Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình bình hành

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một dạng toán thường hay thi trong chương trình thi vào lớp 10, Top lời giải sẽ giới thiệu các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay nhất để bạn có thể làm tốt bài thi môn Toán:

1. Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.

2. Ba điểm cùng thuộc một tia hoặc một một đường thẳng

3. Trong ba đoạn thẳng nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng kia.

4. Hai đoạn thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba.

5. Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

6. Đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy có chứa điểm thứ ba.

7. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao trong tam giác

8. Sử dụng tính chất hình bình hành.

9. Sử dụng tính chất góc nội tiếp đường tròn.

10. Sử dụng góc bằng nhau đối đỉnh

11. Sử dụng trung điểm các cạnh bên, các đường chéo của hình thang thẳng hàng

12. Chứng minh phản chứng

13. Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0

14. Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng.

2. Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng thường được áp dụng nhất

Phương pháp 1:Sử dụng tính chất góc bẹt

Nếu∠ABD +∠DBC = 180othì ba điểmA; B; Cthẳng hàng.

Phương pháp 2:Sử dụng tiên đề Ơclit

NếuAB // avàAC // athì ba điểmA; B; Cthẳng hàng.

[Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình học lớp 7]

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

NếuAB⊥a; AC⊥athì ba điểmA; B; Cthẳng hàng.

[Cơ sở của phương pháp này là:Có một và chỉ một đường thẳnga’đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳngacho trước]

HoặcA; B; Ccùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .[tiết 3- hình học lớp 7]

Phương pháp 4:Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của gócxOythì ba điểmO; A; Bthẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là:Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

*Hoặc: Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox,∠xOA =∠xOB thì ba điểmO, A, Bthẳng hàng.

Phương pháp 5:Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểmBD, K’là giao điểm của BD và AC. Nếu K’là trung điểm BD vàK’ ≡KthìA, K, Cthẳng hàng.

[Cơ sở của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm]

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy tam giác.

Ví dụ: Chứng minh E làtrọng tâmtam giác ABC và AM là trung tuyến của góc A suy ra A, M, H thẳng hàng.

Ta có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy tam giác như 3đường cao, 3đường phân giác, 3 đường trung trực trong tam giác.

Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất 2 vectơ cùng phương để chứng minh có đường thẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng.

Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC cùng phương thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Sử dụng phương pháp vectơ

3. 3 điểm thẳng hàng là gì?

Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc mộtđường thẳng.

Ba điểm thẳng hàng

4. Quan hệ của 3 điểm thẳng hàng

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại trong ba điểm thẳng hàng.

Quan hệ của 3 điểm thẳng hàng

5. Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng có lời giải

Bài 1:Cho tam giác ABC . gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung điểm của MN.

Giải

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :

DB = DA [D là trung điểm của AB] ∠D1 = ∠D2 [đối đỉnh].

DC = DM [gt].

=>ΔBCD = ΔBMD[c -g -c]

=> ∠C1 = ∠Mvà BC = AM.

Mà :∠C1; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự, ta được : BC // AN và BC = AN.

Ta có : BC // AM [cmt] và BC // AN [cmt]

=> A, M. N thẳng hàng. [1]

BC = AM và BC = AN => AM = AN [2].

Từ [1] và [2], suy ra : A là trung điểm của MN.

