Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. II.NỘI DUNG A. Xét phương trình a x2 a xy a x a y a y2 a 0 .Trong đó a 0 hoặc a2 0 , a5 0 1 2 3 4 5 6 1 B. Các phương pháp giải. a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương Dạng 1. A2 A 0 B2 C 2 0 B 0 C 0 Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: 5x2 2 y 2 4 xy 9 y 8x 14 0[1] Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó 5x2 2 y 2 4 x2 x2 y 2 y 2 Phương trình [1] 4x2 x2 y2 y 2 4xy 4 x 4 x 9 y 14 0 Ta coi bình phương của một tam thức [a b c]2 [[a b] c]2 là bình phương của nhị thức với biểu thức thử nhất là [a+b] và bểu thức thứ hai là c. Vậy [1] 4x2 x2 y2 y 2 4xy 4 x 4 x 9 y 14 0 1 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. [[2 x]2 2.2x[ y 1] [ y 1]2 ] [ x 2]2 [ y 3]2 0 2 2 2 2x y 1 x 2 y 3 0 [2x y 1]2 [ y 3]2 [ x 2]2 0 2x y 1 0 y 3 0 x 2 0 x 2 y 3 Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 2x2 2, 5x2 3, 5x2 5 y 2 2 y 2 10 y 2 14 4xy 8 y 4 x 0 14 4 xy 4 y 8x 0 3 12xy 8 y 2 x 0 4, 10x2 5, 10x2 Giải: 5 y 2 4 y 2 38 12xy 34 12xy 16 y 20 y 36 x 0 36 x 0 1, 2x2 5 y 2 14 4xy 8 y 4 x 0 x2 x2 4 y2 y 2 4xy 8 y 4 x 14 0 2 2 2 x 2 y 1 x 3 x 2 y 1 0 y 2 0 x y x y 2, 5x2 3 0 2 0 3 2 2 y 2 14 4 xy 4 y 8x 0 4x2 x2 y2 y 2 4 xy 8x 4 y 14 0 2 2 2 2x y 1 x 2 2x y 1 0 y 3 0 x 2 0 y 3 0 x 2 y 3 3, 5x2 10 y 2 3 12xy 8 y 2 x 0 4x2 x2 9 y2 y 2 12xy 2 x 8 y 3 0 2 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2 2 2 2x 3 y 1 x 1 2x 3 y 1 0 x 1 0 y 1 0 x 1 y 1 y 1 0 4, 10x2 5 y 2 38 12xy 16 y 36 x 0 x2 9x2 4 y 2 y2 38 12xy 16 y 36 x 0 2 [ 3x 2.3x. 2 y 2 5 2 y 5 ] x2 6x 9 y 2 4 y 4 0 2 2 2 3x 2 y 5 x 3 3x 2 y 5 0 x 3 0 y 2 0 x 3 y 2 y 2 0 5, 9x2 x2 4 y 2 34 12xy 20 y 36 x 0 2 2 3x 2 y 5 x 3 0 3x 2 y 5 0 x 3 0 x 3 y 2 Dạng 2. A2 B2 C 2 ... m2 n2 A m p2 ... B n C p và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình: x2 x 4x2 [2 x 6 y 2 4x 1]2 0 24 4 y 2 [2 y]2 0 25 32 42 02 52 3 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Do 2x-1 lẻ nên 2 x 1 3 2 y 4 x 2; 1 y 2 Hoặc 2 x 1 5 2 y 0 x 3; 2 y 0 Phương trình đã cho có nghiệm: [x,y] = [2,2], [3,0], [-1,-2],[-3,0];[2;-2];[-1;2];[-2;0] Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương: 1, x2 100 6xy 13 y2 2, x2 Giải: 4xy 5 y2 169 1, x2 100 6xy 13 y2 x2 6xy 9 y2 4 y2 100 2 2 x 3 2 y 100 62 82 02 102 x 3 6 x 9 2 y 8 y 4 Hoặc x 3 8 2 y 6 x 11 y 3 Hoặc x 3 10 2 y 0 x 13 y 0 Hoặc x 3 0 x 3 2 y 10 y 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x, y 9; 4 11; 3 3;5 2, x2 x2 4xy 4 xy 5 y2 4 y 2 169 y 2 169 x 2 y 2 y 2 169 122 52 02 132 4 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. x 2 y 12 y 5 x 22 y 5 hoặc x 2 y 5 y 12 x 19 y 12 hoặc x 2 y 0 y 13 x 26 y 13 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x, y 22; 5 19;12 26;13 b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử A 0 Dạng 1. A.B.C =0 B 0 C 0 Dạng 2. A.B.C... = m.n.p... [Với m, n,p là các số nguyên] A m B n C