50 sản phẩm loại 1, 30 sản phẩm loại 2 và 20 sảnphẩm loại 3. Tính xác suất để trong 15 sản phẩm lấy ra có ít nhất 2 loại [kết quả lấy 6 chữ số phầnthập phân].A 0,999991.B 0,999990.C 0,999992.D 0,999993.Hướng dẫn giảiGọi A là biến cố: “Trong 15 sản phẩm lấy ra có ít nhất 2 loại”.15C15 + C1530 + C20Khi đó: P[ A] = 1 − P[ A] = 1 − 50≈ 0,999991.C15100Chọn đáp án ACâu 34. Cho A là tập hợp gồm các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên mộtsố từ tập A. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 mà các chữ số 1, 2, 3, 4 sắp theothứ tự tăng dần."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 12PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEX5.243Hướng dẫn giảiAB1.32C1.243D1.216Gọi số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau là a1 a2 . . . a9 .Ta có n[Ω] = 9 · A89 .Xếp chữ số 0 có 8 cách [từ a2 đến a9 ].Chọn 4 vị trí để xếp các chữ số 1, 2, 3, 4 theo thứ tự tăng dần có C84 cách.Xếp các chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại có A45 cách.8 · C84 · A455=Vậy xác suất cần tìm là.82439 · A9Chọn đáp án ACâu 35. Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tínhxác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻmang số chia hết cho 6.252A.1147Hướng dẫn giảiB26.1147C12.1147D126.1147Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách rút 10 tấm thẻ từ 40 tấm thẻ, hay n[Ω] = C1040 .Gọi A là biến cố “lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng mộtthẻ mang số chia hết cho 6”.Trong các số từ 1 đến 40 có 20 số lẻ, 6 số chia hết cho 6 và 14 số chẵn không chia hết cho 6.Số cách chọn 5 số lẻ trong số 20 số lẻ là C520 .Số cách chọn 1 số chia hết cho 6 là C16 .Số cách chọn 4 số chẵn còn lại là C414 .Vậy số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là n[ A] = C520 · C16 · C414 .C5 · C16 · C414n[ A]126= 20 10.=Vậy xác suất cần tìm là P[ A] =n[Ω]1147C40Chọn đáp án DCâu 36. Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suấtđể lấy được vé không có chữ số 1 hoặc chữ số 2.A 0,8533.B 0,5533.C 0,6533.D 0,2533.Hướng dẫn giảiSố phần tử của không gian mẫu là n[Ω] = 105 .Gọi A là biến cố “vé số được lấy không có chữ số 1 hoặc chữ số 2”.Số vé xổ số mà không có chữ số 1 là 95 , số vé xổ số mà không có chữ số 2 là 95 , số vé xổ số mà khôngcó cả chữ số 1 và 2 là 85 , nên số vé xổ số không có chữ số 1 hoặc chữ số 2 là n[ A] = 2 · 95 − 85 = 85330.n[ A]Vậy xác suất cần tìm là P[ A] == 0,8533.n[Ω]Chọn đáp án A"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 13LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Câu 37. Gieo hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác xuất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện củahai con súc sắc đó bằng 11 là111A.B.1236Hướng dẫn giảiC1.9D1.18Ta có |Ω| = 36.Các trường hợp tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc đó bằng 11 là [5;6], [6;5].12= .Vậy P[ A] =3618Chọn đáp án DCâu 38. Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa[các cuốn sách cùng loại thì giống nhau] để làm phần thưởng cho 9 học sinh A, B, C, D, E, F, G, H, I,mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại [không tính thứ tự các cuốn sách]. Tính xác suấtđể hai học sinh A, B nhận được phần thưởng giống nhau575A .B .C.9918Hướng dẫn giảiD7.18Giả sử có x quyển Toán ghép với Lý ⇒ có 7 − x quyển Toán ghép với Hóa.Quyển Lý còn 6 − x, ghép với 5 − [7 − x ] quyển Hóa.Ta có phương trình 6 − x = −2 + x ⇔ x = 4.Vậy có 4 học sinh nhận Toán và Lý, 3 học sinh nhận Toán và Hóa, 2 học sinh nhận Lý và Hóa.⇒ n [Ω] = C49 · C35 = 1260.• Nếu A,B nhận sách Toán và Lý, có C27 · C35 = 210.• Nếu A, B nhận sách Toán và Hóa, có C17 ·C46 = 105.• Nếu A,B nhận Lý và Hóa, có C37 = 35.Vậy xác suất để A,B nhận thưởng giống nhau là P =Chọn đáp án C5210 + 105 + 35= .126018Câu 39. Gieo 5 đồng xu cân đối đồng chất. Xác suất để được ít nhất 1 đồng xu lật sấp bằng58311A.B.C.D.11113232Hướng dẫn giảiVì mỗi đồng xu có 2 khả năng xuất hiện nên với 5 đồng xu thì có |Ω| = 25 = 32 khả năng xuất hiện.Gọi A là biến cố gieo 5 đồng xu để được ít nhất 1 đồng xu lật sấp. Khi đó A là biến cố gieo được cả5 đồng xu lật mặt ngửa.Ta có A = 1. Do đó có xác suấtP A =Vậy xác suất cần tìm là P [ A] = 1 − P A =Chọn đáp án CA1= .32|Ω|31.32"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 14PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXCâu 40. Một nhóm hóc sinh gồm 6 nam trong đó có Bình và 4 bạn nữ trong đó có An được xếp ngẫunhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang dự lễ tổng kết năm học. Xác suất để xếp được hai bạn nữ gầnnhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Bình không ngồi cạnh An là1109109ABC...60480302405040Hướng dẫn giảiD1.280Số cách xếp 10 bạn vào ghế ngồi là |Ω| = 10!.Gọi A là biến cố để “xếp được hai bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Bình không ngồicạnh An”. Có hai trường hợp sau• Trường hợp 1: An ngồi ở hai đầu.Có hai cách xếp An.Số cách xếp Bình là 5.Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!.Số cách xếp 5 bạn nam còn lại là 5!.Số cách xếp để An ngồi ở đầu hàng hoặc cuối hàng là 5! · 3! · 5 · 2.• Trường hợp 2: An ngồi ở giữa.Có hai cách xếp An.Số cách xếp Bình là 4.Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!.Số cách xếp 5 bạn nam còn lại là 5!.Số cách xếp để An ngồi ở đầu hàng hoặc cuối hàng là 5! · 3! · 4 · 2.Vậy số cách xếp để được hai bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Bình không ngồi cạnhAn là | A| = 5! · 3! · 5 · 2 + 5! · 3! · 4 · 2.5! · 3! · 5 · 2 + 5! · 3! · 4 · 21| A|==.Vậy xác suất cần tìm là P[ A] =|Ω|10!280Chọn đáp án DCâu 41. Có 3 bác sĩ và 7 y tá. Lập một tổ công tác gồm 5 người. Tính xác suất để lập tổ công tác gồm1 bác sĩ làm tổ trưởng, 1 y tá làm tổ phó và 3 y tá làm tổ viên.101A.B.C.122114Hướng dẫn giảiD20.21• Từ 3 bác sĩ và 7 y tá, số cách để lập ra một tổ gồm 5 người [có kể thứ tự] là A510 = 30240 [cách].• Chọn một trong ba bác sĩ làm tổ trưởng có 3 cách.Chọn một trong bẩy y tá làm tổ phó có 7 cách.Chọn ba trong sáu y tá còn lại làm tổ viên [có kể thứ tự] có A36 = 120 [cách].Theo quy tắc nhân, số cách chọn một tổ gồm 1 bác sĩ làm tổ trưởng, 1 y tá làm tổ phó và 3 y tálàm tổ viên là 3 · 7 · 120 = 2520 [cách]."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 15PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXKhi đó xác suất để lập ra một tổ thỏa mãn yêu cầu bài toán là12520= .3024012Chọn đáp án ACâu 42. Một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiênmột lần 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được 3 viên bi màu xanh.112A.B.C.112211Hướng dẫn giảiD3.22Số phần tử của không gian mẫu |Ω| = C312 = 220.Gọi A là biến cố: “lấy được 3 viên bi màu xanh”. Ta có |Ω A | = C35 = 10.101Vậy P[ A] == .22022Chọn đáp án BCâu 43. Gọi S là tập các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ bảy chữ số0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy một số thuộc S. Tính xác suất để lấy được một số chẵn và trong mỗi số đó có tổnghai chữ số hàng chục và hàng trăm bằng 5.111A.B.1070Hướng dẫn giảiC4.45D16.105Số phần tử của tập S là n[S] = A47 − A36 = 720.Gọi n = a1 a2 a3 a4 ∈ S là số chẵn và trong đó có a3 + a2 = 5.Khi đó { a3 , a2 } ∈ {{0, 5}; {1, 4}; {2, 3}}.Ta có các trường hợp sau• Trường hợp a4 = 0. Khi đó, a2 a3 có 4 cách chọn vì a2 a3 ∈ {14, 41, 23, 32}. Còn lại a1 có 4 cáchchọn. Vì thế có 4 × 4 = 16 số.• Trường hợp a4 = 2.+] Nếu a2 a3 ∈ {05, 50} thì a1 có 4 cách chọn. Như thế có 2 × 4 = 8 số.+] Nếu a2 a3 ∈ {14, 41} thì a1 có 3 cách chọn. Như thế có 2 × 3 = 6 số.Do đó, trong trường hợp này có tất cả 8 + 6 = 14 số.• Trường hợp a4 = 4.+] Nếu a2 a3 ∈ {05, 50} thì a1 có 4 cách chọn. Như thế có 2 × 4 = 8 số.+] Nếu a2 a3 ∈ {23, 32} thì a1 có 3 cách chọn. Như thế có 2 × 3 = 6 số.Do đó, trong trường hợp này có tất cả 8 + 6 = 14 số.• Trường hợp a4 = 6.+] Nếu a2 a3 ∈ {05, 50} thì a1 có 4 cách chọn. Như thế có 2 × 4 = 8 số.+] Nếu a2 a3 ∈ {14, 41, 23, 32} thì a1 có 3 cách chọn. Như thế có 4 × 3 = 12 số."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 16PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXDo đó, trong trường hợp này có tất cả 8 + 12 = 20 số.Tóm lại, có tất cả 16 + 14 + 14 + 20 = 64 số chẵn có 4 chữ số khác nhau và trong mỗi số có tổng haichữ số hàng chục và hàng trăm bằng 5.464= .Vậy xác suất cần tính là P =72045Chọn đáp án CCâu 44. Cho hai đường thẳng song song d1 , d2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên d2có 4 điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đóvới nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏlà2.9Hướng dẫn giảiAB3.8C5.8D5.9Ta có n[Ω] = C16 · C24 + C26 · C14 = 96.Gọi A là biến cố tam giác thu được có hai đỉnh màu đỏ. Ta có n[ A] = C26 · C14 = 60.60 5n[ A]=.Vậy xác suất cần tìm là P[ A] =n[Ω]96 8Chọn đáp án CCâu 45. Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tínhxác suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ.1111251...ABC577285Hướng dẫn giảiD46.57Số phần tử của không gian mẫu là n [Ω] = C320 .Gọi A là biến cố: “ có ít nhất 1 đoàn viên nữ ”.Khi đó A là biến cố: “ không có đoàn viên nữ ”.Số phần tử của biến cố A là n A = C312 .Xác xuất của biến cố A là P[ A] = 1 − P A = 1 −C31246.=57C320Chọn đáp án DCâu 46. Một đề thi môn Toán có 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, mỗi câu hỏi có 4 phương án trảlời, trong đó có đúng một phương án là đáp án. Học sinh chọn đúng đáp án được 0,2 điểm, chọn saiđáp án không được điểm. Một học sinh làm đề thi đó, chọn ngẫu nhiên các phương án trả lời của tấtcả 50 câu hỏi, xác suất để học sinh đó được 5,0 điểm bằng1 251C25A25150 · C350 · A3A .B.C50502C1A14254.D1.16Hướng dẫn giảiHọc sinh được 5,0 điểm khi trả lời đúng 25 câu và trả lời sai 25 câu.Gọi A là biến cố: “Học sinh được 5,0 điểm”.Số phần tử của không gian mẫu là C1450."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 17PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEX1Số phần tử của biến cố A là n[ A] = C2550 · C325.C25 · C13n[ A]Xác suất của biến cố A là P[ A] == 5050n[Ω]C14Chọn đáp án B25.Câu 47. Một hộp có 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên 2 viên từ hộp đó. Tính xácsuất để 2 viên lấy ra có tổng 2 số trên chúng là một số lẻ.521A .B .C .992Hướng dẫn giảiD1.3Không gian mẫu là tập tất cả các khả năng lấy ra 2 viên bi, do đó n[Ω] = C210 = 45.Gọi A là biến cố chọn được 2 viên bi mà tổng số trên chúng là số lẻ. Suy ra A là tập các khả năng lấyđược 2 viên mà số trên chúng khác tính chẵn lẻ. Từ đó n[ A] = C15 · C15 = 25.255n[ A ]== .Vậy xác suất của biến cố A bằng P[ A] =n[ Ω ]459Chọn đáp án ACâu 48. Cho đa giác lồi n cạnh [n ∈ N, n ≥ 5]. Lấy ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Biết rằng xácsuất để 4 đỉnh lấy ra tạo thành một tứ giác có tất cả các cạnh đều là đường chéo của đa giác đã cho30bằng . Mệnh đề nào sau đây đúng?91A n ∈ [13; 15].B n ∈ [10; 12].C n ∈ [7; 9].D n ∈ [16; 18].Hướng dẫn giảiKhông gian mẫu là tập các khả năng lấy ra 4 đỉnh trong n đỉnh, do đó n[Ω] = C4n .Gọi A là biến cố 4 đỉnh lấy ra tạo thành tứ giác có các cạnh đều là đường chéo. Để đếm số phần tửcủa A, ta làm như sau.Kí hiệu các đỉnh của đa giác là A1 , A2 , . . . , An . Để chọn được một tứ giác thỏa mãn yêu cầu, ta thựchiện qua các công đoạn• Chọn một đỉnh: có n cách chọn.• Chọn ba đỉnh còn lại. Giả sử công đoạn một ta chọn đỉnh A1 , ba đỉnh còn lại là Ai , A j , Ak . Thếthì 3 đỉnh Ai , A j , Ak phải thỏa mãn 3 ≤ i < j − 1 < k − 2 ≤ n − 3. Suy ra số cách chọn 3 đỉnhAi , A j , Ak bằng số cách lấy ra 3 số phân biệt trong [n − 3] − 3 + 1 = n − 5 số, tức là có C3n−5cách.Vậy số tứ giác có các cạnh đều là đường chéo là n · C3n−5 . Tuy nhiên, trong số này mỗi tứ giác ta đếmn · C3n−5lặp 4 lần. Do đó số tứ giác có các cạnh đều là đường chéo bằng.4n · C3n−5Từ đó n[ A] =. Theo giả thiết suy ra4P[A] =n · C3n−530=⇔ n = 15.4914 · CnChọn đáp án A"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 18LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Câu 49. Một bảng khóa điện tử của phòng học gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 vàkhông có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Một người khôngbiết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tínhxác suất để người đó mở được cửa phòng học.11..AB1272Hướng dẫn giảiC1.90D1.15Nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển cho ta một chỉnh hợp chập 3 của 10phần tử. Do đó, không gian mẫu gồm các chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử và n[Ω] = A310 = 720.Gọi A là biến cố: “Nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạothành một dãy số tăng và có tổng bằng 10”.Các bộ số thỏa mãn điều kiện này là [0, 1, 9]; [0, 2, 8]; [0, 3, 7]; [0, 4, 6]; [1, 2, 7]; [1, 3, 6]; [1, 4, 5]; [2, 3, 5].Do có tất cả 8 bộ số thỏa mãn nên số phần tử của biến cố A là n[ A] = 8.81n[ A]== .Vậy xác suất người đó mở được cửa là P[ A] =n[Ω]72090Chọn đáp án CCâu 50. Cho đa giác đều 12 đỉnh, trong đó có 7 đỉnh tô màu đỏ và 5 đỉnh tô màu xanh. Chọn ngẫunhiên một tam giác có các đỉnh là 3 trong 12 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để tam giác được chọncó 3 đỉnh cùng màu.9A P= .32Hướng dẫn giảiB P=1.10C P=9.44D P=5.24Số phần tử không gian mẫu: |Ω| = C312 = 220.Gọi A là biến cố “tam giác được chọn có 3 đỉnh cùng màu”. Ta đếm số tam giác có các đỉnh đều làmàu đỏ hoặc màu xanh.Khi đó |Ω A | = C37 + C35 = 45.459= .Vậy P[ A] =22044Chọn đáp án CCâu 51. Trong kỳ thi THPT quốc gia, tại hội đồng thi X, trường THPT A có 5 thí sinh dự thi. Tínhxác suất để có đúng 3 thí sinh của trường THPT A được xếp vào cùng một phòng thi, biết rằng hộiđồng thi X gồm 10 phòng thi, mỗi phòng thi có nhiều hơn 5 thí sinh và việc xếp các thí sinh vào cácphòng thi là hoàn toàn ngẫu nhiên.A P = 0,081.B P = 0,064.C P = 0,076.D P = 0,093.Hướng dẫn giảiMỗi thí sinh của trường A đều có thể ngồi ở một phòng bất kỳ trong 10 phòng nên |Ω| = 105 . Gọi Alà biến cố “Có đúng 3 thí sinh của trường THPT A được xếp vào cùng một phòng thi”.Trước hết ta chọn 3 trong 5 thí sinh rồi xếp 3 thí sinh đó vào 1 phòng. Có C35 · C110 cách. Hai thí sinhcòn lại xếp ngẫu nhiên vào 9 phòng còn lại, có 92 cách. Vậy |Ω A | = 92 · C35 · C110 ."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 19PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEX92 · C35 · C110= 0,081.105Chọn đáp án AVậy P[ A] =Câu 52. Một hộp chứa 5 viên bi màu trắng, 15 viên bi màu xanh, 35 viên bi màu đỏ [mỗi viên bi chỉcó một màu]. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 7 viên bi. Xác suất để trong 7 viên bi lấy được có ít nhất mộtviên bi màu đỏ làA C135 C620 .BC755 − C720.C755C C135 .DC735.C755Hướng dẫn giảiGọi biến cố A là trong 7 bi lấy được có ít nhất 1 bi màu đỏ.Biến cố A là trong 7 bi lấy được không có bi màu đỏ.Ta có số cách chọn A : C720 . Tổng số cách chọn là C755 .C7C755 − C720Nên P[ A] = 20⇒P[A]=1−P[A]=.C755C755Chọn đáp án BCâu 53. Cho 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 5 tấm thẻ. Xác suất trong 5 tấmđược chọn có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có ít nhất một tấm thẻ mang sốchia hết cho 4 là75A.94Hướng dẫn giảiB225.646C170.646D175.646Trong các số từ 1 đến 20 có 10 số lẻ; 5 số chia hết cho 4: 4, 8, 12, 16, 20 và 10 số chẵn.Số cách chọn 3 tấm thẻ mang số lẻ là: C310 .Số cách chọn 2 tấm thẻ mang số chẵn là: C210 .Số cách chọn 2 tấm thẻ mang số chẵn mà không chia hết cho 4 là C25 .Số phần tử không gian mẫu là C520 .C310 [C210 − C25 ]175.Vậy xác suất để chọn được 5 tấm thẻ thỏa mãn bài toán là=5646C20Chọn đáp án DCâu 54. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để sốđược chọn chia hết cho 4.20A.81Hướng dẫn giảiB23.81C8.27D31.108Số các số có ba chữ số khác nhau bằng 9 · 9 · 8 = 648.Gọi abc là số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 4.Vì abc chia hết cho 4 nên bc chia hết cho 4.• Nếu c = 0 thì b ∈ {2; 4; 6; 8} và a có 8 cách chọn. Vậy có 8 · 4 = 32 số.• Nếu b = 0 thì c ∈ {4; 8} và a có 8 cách chọn. Vậy có 8 · 2 = 16 số.• Nếu b = 0 và c = 0 thì"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 20PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEX.– Số các số bc .. 4 là [96 − 12] : 4 + 1 = 22 số, trong đó có 4 số đã được đếm là 20, 40, 60, 80và 2 số có hai chữ số giống nhau là 44, 88. Như vậy còn lại 22 − 6 = 16 số.– a có 7 cách chọn.Vậy có 16 · 7 = 112 số.Do đó có tất cả 32 + 16 + 112 = 160 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 4.20160= .Vậy xác xuất để số được chọn có ba chữ số khác nhau và nó chia hết cho 4 là64881Chọn đáp án ACâu 55. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người đượcchọn đều là nữ.7.A15Hướng dẫn giảiB1.15C8.15D1.5Không gian mẫu có số phần tử là C210 .Số trường hợp thuận lợi cho biến cố “hai người được chọn đều là nữ” là C23 .C231Vậy xác suất cần tìm là 2 = .15C10Chọn đáp án BCâu 56. Một hộp có 5 viên bi đỏ và 9 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để chọnđược 2 viên bi khác màu là1546A.B.2291Hướng dẫn giảiC45.91D11.45Số phần tử của không gian mẫu n[Ω] = C214 .Gọi A là biến cố: “chọn được 2 viên bi khác màu” thì n[ A] = C15 · C19 .C1 · C145Vậy xác suất cần tìm là P[ A] = 5 2 9 = .91C14Chọn đáp án CCâu 57.Bạn A chơi game trên máy tính điện tử, máy có bốn phím di chuyển như hìnhvẽ bên. Mỗi lần nhấn phím di chuyển, nhân vật trong game sẽ di chuyển theohướng mũi tên và độ dài các bước đi luôn bằng nhau. Tính xác suất để sau bốnlần di chuyển, nhân vật trong game trở về đúng vị trí ban đầu.9215A.B .C .D .64388Hướng dẫn giảiSố cách di chuyển tùy ý từ 4 phím với 4 lần bấm phím là 44 . Để nhân vật về vị trí ban đầu có 2 trườnghợp.• Mỗi phím bấm 1 lần, có 4! = 24 cách.• Bấm 2 lần phím lên trên và 2 lần phím xuống dưới, hoặc bấm 2 lần phím sang trái và 2 lầnphím sang phải, có 6 + 6 = 12 cách."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 21PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXXác suất cần tìm là924 + 12= .4644Chọn đáp án ACâu 58. Một tổ trực nhật có 12 bạn, trong đó có bạn An và bạn Bình. Cô giáo chọn ngẫu nhiên 3 bạnđi trực nhật trong ngày Thứ Hai đầu tuần. Xác suất để bạn An và bạn Bình không cùng được chọnbằng18.22Hướng dẫn giảiAB52.55C21.22D10.11Trước hết, ta tính xác suất để An và Bình cùng được chọn. Khi đó chỉ cần chọn thêm 1 trong 10 người101còn lại, nên xác suất để An và Bình cùng được chọn là 3 = .22C12121Xác suất cần tính là 1 −= .2222Chọn đáp án CCâu 59. Có 10 thẻ được đánh số 1, 2, . . . , 10. Bốc ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất để tích 2 số ghi trên2 thẻ bốc được là một số lẻ.17A .B .29Hướng dẫn giảiC5.18D2.9Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ ⇒ |Ω| = C210 = 45.Xét biến cố A : “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số lẻ ”.Tích hai số là số lẻ ⇔ Cả hai số là số lẻ.Trong các số 1, 2, . . . , 10 có 5 số chẵn và 5 số lẻ.Chọn 2 số lẻ ⇒ Có C25 = 10 cách chọn.