Phương pháp giải:
- Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
- Xét các trường hợp sau:
TH1: \[d = 0\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \].
+ \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 1} \right] \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\].
+ \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 2} \right] \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\].
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
TH2: \[d = 5\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \].
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
Lời giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} \,\,\left[ {a \ne 0} \right]\].
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
\[ \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\].
TH1: \[d = 0\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \].
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c\,\, \vdots \,\,3\].
Ta có các nhóm: \[\left\{ \begin{array}{l}9\,\, \equiv \,\,3\left[ {\bmod 0} \right]\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 1} \right]\\\left\{ {2;5;8} \right\} \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 2} \right]\end{array} \right.\]
+ \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 1} \right] \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\].
\[ \Rightarrow \] Có \[3!\] cách chọn.
+ \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 2} \right] \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\].
\[ \Rightarrow \] Có \[3!\] cách chọn.
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
\[ \Rightarrow \] Có \[1.C_3^1.C_3^1.3!\] cách chọn.
\[ \Rightarrow \] Có \[3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\] số.
TH2: \[d = 5\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \].
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\], trong đó \[5 \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 2} \right]\].
Ta có các nhóm: \[\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,3\left[ {\bmod 0} \right]\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 1} \right]\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 3\,\,\left[ {\bmod 2} \right]\end{array} \right.\]
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
\[ \Rightarrow \] Có \[C_3^1.3! - C_1^3.2! = 12\] cách chọn.
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
\[ \Rightarrow \] Có \[C_2^1.3! - 2! = 10\] cách chọn.
+ Trong 3 số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
\[ \Rightarrow \] Có \[C_3^2.C_2^1.3! = 36\] cách chọn.
Vậy có tất cả \[66 + 12 + 10 + 36 = 124\] số thỏa mãn.
Chọn A.