Nhận xét:Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM= AN

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌCTRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 1CHUYÊN ĐỀCHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG1. Sử dụng tiên đề Ơcơlit và hệ quảTiên đề Ơcơlit : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất mộtđường thẳng song song với a.Hệ quả : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất một đườngthẳng vuông góc với a.Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với hai trung tuyếnBD và CE. Gọi M và N theo thứ tự thuộc các tia đốicủa các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN.Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.Giải: [H. 1]Tứ giác AMBC có EA = EB, EM = EC [gt] nênlà hình bình hành. Suy ra AM // BC.Chứng minh tương tự ta có AN // BC.Qua A có AM // BC và AN // BC ⇒ A, M, N thẳng hàng [tiên đề Ơcơlit].Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD [AB < CD] có O là giao điểm của hai đườngchéo. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của Dtrên BE ; I là giao điểm của AB và CF ; K là giao điểm của AF và BC. Chứng minh rằngba điểm O, K, I thẳng hàng.Giải :ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BDvà OA = OB = OC = OD.Ta có CB ⊥ AI [vì ABCD là hình chữ nhật]⇒ CB là đường cao của ∆CAI [1]∆FBD vuông tại F có FO là trung tuyến ứng vớicạnh huyền BD nên OF =12BD ⇒ OF =12AC.∆FAC có FO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC, FO =12AC nên ∆FAC vuôngtại F. Suy ra AF ⊥ CI hay AF là đường cao của ∆CAI [2]Vì K là giao điểm của AF và CB nên từ [1] và [2] suy ra K là trực tâm của ∆CAI.Do đó IK ⊥ AC [3]Hình 1NMEDABCHình 2KIFEBADCOCHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG2 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANHMặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE [cùng bằng CD] và AB // CE [vì AB // CD]nên là hình bình hành ⇒ BE // AC ⇒ BF //AC ⇒ ABFC là hình thang.Lại có ∆FDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE [vì CD = CE] nênCF = CD ⇒ CF = AB [vì AB = CD].Suy ra BAC = FCA [cạnh huyền – cạnh góc vuông] ⇒ AF = BC.Hình thang ABFC có hai đường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân.Suy raIAC ICA=⇒ ∆IAC cân tại I ⇒ IO là trung tuyến đồng thời là đường cao.Do đó IO ⊥ AC 4]Từ [3] và [4] suy ra I, K, O thẳng hàng [đpcm].2. Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳngTính chất : Nếu AM + BM = AB thì M nằm giữa A và B.Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, ACvà CD. Chứng minh rằng nếuAD BCMN2+=thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thànhhình thang.Giải :Giả sửAD BCMN2+=[1]Vì MA = MB, IA = IC nên MIlà đường trung bình của tam giácABC. Suy ra MI // BC và MI =12BC.Chứng minh tương tự ta có IN // AD và IN =12AD.MàAD BC 1 1MN BC AD2 2 2+= = +hay MN = MI + IN. Từ đó suy ra I nằm giữa Mvà N, hay M, I, N thẳng hàng.Lúc đó ta có BC // AD vì cùng song song với MN. Do đó ABCD trở thành hìnhthang [H. 3b].Vậy nếuAD BCMN2+=thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang.3. Sử dụng tính chất của góc bẹtNếu0180= + =AOB AOC COBthì A, O, B thẳng hàng [H. 4]MN =AB+CD2b]a]Hình 3NMINMIABCDDCBAHình 4OABCCÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌCTRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 3Ví dụ 4. Đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B. Gọi C, D lầnlượt đối xứng với B qua O và O’. Chứng minh rằng C, A, D thẳng hàng.Giải : [H. 5]Vì C đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BC.Suy ra BC là đường kính của [O].Ta có OA = OB = OC =1BC2nên ∆ABC vuông tại A⇒0BAC 90=.Chứng minh tương tự ta có0BAD 90=.Do đó :0CAD BAC BAD 180= + =⇒ C, A, D thẳng hàng.Ví dụ 5. Cho ∆ABC, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài ∆ABC các tam giác vuôngcân BAD, CAE [vuông cân tại A]. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểmH, A, M thẳng hàng.Giải : [H. 6]Dựng hình bình hành ADFE ⇒ AE = DF và M ∈ AF.Xét ∆ABC và ∆ADF có:AB = AD [gt]0BAC ADF[ 180 DAE]= = −AC = DF [= AE]⇒ ∆ABC = ∆ADF [c.g.c] ⇒ABC DAF=⇒0DAF HAB ABC HAB 90 .