⇒ | A| = 10.102= .459Chọn đáp án DVậy P[ A] =Câu 60. Mẹ của Bình có một gói kẹo gồm 20 viên khác nhau. Mẹ cho Bình lấy một cách ngẫu nhiênmột số viên kẹo trong một lần, phần kẹo còn lại là của anh trai Bình. Biết rằng cả hai anh em Bìnhđều có kẹo. Xác suất để số kẹo của hai anh em Bình bằng nhau gần với giá trị nào nhất?A 17, 6%.B 50%.C 22, 6%.D 15, 7%.Hướng dẫn giảiSố phần tử không gian mẫu bằng số cách chọn k viên kẹo tùy ý với 1 ≤ k ≤ 19 nên20n[Ω] = C120 + C220 + · · · + C1920 = 2 − 2.Số cách chọn kẹo để số kẹo của hai anh em Bình bằng nhau là C1020 . Xác suất cần tính bằngC1020= 0, 1761.202 −2Chọn đáp án A"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 22LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Câu 61. Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bảngcó 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.53919ABC...282856Hướng dẫn giảiD3.56Không gian mẫu |Ω| = C39 C36 C33 = 1680.Gọi A là biến cố “Ba đội bóng Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.”Ta có |Ω A | = C13 C12 C11 C26 C24 C22 = 3!C26 C24 = 540.|Ω A |5409== .|Ω|168028Chọn đáp án BTa có P[ A] =Câu 62. Cho đa giác đều 20 đỉnh. Trong các tứ giác có bốn đỉnh là đỉnh của đa giác, chọn ngẫu nhiênmột tứ giác. Tính xác suất để tứ giác chọn được là hình chữ nhật.6315A.B.C.323323323Hướng dẫn giảiD14.323Số phần tử của không gian mẫu |Ω| = C420 .Chọn hai đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác ta có 4 đỉnh của hình chữ nhật. Số cách chọnlà C210 .C2103=.4323C20Chọn đáp án BKhi đó P =Câu 63. Cho đa giác đều n đỉnh [n lẻ, n ≥ 3]. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi P là45xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết P =. Số các ước nguyên dương của n62làA 3.B 4.C 6.D 5.Hướng dẫn giảiSố phần tử không gian mẫu: n[Ω] = C3n .Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với góc A nhọn, B tù và C nhọn.Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có n cách. Gọi [O] là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều. Kẻđường kính AA , chia đường tròn thành hai phần [trái và phải]. Do n lẻ nên A không phải là đỉnhcủa đa giác đều.Để tạo thành tam giác tù thì hai đỉnh còn lại được chọn sẽ hoặc cùng năm bên trái hoặc cùng nằmbên phải.Số cách chọn hai đỉnh cùng ở một bên là 2C2n−1 .2Ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác tù tạo thành làn · 2C2n−122"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates= n · C2n−1 .2Trang 23PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/LATEXnn · C2n−1n−12n−1−1245⇔622C3nVậy số các ước nguyên dương của n = 33 là 4.Ta có P =2=·645=⇔ n = 33.n[n − 1][n − 2]62Chọn đáp án BCâu 64. Một bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất đểđược 3 quả cầu toàn màu xanh là31A.B.1015Hướng dẫn giảiC1.20D1.30n[Ω] = C310 = 120.Gọi A : “Lấy được 3 quả cầu toàn màu xanh”.n[ A] = C34 = 4.1n[ A ]= .Suy ra P[ A] =n[ Ω ]30Chọn đáp án DCâu 65. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó, chữ số đứng sauluôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước.211A .B.764Hướng dẫn giảiC3.16D3.32• Không gian mẫu của phép thử là Ω có n[Ω] = 7 × 8 × 8 = 448.• Gọi A là biến cố lấy được một số từ tập S thỏa mãn yêu cầu bài toán.Xét số n = abc trong đó a ≤ b ≤ c. Đặt b = b + 1 và c = c + 2, khi đó ta có 1 ≤ a < b < c ≤ 9.Do đó n[ A] = C39 = 84.Vậy xác suất cần tìm là P[ A] =n[ A]843== .n[Ω]44816Chọn đáp án CCâu 66. Tổ Toán trường THPT Hậu Lộc 2 gồm 6 thầy và 4 cô. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 3 ngườitrong tổ đi chấm thi. Xác suất để 3 người được chọn có cả thầy và cô là1144A.B .C.15515Hướng dẫn giảiC2 · C1 + C1 · C24Xác suất để 3 người được chọn có cả thầy và cô là 6 4 3 6 4 = .5C10Chọn đáp án BD1.5Câu 67. Một hộp chứa 7 viên bi đỏ và 9 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộpđó. Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra có đủ hai màu.632117ABC...808080Hướng dẫn giải"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesD4.63Trang 24LATEXPAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP //www.facebook.com/MATHDDT/Ta có số phần tử của không gian mẫu là n[Ω] = C316 = 560.Gọi A là biến cố lấy ra 3 viên bi có đủ hai màu, ta có hai trường hợp Trường hợp 1: lấy ra 2 viên biđỏ và 1 viên bi vàng, ta có C27 · C19 = 189. Trường hợp 2: lấy ra 1 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng, ta cóC17 · C29 = 252.Từ đó suy ra xác suất cần tìm là P[ A] =189 + 25263n[ A]== .n[Ω]56080Chọn đáp án ACâu 68. Chọn ngẫu nhiên 6 số từ tập M = {1; 2; 3; ...; 2018}. Tính xác suất để chọn được 6 số lậpthành cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương.366472A 6 .B 6 .C 6 .C2108C2108C2108Hướng dẫn giảiD2018.C62108Số cách chọn 6 số bất kì từ tập M là C62018 .Giả sử dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u1 [u1 ≥ 1] và công bội q > 1, suy ra số hạngu6 = u1 · q5 .2018= 63,0625,25suy ra có 63 cách chọn u1 , suy ra có 63 dãy số có công bội bằng 2. Trường hợp 2: q = 3, theo [∗] ta có20182018u1 ≤ 5 =≈ 8,305, suy ra có 8 cách chọn u1 , suy ra có 8 dãy số có công bội bằng 3. Trường243320182018≈ 1,97, suy ra có 1 cách chọn u1 , suy ra có 1 dãy số cóhợp 3: q = 4, theo [∗] ta có u1 ≤ 5 =102442018công bội bằng 4. Trường hợp 4: q = 5, theo [∗] ta có u1 ≤ 5 = 0,64576, suy ra có 0 cách chọn u1 .563 + 8 + 172Vậy xác suất cần tìm là= 6 .C62018C2018Chọn đáp án CTheo bài ra ta có u6 ≤ 2018.[∗] Trường hợp 1: q = 2, theo [∗] ta có u1 ≤Câu 69. Gọi A là tập hợp gồm các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một sốtừ tập A. Tính xác suất để số lấy được có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước nó.692327123....A P=B P=C P=D P=574112022961148Hướng dẫn giảiGọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau là abcd với a, b, c ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a = 0,d ∈ {0; 2; 4; 6; 8}.• Trường hợp 1: d = 0 có A39 = 504 số.• Trường hợp 2: d ∈ {2; 4; 6; 8} có 4 · 8 · A28 = 1792 số.Khi đó không gian mẫu A có 504 + 1792 = 2296 phần tử. Ta tìm số lượng số lấy từ tập A sao chochữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước nó như sau:• d = 4 có 1 số.• d = 6 có C35 = 10 số.• d = 8 có C37 = 35 số."Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–IsocratesTrang 25