p và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 3x2 10xy 8 y2 96 3x2 6xy 4 xy 8 y2 96 [ x 2 y][3x 4 y] 96 16.6 12.8 24.4 Do x,y là các số nguyên dương nên [3x 2x x 4 y] [ x 16 x 4 6 y 1 4 y 2 y 2 y] 3 Hoặc 2x 4 y 12 x 2 y 8 x 4 [loại] y 6 Hoặc 2x 4 y 24 x 2 y 4 x 16 y 6 [loại] Vậy phương trình đã cho có nghiệm: Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: x, y 4;1 1, y2 x2 x 6 5 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2, x2 25 y y 6 3, x2 4, 5 5, x2 6 xy x y x xy 5 y 2 3xy 3 y 121 2 6 0 Giải: 1, y2 4 y 2 x2 x 6 4x2 4x 24 [2 y]2 [2 y]2 [4x2 [2x 4x 1]2 1] 23 23 2 y 2x 2 y 2x 1 2 y 2x 1 23 1 23 1.23 [ 1].[ 23] 23.1 [ 23].[ 1] y 6 2 y 2x 1 1 x 5 2 y 2x 2 y 2x 1 1 y 6 1 23 x 6 y 6 x 6 y 6 2 y 2x 1 23 2 y 2x 1 1 2 y 2x 1 1 2 y 2x 1 23 x 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x, y 5; 6 , 6; 6 , 6; 6 , 5; 6 2, x2 25 y y 6 6 y 9 16 6 y 9 16 x2 y 2 x2 y 2 2 2 x y 3 16 x y 3 x y 3 16 Do x y 3 x y 3 Và x y 3 ; x y 3 cùng tính chẵn lẻ nên x y 3 x y 3 2.8 4.4 8 2 4 4 x y 3 2 x 5 x y 3 8 y 0 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. x y 3 4 x 4 x y 3 4 y 3 x y 3 8 x x y 3 2 y x y 3 4 x x y 3 4 y 5 0 4 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x, y 5; 0 5; 0 4; 3 4; 3 3, x2 x2 6 xy 6xy 5 y 2 9 y2 121 4 y2 121 x 3 y x 3 y 2 2 2 y 2 y x 121 3 y 2 y 121 Do x 3 y 2 y x 3 y 2 y Và x 3 y 2 y ; x 3 y 2 y cùng tính chẵn lẻ nên x 3 y 2 y x 3 y 2 y 121 1 x 3 y 61 2 y 60 x 3 y 61 y 30 Nếu y 30 Thì x 90 61 x 151; 29 Nếu y 30 Thì x 90 61 x 151; 29 x 3 y 2 y 11 x 3 y 2 y 11 x 3 y 11 2 y 0 x 11 y 0 Vậy phương trình đã cho cónghiệm nguyên: x, y 29; 30 , 151; 30 , 29; 30 , 151; 30 , 11; 0 , 11;0 4, 5 x y 5 x y 3xy 2 3xy 2 15 15x x y 9xy 9xy 6 6 3x 5 3 y 3x 5 3 y 5 5 3 y 5 31 25 6 Không mất tính tổng quát giả sử x y 3x 5 3 y 5 7 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 3x 5 1 x 2 3 y 5 31 y 12 3x 5 1 3 y 5 31 x 4 3 y 26 3 [loại] Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x, y 2;12 12;2 5, x2 x xy 3 y 6 0 x2 3x xy 3 y 2 x 6 0 x x 3 y x 3 2 x 3 0 x 3 x y 2 0 x 3; y Z y x 2; x Z c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia f là hằng số.Chẳng hạn [ x , y ] 0 ta coi y hằng số. y Dạng 1. nếu ay 2 by c có hệ số a < 0. hoặc y by c có hệ số b < 0. Để phương trình f[ x , y ] 0 có nghiệm thì y 0 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên: [3x2 xy y 2 ] x 8 y 3x2 [3 y 1] x 3 y 2 8 y 0 y Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có 27 y2 9 y 1 . Để pt đã cho có nghiệm thì y 27 y2 9 y 1 0 y 0,1, 2,3 Thay vào ta được 0, 01 y 3, 3; y Z Nếu y 0 3x2 x 0 1 3x2 x 0 x 3 x 0 Nếu y 1 3x2 2 x 5 0 8 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. x 1 3x2 2 x 5 0 5 x Nếu y 2 3x2 3 5x 4 0 25 48 73 [không phải là số chính phương] Nếu y 3 3x2 8x 3 0 / 16 9 7 [không phải là số chính phương] pt đã cho có 2 nghiệm:[x,y] =[0,0];[1,1] Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, x2 