A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa
· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .
· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu .
· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý:
+ Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+ Mọi vectơ đều bằng nhau.
2. Các phép toán
a. Tổng của hai vectơ
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .
· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .
· Tính chất: ;
;
b. Hiệu của hai vectơ
· Vectơ đối của là vectơ sao cho . Kí hiệu vectơ đối của là .
· Vectơ đối của là .
· .
Chú ý:
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC
c. Tích của vecto với một số
· Cho vectơ và số k ∈ R. là một vectơ được xác định như sau:
+ cùng hướng với nếu k ≠ 0, ngược hướng với nếu k < 0.
+ .
· Tính chất:
;
;
k = 0 hoặc .
· Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
và cùng phương .
· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ∃k ≠ 0: .
· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: .
Chú ý:
· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
+
+ [O tuỳ ý].
· Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
+
+ [O tuỳ ý].
B – BÀI TẬP
Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó.
Hướng dẫn giải:
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ khác . Tìm điểm M sao cho cùng phương
Hướng dẫn giải:
Gọi D là giá của
Nếu cùng phương thì đường thẳng AM// D
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // D
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì cùng phương
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
+ Sử dụng tính chất của các hình. Nếu ABCD là hình bình hành thì
,… [hoặc viết ngược lại]
+ Nếu
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
Hướng dẫn giải:
Cách 1: EF là đường trung bình của D ABC nên EF//CD,
EF=BC=CD EF=CD [1]
cùng hướng [2]
Từ [1],[2] suy ra
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh:
Hướng dẫn giải:
Ta có MC//AN và MC=AN MACN là hình bình hành
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD =. Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra =
Dạng 3: Các phép toán vecto
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD.
Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a] Tìm tổng
b] Chứng minh :
Hướng dẫn giải:
a] + Vì nên ta có
= ==
+ Vì nên ta có
= ==
+ Vì nên ta có
= =, E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b] Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên
Vậy
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau:
Hướng dẫn giải:
a] , vì Þ k=
b] k= – c] k= –
Dạng 3: Biểu diễn [phân tích, biểu thị] thành hai vectơ không cùng phương
Ví dụ 1: Cho D ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ .
Giải:
Ta có
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ .
Hướng dẫn giải:
Ta có
mà
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: .
Hướng dẫn giải:
Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có
VT=[đpcm]
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì .
Hướng dẫn giải: