Bài tập Viết phương trình đường thẳng Oxyz

Các dạng lập phương trình đường thẳng thường gặp

Các dạng lập phương trình đường thẳng thường gặp trong hình học Oxyz. Bài tập trắc nghiệm.

Để viết  phương trình đường thẳng cần phải có

–          1 véc tơ chỉ phương

–          1 điểm nằm trên đường thẳng

Dạng 1: Lập phương trình đường thăng đi qua 2 điểm A, B

Véc tơ

Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng [P] và [Q]

Véc tơ  là véc tơ pháp tuyến của [P]

Véc tơ  là véc tơ pháp tuyến của [Q]

Véc tơ chỉ phương của d là  

 Cách tìm tọa độ M:

Giải hệ

Cho  hoặc

Dạng 3: Lập phương trình đương thẳng song song với đường thẳng cho trước

Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [P] cho trước

Dạng 5: Lập phương trình đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cho trước và đi qua 1 điểm

Véc tơ chỉ phương của d là  

Khi có 1 điểm và véc tơ chỉ phương chúng ta sẽ lập đc phương trình đường thẳng

 Dạng 6: Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng

Véc tơ chỉ phương của d là  

 Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng song song với 2 mặt phẳng cho trước

Véc tơ chỉ phương của d là

Dạng 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A vuông góc và cắt đường thẳng cho trước.

Dạng 9: Lập phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng d và d’

Lời giải chi tiết:

a] Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1\left[ x-1 \right]-2\left[ y-2 \right]+2\left[ z+1 \right]=0$hay $x-2y+2z+5=0.$

b] Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left[ 2;-1;3 \right]$ suy ra VTPT của mặt phẳng [P] là $\overrightarrow{n}=[2;-1;3].$

Phương trình mặt phẳng: $2\left[ x-1 \right]-1\left[ y-0 \right]+3\left[ z-2 \right]=0$ hay $2x-y+3z-8=0$.

c] Do $\left[ P \right]//\left[ Q \right]$ nên ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\overrightarrow{{{n}_{[Q]}}}=\left[ 1;-2;3 \right]$.

Phương trình mặt phẳng [P] là: $x-2y+3z-5=0.$

Lời giải chi tiết:

a] Ta có: $\overrightarrow{AB}=[3;-6;0],\,\,\overrightarrow{AC}=[5;3;3]$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=[-18;-9;39]=-3[6;3;-13]$

Ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=[6;3;-13]\Rightarrow [P]:6[x+1]+3[y-2]-13[z-3]=0$hay $6x+3y-13z+39=0.$

b] Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{Oy}}}=\overrightarrow{j}=[0;1;0]$

Do [P] vuông góc với trục Oy $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=[0;1;0]\Rightarrow [P]:y-2=0$.

c] Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.

Trung điểm của AB là $M\left[ 2;1;1 \right],$$\overrightarrow{AB}=[2;4;2]=2[1;2;1]\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=[1;2;1]$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1[x-2]+2[y-1]+1[z-1]=0$ hay $x+2y+z-5=0$.

d] Phương trình mặt phẳng [P] theo đoạn chắn là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$hay $2x-6y+3z-6=0.$

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng [P] ta thấy tọa độ điểm  N  thỏa mãn:

$2[1]-[-1]-1-2=0\Rightarrow N\in [P]$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [P] là $[1;0;-1]$.

Dễ nhận thấy vectơ $\overrightarrow{n}=[1;-1;-1]$ không là vectơ pháp tuyến của [P]. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng đó là: $-2\left[ x-2 \right]+4\left[ y+3 \right]+1\left[ z-4 \right]=0$ hay $-2x+4y+z+12=0$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng [P] là 3x + 2y + z = 0. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Với các điểm M, N, P, Q ta thấy điểm $P\,[3;1;3]\notin [\alpha ]$ vì 2.3 − 3.1 − 3−l = −1 ≠ 0. Chọn A.

Lời giải chi tiết :

Toạ độ các điểm A, B, C là $A\left[ 2;0;0 \right];\,\,B\left[ 0;1;0 \right];\,\,C\left[ 0;0;3 \right]$ 

Suy ra phương trình đoạn chắn của mặt phẳng [ABC] là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ hay $3x+6y+2z-6=0$

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $I\left[ 1;0;0 \right];\,\,J\left[ 0;-3;0 \right];\,\,K\left[ 0;0;5 \right]$do đó phương trình mặt phẳng [IJK] theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{1}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{5}=1$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng cần tìm có VTPT là : $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=[3;-2;1]$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $3[x-3]-2[y+1]+z-1=0$ hay $3x-2y+z-12=0$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Tacó: $\overrightarrow{AB}=[-1;2;1],\,\,\overrightarrow{AC}=[0;1;-1]\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=[-3;-1;-1]=-\overrightarrow{n}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

a] Ta có: $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-1}{5}=t\Rightarrow [d]:\left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=-1-3t \\  & z=1+5t \\ \end{align} \right..$

b] $\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}=t\Rightarrow [d]:\left\{ \begin{align}  & x=-3+2t \\  & y=1-t \\  & z=-1+3t \\ \end{align} \right..$

Lời giải chi tiết:

a] Phương trình chính tắc của đường thằng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{6}.$

b] Phương trình chính tắc của đường thằng $d:\frac{x+2}{-3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z}{6}.$

Lời giải chi tiết:

a] Ta có: $\overrightarrow{u}=[2;-1;3]$

Phương trình đường thẳng d là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-4}{3}.$

b] Ta có : $d//Oz\Rightarrow \overrightarrow{u}=[0;0;1]\Rightarrow d:\left\{ \begin{align}  & x=-1 \\  & y=2 \\  & z=4+t \\ \end{align} \right..$

c] Ta có : $\overrightarrow{AB}=[1;4;0]\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AB}=[1;4;0]\Rightarrow $$d:\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=-1+4t \\  & z=2 \\ \end{align} \right..$

Lời giải chi tiết:

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}=[2;-3;1]$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=[-1;0;2]=\overrightarrow{{{u}_{AB}}}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow{BA}=[1;2;-1]$. Đường thẳng AB đi qua điểm B, nhận $\overrightarrow{BA}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình $\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=-1+2t \\  & z=1-t \\ \end{align} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=[1;-3;-2]=-[-1;3;2]=-\overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{u}$là một vtcp của AB. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Gọi d là đường thẳng cần ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{BC}=[-2;1;1]$

Phương trình chính tắc của đường thẳng cần tìm là $\frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Trung điểm của AB là $I\,[0;1;-1]$. Phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d là: $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Do $d\bot [P]$nên ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=[1;3;-1]$ [loại A và D] suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là:

$[d]:\left\{ \begin{align}  & x=2+t \\  & y=3+3t \\  & z=-t \\ \end{align} \right.$. Với $t=-1\Rightarrow [d]$ đi qua điểm [1;0;1] $\Rightarrow [d]:\left\{ \begin{align}  & x=1+u \\  & y=3u \\  & z=1-u \\ \end{align} \right.$. Chọn B.

Lời giải:

1. a] Phương trình mặt cầu [S] là: ${{[x+1]}^{2}}+{{[y-2]}^{2}}+{{[z-3]}^{2}}=16$.
2. b] Bán kính mặt cầu [S] là: $R=IA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{[-1]}^{2}}+{{[1]}^{2}}}=\sqrt{3}.$

Phương trình mặt cầu [S] là: ${{[x-2]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z+1]}^{2}}=3.$.

1. c] Tâm I của mặt cầu là trung điềm của AB suy ra $I\left[ 1;1;2 \right].$

Bán kính mặt cầu là: $R=IA=\sqrt{6}\Rightarrow $$[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y-1]}^{2}}+{{[z-2]}^{2}}=6.$

Lời giải:

1. a] Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}-3=11>0$

Do đó phương trình là phương trình mặt cầu có tâm $I\,[1;2;3]$ bán kính $R=\sqrt{11}.$

1. b] Ta có : $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+4x+10y+2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+5y+1=0$

$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{[-1]}^{2}}+{{\left[ -\frac{5}{2} \right]}^{2}}-1=\frac{25}{4}$

Do đó phương trình là phương trình mặt cầu có tâm $I\,[-1;\frac{-5}{2};0]$bán kính $R=\frac{5}{2}.$

1. c] Ta có : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=0\Rightarrow $phương trình biểu diễn một điểm $I\,[1;0;0].$
2. d] Ta có : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{\left[ \frac{3}{2} \right]}^{2}}+{{[-2]}^{2}}+{{\left[ 4 \right]}^{2}}-25=\frac{-11}{4} 0.                           D. $m\in \mathbb{R}$.

   Lời giải:

   Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2my+6z+13=0$là phương trình mặt cầu

   ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{2}^{2}}+{{[-m]}^{2}}+{{3}^{2}}-13>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0$. Chọn A.

   Ví dụ 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu [S] có tâm $I\,[1;0;-3]$ và đi qua điểm $M\,[2;2;-1]$. A. $[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z+3]}^{2}}=9.$                                         B. $[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z+3]}^{2}}=3.$ C. $[S]:{{[x+1]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z-3]}^{2}}=9.$                                         D. $[S]:{{[x+1]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z-3]}^{2}}=3.$

   Lời giải:

   Ta có: $R=IM=\sqrt{{{[2-1]}^{2}}+{{[2-0]}^{2}}+{{[-1+3]}^{2}}}=3.$

   Suy ra phương trình mặt cầu là:$[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z+3]}^{2}}=9.$ Chọn A.

   Ví dụ 27: Xác định tọa độ tâm  I  và bán kính  R  của mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-6z+10=0$. A. $I\,[-2;1;3],\,\,R=4.$                                                    B. $I\,[2;-1;-3],\,\,R=4.$ C. $I\,[2;-1;-3],\,\,R=2.$                                                   D. $I\,[-2;1;3],\,\,R=2.$

   Lời giải:

   Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-6z+10=0\Leftrightarrow {{[x+2]}^{2}}+{{[y-1]}^{2}}+{{[z-3]}^{2}}=4\Rightarrow $mặt cầu có tâm $I\,[-2;1;3],\,\,R=2$. Chọn D.

   Ví dụ 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho hai điểm $M\,[3;-2;5],\,\,N\,[-1;6;-3]$. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có đường kính là MN ? A. $[S]:{{[x+1]}^{2}}+{{[y+2]}^{2}}+{{[z+1]}^{2}}=36.$                                B. $[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y-2]}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=6.$ C. $[S]:{{[x+1]}^{2}}+{{[y+2]}^{2}}+{{[z+1]}^{2}}=6.$                                  D. $[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y-2]}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=36.$

   Lời giải:

   Gọi  I  là tâm của mặt cầu [S] $\Rightarrow $ I  là trung điểm của MN $\Rightarrow I\,[1;2;1]$ và IM = 6.

   Phương trình mặt cầu đường kính MN là ${{[x-1]}^{2}}+{{[y-2]}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=36$. Chọn D.

   Ví dụ 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình chính tắc của mặt cầu có đường kính AB với $A\,\left[ 2;1;0 \right],\,\,B\,\left[ 0;1;2 \right]$. A. $[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y-1]}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=4.$                                    B. $[S]:{{[x+1]}^{2}}+{{[y+1]}^{2}}+{{[z+1]}^{2}}=2.$ C. $[S]:{{[x+1]}^{2}}+{{[y+1]}^{2}}+{{[z+1]}^{2}}=4.$                                  D. $[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y-1]}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=2.$

   Lời giải:

   Mặt cầu  [S]  có tâm  I  là trung điểm của  AB  và bán kính $R=\frac{1}{2}AB.$

   Ta có $I\,\left[ \frac{2+0}{2};\frac{1+1}{2};\frac{0+2}{2} \right]\Rightarrow I\,[1;1;1]$và $\overrightarrow{AB}=[-2;0;2]\Rightarrow AB=2\sqrt{2}\Rightarrow R=\sqrt{2}.$

   $\Rightarrow [S]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y-1]}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=2$. Chọn D

   Video liên quan