+ = + =⇒0HAF HAB BAD DAF 180= + + =⇒ H, A, F thẳng hàng.Vậy ba điểm H, A, M thẳng hàng.4. Sử dụng sự đồng quy của các đường trung tuyến, các đường cao, các đườngphân giác trong tam giácVí dụ 6. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; E làđiểm đối xứng của A qua B; F là giao điểm của BC và ED ; G là giao điểm của BC và OE;H là giao điểm của EC và OF. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.Giải : [H. 7]Vì O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD nên OA = OC ⇒ EO là trung tuyếncủa ∆EAC.Điểm E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của EA. Suy ra CB là trung tuyếncủa ∆EAC.Hình 5ADCOO'BHình 6FMDHEBACCHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG4 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANHĐiểm G là giao điểm của CB và EO nên G là trọng tâm của ∆EAC [1]Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB.⇒ CD // BE, CD = BE ⇒ BECD là hình bình hành.Suy ra F là trung điểm của ED và BC.Ta có OF là đường trung bình của ∆CAB nên OF // AB⇒ OH // AE ⇒ HE = HC.Do đó AH là trung tuyến của ∆EAC. [2]Từ [1] và [2] suy ra A, G, H thẳng hàng [đpcm].5. Sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hànhVí dụ 7. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F saocho BE = DF. Kẻ EH ⊥ AB, FK ⊥ CD [H ∈ AB, K ∈ CD]. Gọi O là trung điểm của EF.Chứng minh rằng ba điểm H, O, K thẳng hàng.Giải : [H. 8]Vì EH ⊥ AB, FK ⊥ CD và AB // CD nên EH // FK [1]Xét ∠HBE và ∠KDF có:BE = DF,KDF HBE=,0DKF BHE 90= =⇒ ∠HBE = ∠KDF [cạnh huyền – góc nhọn]⇒ HE = KF. [2]Từ [1] và [2] suy ra HEKF là hình bình hành.Suy ra trung điểm của EF cũng là trung điểm của HK.Vậy E, H, K thẳng hàng [đpcm].5. Sử dụng phương pháp chứng minh một điểm trùng với một trong ba điểmthẳng hàngVí dụ 8. Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AB vàCD cắt nhau tại M, các đường thẳng AD và BC cắt nhau tạiN. Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm của BD, AC, MN.Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.Giải : [H. 8]Gọi K’ là giao điểm của IJ với MN. Gọi E, F lần lượtlà chân đường vuông góc kẻ từ N, M tới đường thẳng IJ.Dễ thấy M, N nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ IJ.Ta có:NIJ NDC NDI NJC CIJ CID NDC NBD NAC AIC CBD1 1 1 1S S S S S S S S S S S2 2 2 2= − − − − = − − − −Hình 7GFHEBOACDHình 8FKHAODBCEHình 9EFKJIMNABCDK'CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌCTRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 5NDC NAB ABD NAB ABC ADC AID CID CBDNDC NAB ABD CBD ABC ADC ABD CBDABCD ABCD ABCD ABCD ABCD1 1 1 1S [S S ] [S S ] [S S S ] S2 2 2 21 1 1[S S ] [S S ] [S S ] [S S ]2 2 41 1 1 1S S S S S2 2 4 4= − + − + − − − −= − − + − + + += − − + =Chứng minh tương tự ta cóMIJ ABCD1S S .4=Do đó SNIJ= SMIJhay1 1NF.IJ ME.IJ2 2=⇒ ME = NF ⇒MK 'J NK 'JS S=MàMK'J∆vàNK'J∆có chung chiều cao hạ từ J nên từMK'J NK 'JS S MK' NK'= ⇒ =Theo giả thiết MK = NK [gt] nênK K'.≡Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.6. Sử dụng định lí Mê -nê -la -uýtVí dụ 9. [Định lí Mê - nê - la - uýt] Cho ∆ABC và ba điểmA ,B ,C′ ′ ′trên các đườngthẳng BC, AC và AB sao cho : hoặc cả ba điểmA ,B ,C′ ′ ′đểu nằm trên phần kéo dài của bacạnh, hoặc một trong ba điểm trên nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm cònlại nằm trên hai cạnh của tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba điểmA ,B ,C′ ′ ′thẳng hàng là :A'B B'C C'A1.A'C B'A C'B⋅ ⋅ =Giải :b]Hình 10a]DB'DB'BACA'A'CABC'C'* Điều kiện cần : nếu ba điểmA ,B ,C′ ′ ′thẳng hàng thìA'B B'C C'A1.A'C B'A C'B⋅ ⋅ =[H. 11]Từ C kẻ CD // AB [D’ ∈A'C'].Áp dụng định lí Ta- lét, ta có :A'B A'C' B'C B'D,A'C A'D B'A B'C'= =.CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG6 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANHMặt khác, ta có :CD B'D CD A'D C'A A'D B'C',C'A B'C' C'B A'C' C'B A'C' B'D= = ⇒ = ⋅.Suy ra :A'B B'C C'A A'C' B'D A'D B'C'1.A'C B'A C'B A'D B'C' A'C' B'D⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =* Điều kiện cần : nếuA'B B'C C'A1A'C B'A C'B⋅ ⋅ =[1] thì ba điểmA ,B ,C′ ′ ′thẳng hàng.GọiB′′là giao điểm củaA'C'và AC.