Cách giải phương trình bậc 4 một ẩn
Bài viết trình bày cách giải phương trình bậc 4 (phương trình bậc bốn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số 10 chương 3. Dạng 1. Phương trình bậc bốn dạng $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0.$ Ta có: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a\left( {{x^4} + 2{x^2}.k + {k^2}} \right)$ $ + bx\left( {{x^2} + k} \right) + \left( {c – 2ak} \right){x^2} = 0$ $
\Leftrightarrow a{\left( {{x^2} + k} \right)^2} + bx\left( {{x^2} + k} \right)$ $ + \left( {c – 2ak} \right){x^2} = 0.$ Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^4} – 8{x^3} + 21{x^2} – 24x + 9 = 0.$ Cách 1: Nhận xét: Mỗi cách giải có ưu điểm riêng, với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà không phải thông qua ẩn phụ, với cách giải 2, ta sẽ có những tính toán đơn giản hơn và ít bị nhầm lẫn. Dạng
2. Phương trình bậc bốn dạng $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}$ với $ad=bc=m.$ Cách 1: Đưa về dạng $A^2 = B^2.$ Ví dụ 2. Giải phương trình: $\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 12} \right) = 25{x^2}.$ Cách 1: Nhận xét: Trong cách giải 2, có thể ta không cần xét $x≠0$ rồi chia mà có thể đặt ẩn phụ $y=x^2+m$ để thu được phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$ hoặc ngược lại. Dạng 3. Phương trình bậc bốn dạng $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = m$ với $a+b=c+d=p.$ Ta có: $\left( {x + a} \right)\left( {x +
b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = m$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + px + ab} \right)\left( {{x^2} + px + cd} \right) = m.$ Ví dụ 3. Giải phương trình: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8.$ Cách 1: Nhận
xét: Ngoài cách đặt ẩn phụ như đã nêu, ta có thể đặt một trong các dạng ẩn phụ sau: Dạng 4. Phương trình bậc bốn dạng ${\left( {x + a} \right)^4} + {\left( {x + b} \right)^4} = c$ với $(c<0).$ Đặt $x = y – \frac{{a + b}}{2}$, phương trình trở
thành: ${\left( {y + \frac{{a – b}}{2}} \right)^4} + {\left( {y – \frac{{a – b}}{2}} \right)^4} = c.$ Ví dụ 4. Giải phương trình: ${\left( {x + 2} \right)^4} + {\left( {x + 4} \right)^4} = 82.$ Đặt $y=x+3$, phương trình trở
thành: ${\left( {y + 1} \right)^4} + {\left( {y – 1} \right)^4} = 82$ $ \Leftrightarrow \left( {{y^4} + 4{y^3} + 6{y^2} + 4y + 1} \right)$$\left( {{y^4} – 4{y^3} + 6{y^2} – 4y + 1} \right) = 82$ $ \Leftrightarrow 2{y^4} + 12{y^2} – 80 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{y^2} – 4} \right)\left( {{y^2} + 10} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {y^2} = 4 $ $\Leftrightarrow y = \pm 2.$ Dạng 5. Phương trình bậc bốn dạng ${x^4} = a{x^2} + bx + c.$ Đưa phương trình về dạng $A^2 = B^2$ như sau: ${x^4} = a{x^2} + bx + c$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + m} \right)^2} = \left( {2m + a} \right){x^2} + bx + c + {m^2}$, trong đó $m$ là một số cần tìm. Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^4} + {x^2} – 6x + 1 = 0.$ Ta có: ${x^4} + {x^2} – 6x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 3{x^2} + 6x + 3$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Nhận xét: Dạng toán 6. Phương trình bậc bốn dạng $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right)g\left( x \right) + c{g^2}\left( x \right) = 0.$ Cách 1: Ví dụ 6. Giải phương trình: $20{\left( {x – 2} \right)^2} – 5{\left( {x + 1} \right)^2}$ $ + 48\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.$ Đặt $u=x-2$, $v=x+1$, phương trình trở thành: $20{u^2} + 48uv – 5{v^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {10u – v} \right)\left( {2u + 5v} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Dạng 7. Phương trình bậc bốn tổng quát $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0.$ Phân tích các hạng tử bậc $4$, $3$, $2$ thành bình phương đúng, các hạng
tử còn lại chuyển sang về phải: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ $ \Leftrightarrow 4{a^2}{x^4} + 4ba{x^3} + 4ca{x^2} + 4dax + 4ae = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {2a{x^2} + bx} \right)^2}$ $ = \left( {{b^2} – 4ac} \right){x^2} – 4adx – 4ae.$ Ví dụ 7. Giải phương trình: ${x^4} – 16{x^3} + 66{x^2} – 16x – 55 = 0.$ Ta có: ${x^4} – 16{x^3} + 66{x^2} – 16x – 55 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^4} – 16{x^3} + 64{x^2}$ $ = – 2{x^2} + 16x +
55$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 8x} \right)^2} + 2y\left( {{x^2} – 8x} \right) + {y^2}$ $ = \left( {2y – 2} \right){x^2} + \left( {16 – 16y} \right)x + 55 + {y^2}.$ Nhận xét: |