xy y2 2 x y 0 2, x2 Giải: xy y 2 x y 1, x2 xy y2 2 x y 0 x2 x y 2 y2 y 0 y2 4 y 4 4 y 2 4 y 4 3 y2 Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 4 3 y 2 0 y 2 1 1 y 1 Nếu y x2 Nếu y 1 x2 3x 2 0 0 x2 x 1 2x 1 0 x 2 x 1 2x 0 x2 2 x 0 Nếu y 1 x2 x2 x 0 x 2 x 0 x 1 2x 1 0 x 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x, y 1; 1 , 2; 1 , 0; 0 , 2; 0 , 1;1 , 0;1 2, x2 xy y 2 x y x2 x y 1 y 2 y 0 y2 2 y 1 4 y 2 4 y 3 y 2 6 y 1 Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 0 3 y2 6 y 0,154 y y 0;1;2 1 0 2,154 9 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y 0 x2 x 0 x2 x 0 x 1 x 0 Nếu y 1 x2 2 x Nếu y 2 x2 2x 0 x 2 0 x 0 x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 x 2 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x, y 0; 0 , 1; 0 , 0;1 , 2;1 , 1; 2 , 2;2 y Dạng 2. Nếu ay 2 y by c có hệ số a là một số chính phương Để phương trình f[ x , y ] 0 có nghiệm thì m2 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên: 1, x2 x2 2 y 2 [3 y 3xy 2] x 2 x y 6 2 y2 y 6 0 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. y y 2 8 y 16 12 m y Để pt đã cho có nghiệm thì 2 y y 2 8 y 16 12 m2 m2 [ y 4]2 12 [m y 4][m y 4] 12 2.6 2.[ 6] Vì[m+y-4] [m-y+4]Và chúng có cùng tính chẵn lẻ.Nên m y 4 2 m 4 m y 4 6 y 6 Thay y=6 vào pt đã cho ta có: x2 72 18x 2x 12 0 x2 16x 60 0 Pt này vô nghiệm. m y 4 6 m 4 m y 4 2 y 6 Pt đ ã cho vô nghiệm 2, xy 2 y 3x x2 6 x2 x y 3 2 y 6 0 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. y y2 6 y 9 24 10 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. m y Để pt đã cho có nghiệm thì 2 y y 2 2 y 1 32 m2 m2 [ y 1]2 32 m y 1 m y 1 32 Do m y Và m y 1 m y 1 1 ; m y 1 có cùng tính chẵn lẻ, m y 1 0 nên m y 1 0 .Ta có m y 1 2 m y 1 16 m y 1 4 m y 1 8 m 9 m 9 y 1 7 m 6 y 1 2 y 6; 8 m 6 y 1; 3 Nếu y 6 x2 3x 12 6 x 6 0 3 9 x2 3x 3 9 18 0 9 4.18 81 x1 3 ; x2 6 2 2 Nếu y 8 x2 3x 16 8x 6 0 x2 11x 10 0 phương trinh có nghiệm: x1 1; x2 10 Nếu y 1 x2 3x 2 x 6 0 x2 2x 8 0 / 1 8 9 x1 1 3 4 ; x2 1 3 2 Nếu y 3 x2 3x 6 3x 6 0 x2 6x 0 x1 0 ; x2 6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x, y 3; 6 , 6; 6 , 10; 8 , 1; 8 , 4;1 , 2;1 0; 3 6; 3 3, x2 xy y2 x2 y2 0 x2 1 y2 xy y2 0 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. y y 2 4 y 2 1 y 2 y 2 4 y 2 4 y 4 4 y 4 3 y2 y 2 4 y2 3 Để pt đã cho có nghiệm thì y là số chính phương 4 y 2 3 m2 2 2 2 y m 3 2 y m 2 y m 3 2 y m 1 2 y 2 y 1 2 y m 3 m 1 m 1 11 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y = 1 x2 x 1 x2 0 x 1 0 x 1 Nếu y = -1 x2 x 1 x2 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x, y 1;1 , 1; 1 d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương: Nếu phương trình f[ x , y ] 0 có dạng 2 A B hoặc [ x , y ] [ x ] 2 A B Thì [ x, y ] [ y ] B m 2 [ x ] B[ x ] 0 hoặc 2 [ y ] B m B[ y ] 0 Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình; x2 [ x y]2 [ x 9]2 [ x y 9]2 9[9 2 y] Do 18-2y chẵn và18-2y