- Nếu một điểm thuộc phần kéo dài của một cạnh và hai điểm còn lại nằm trên haicanh của ∆ABC. Không giảm tổng quát, giả sửB ,C′ ′nằm trên hai cạnh AC và AB của∆ABC cònA′thuộc phần kéo dài của cạnh BC [H. 11a]. Khi đóB'vàB''cùng thuộccạnh AC.Theo chứng minh trên, ta có :A'B B''C C'A1A'C B''A C'B⋅ ⋅ =[2]Từ [1] và [2] suy ra :B'C B''CB' B''B'A B''A= ⇒ ≡[vì đều thuộc cạnh AC].- Nếu cả ba điểm đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh của ∆ABC [H. 11a]. KhiđóB'vàB''cùng thuộc phần kéo dài của cạnh AC.Chứng minh tương tự như trên ta cũng cóB' B''.≡Do đó ba điểmA ,B ,C′ ′ ′thẳng hàng.Ví dụ 10. Cho ∆ABC, đường phân giác BE và CF. Gọi D là giao điểm của đườngphân giác góc ngoài tại đỉnh A với đường thẳng BC. Chứng minh rằng ba điểm D, E, Fthẳng hàng.Giải : [H. 11]Dễ thấy D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB còn Fthuộc phần kéo dài của cạnh BC.Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có :DB AB EC BC FA CA, ,DC CA EA AB FB BC= = =Suy ra :DB EC FA AB BC CA1DC EA FB CA AB BC⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =.Theo định lí Mê - nê - la - uýt thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.Hình 11DEFABCCÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌCTRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 77. Sử dụng phương pháp phản chứngVí dụ 11. Trên mặt phẳng cho n điểm [n > 3] và bất kì đường thẳng nào đi qua haitrong những điểm đó đều chứa một điểm đã cho. Chứng minh rằng tất cả các điểm đã chocùng nằm trên một đường thẳng.Giải : [H. 12]Giả sử tất cả các điểm không cùng nằm trên một đườngthẳng. Qua mỗi cặp điểm đã cho vẽ một đường thẳng [có một sốhữu hạn đường này] và chọn khoảng cách khác 0 từ các điểm đãcho đến các đường thẳng này.Giả sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC,trong đó A, B, C là các điểm đã cho là khoảng cách nhỏ nhất. Trên đường thẳng BC còn cómột điểm D nào đó.Từ A kẻ AQ vuông góc với BC tại Q. Hai trong các điểm B, C, D nằm cùng mộtphía đối với điểm Q, chẳng hạn C và D như hình vẽ, khi đó ta có CQ < DQ. Hạ CH vuônggóc với AD tại H. Dễ thấy CH < AQ. Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm A và đườngthẳng BC. Từ đó ta có điều phải chứng minh.8. Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng một trong các tính chất sau– Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng thì thẳng hàng [H. 12].aA, B, C cùng thuộc a A, B, C thẳng hàngHình 13ABC- Ba điểm cùng cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng [cùng thuộc đường trungtrực của một đoạn thẳng] thì thẳng hàng [H. 13].Hình 14AD = AE, BD = BE, CD = CE A, B. C thẳng hàngDEABC- Ba điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách đều a thì thẳng hàng.ahhhHình 15A, B, C cùng cách a một khoảng bằng h A, B. C thẳng hàngACBHình 12HBDAQCCHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG8 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH– Ba điểm cùng cách đều hai cạnh của một góc [cùng thuộc đường phân giác củamột góc] thì thẳng hàng [H. 15].xyA, B, C cách đều hai cạnh của góc xOy A, B, C thẳng hàngHình 16COBA– Ba điểm cùng cách đều hai đường thẳng song song thì thẳng hàng [H. 16].abHình 17A, B, C cách đều a và b A, B. C thẳng hàngBACBÀI TẬP1. Ba điểm A, B, C cùng thuộc đường thẳng a, điểm O không thuộc a. Chứng minhrằng nếu ba điểm M, N, P thỏa mãn hệ thứcOM ON OPOA OB OC= =thì M, N, P thẳng hàng.2. Cho ∆ABC,0B 120 ,=phân giác BD, CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tạiđỉnh A của ∆ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng.3. Cho ∆ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi M là điểm đốixứng của E qua C, N là điểm đối xứng của D qua B, K là giao điểm của DM và AC. Chứngminh rằng ba điểm N, E, K thẳng hàng.4. Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau. Chứng minh rằng giao điểm của haiđường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáynằm trên cùng một đường thẳng. [Bổ đề hình thang]5. Cho ∆ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựnghình vuông ABDE ; trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng hình vuôngACMN. Dựng hình bình hành AEIG. Gọi K là giao điểm của CD và BM. Chứng minhrằng bốn điểm I, A, K, H thẳng hàng.6. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M,N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứngminh rằng M, O, P thẳng hàng.CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌCTRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 97. Cho góc vuông xAy. Một điểm B cố định trên Ax, còn một điểm C chuyển động trênAy. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N.Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C chuyển động trên Ay.8. Trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho0C ECB 15 .ΕΒ = =Trên nửa mặtphẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác đều CDF. Chứng minh rằng B, E, F thẳnghàng.9. Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BDvà AB lần lượt tại E và F. Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC và AB lần lượttại P và Q. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.10.Trên một đường thẳng lấy bốn điểm theo thứ tự là A, E, F, B. Dựng các hình vuôngABCD, EFGH sao cho chúng nằm cùng ở một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đã cho.Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng :a] C, O, E thẳng hàng.b] D, O, F thẳng hàng.11. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Lấy điểm F điểm đốixứng với C qua E. Từ điểm F kẻ Fx và Fy lần lượt song song với AD và AB. Gọi I là giaođiểm của Fx và AB ; K là giao điểm của FI và AD. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng.12. Cho ∆ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho1ABD ABC3=; trên cạnh AB lấy điểm E sao cho1ACE ACB3=. Gọi F là giao điểm củaBD và CE ; G và H theo thứ tự là các điểm đối xứng của F qua các cạnh BC và AC. Chứngminh rằng :a] Ba điểm H, D, G thẳng hàng.b] Tam giác EDF cân.13. Cho góc vuông xOy tam giác. M thuộc Ox; A, B thuộc Oy. Đường thẳng đi qua Avà vuông góc với AM cắt đường thẳng đi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H là giaođiểm của AP với MB ; K là giao điểm của AM với BP ; I, K, E lần lượt là trung điểm củaMP, AB và KH. Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng.14. Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FGvà GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các đường FG và GH theo thứ tự tạ P và Q.Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Chứng minh rằng bốn điểm F, H, K, Ithẳng hàng.15. Cho tứ giác ABCD và một điểm O nằm bên trong tứ giác sao cho các tam giácABO, BCO, CDO, DAO có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng hoặc ba điểm A, O, Cthẳng hàng, hoặc ba điểm B, O, D thẳng hàng.CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG10 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH16. Cho ∆ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE. Gọi I là điểm thuộc đoạnBC ; H là giao điểm của BD và CE ; N thuộc đoạn AH ; M thuộc đoạn DE. Chứng minhrằng M, I, N thẳng hàng.17. Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông Exy quay quanh đỉnh E. Cạnh Ex cắt cácđường thẳng FG và GH theo thứ tự tại M và N ; cạnh Ey cắt các đường thẳng FG và GHtheo thứ tự ở P và Q. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Chứng minhrằng 4 điểm F, H, K, I thẳng hàng.18. Cho0xOy 90=. Lấy điểm M thuộc Ox, A và B cùng thuộc Oy. Đường thẳng đi quaA và vuông góc với AM cắt đường thẳng đi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H làgiao điểm của AP và MB ; K là giao điểm của AM và BP ; I, E, N lần lượt là trung điểmcủa MP, AB và KH. Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng.