Bài tập tam giác đồng dạng toanmath

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng

[rule_3_plain]

Tài liệu gồm 48 trang, tóm lược lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng, giúp học trò lớp 8 tham khảo lúc học chương trình Toán 8 [tập 2] phần Hình học chương 3.

Bài 1. Định lí Ta-lét trong tam giác. + Dạng 1. Tính toán, chứng minh về tỉ số của 2 đoạn thẳng và đoạn thẳng tỷ lệ. + Dạng 2. Sử dụng định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 3. Sử dụng định lí Ta-lét để chứng minh các hệ thức. Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét. + Dạng 1. Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để chứng minh các hệ thức. + Dạng 3. Sử dụng định lí Ta-lét đảo để chứng minh 2 đường thẳng song song. + Dạng 4. Phối hợp định lí Ta-lét thuận và đảo. + Dạng 5. Vận dụng vào toán dựng hình. Trong 4 đoạn thẳng tỷ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tư lúc biết độ dài 3 đoạn kia. Bài 3. Thuộc tính đường phân giác của tam giác. + Dạng 1. Áp dụng thuộc tính đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 2. Áp dụng thuộc tính đường phân giác của tam giác để tính tỉ số độ dài 2 đoạn thẳng. + Dạng 3. Đường phân giác ngoài của tam giác. Bài 4. Khái niệm 2 tam giác đồng dạng. + Dạng 1. Vẽ tam giác đồng dạng với 1 tam giác cho trước. + Dạng 2. Thuộc tính 2 tam giác đồng dạng. + Dạng 3. Chứng minh 2 tam giác đồng dạng. Bài 5. Trường hiệp đồng dạng thứ nhất. + Dạng 1. Nhận biết 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ nhất. + Dạng 2. Sử dụng trường hiệp đồng dạng thứ nhất để chứng minh các góc bằng nhau. Bài 6. Trường hiệp đồng dạng thứ 2. + Dạng 1. Nhận biết 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ 2 để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh 2 góc bằng nhau. + Dạng 2. Sử dụng các tam giác đồng dạng để dựng hình. Bài 7. Trường hiệp đồng dạng thứ 3. + Dạng 1. Nhận biết 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ 3 để tính đồ dài 2 đoạn thẳng. + Dạng 2. Nhận biết 2 tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp thứ 3. + Dạng 3. Sử dụng tam giác đồng dạng để dựng hình. Bài 8. Các trường hiệp đồng dạng của tam giác vuông. + Dạng 1. Các trường hiệp đồng dạng của tam giác vuông suy từ các trường hiệp đồng dạng của tam giác. + Dạng 2. Trường hiệp đồng dạng cạnh huyền – cạnh góc vuông. + Dạng 3. Tỉ số 2 đường cao của 2 tam giác đồng dạng. Bài 9. Phần mềm thực tiễn của tam giác đồng dạng. + Dạng 1. Đo gián tiếp chiều cao. + Dạng 2. Đo gián tiếp khoảng cách, bề dày. Ôn tập chương III. A. Bài tập ôn trong SGK.

B. Bài tập bổ sung.

[adsbygoogle = window.adsbygoogle || []].push[{}];

Tải tài liệu

[rule_2_plain]

#Lý #thuyết #các #dạng #toán #và #bài #tập #tam #giác #đồng #dạng

b] EAD ∽ EMB.

3. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D, AB  6cm,CD  12cm và AD  17cm. Trên cạnh

  900.
AD, lấy E sao cho AE  8cm . Chứng minh BEC

4. Cho tam giác ABC vuông tại A với AC  4cm và BC  6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC
[tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC]. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho

BD  9cm. Chứng minh BD song song với AC. Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông [nếu cần] để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh. 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

2
a] Chứng minh AB  BH.BC;

2
b] Chứng minh AH  BH.CH;

c] Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh BAP ∽ ACQ; d] Chứng minh AP  CQ. 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh: 2

a] AH  AM.AB;

b] AM.AB  AN.AC.

c] AMN ∽ ACB. 7. Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE  AB tại E, CF  AD tại F, BH  AC tại H và DK  AC tại K. Chứng minh;

a]

AB AH  ;

AC AE

b] AD.AF  AK.AC;

c] AD.AF  AB.AE  AC 2 .
8. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh

BC 2  BH.BD  CH.CE. Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm của DF và CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE. 10. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam giác EBD và FDC lần lượt bằng a 2 và b2 , hãy tính diện tích tam giác ABC. HƯỚNG DẪN CÁC DẠNG BÀI 1A.a] BEH  CDH [ g  g ]

b] Có BEH  CDH ta suy ra

HE HB 

HD HC

Từ đó chứng minh được EHD  BHC [c.g.c] 1B. HS tự chứng minh 2A. Ta chứng minh được  ABE  DEC [c.g .c ]  

AEB  ECD

   900 [ĐPCM] Từ đó ta có DEC AEB  900 suy ra BEC 2B. Ta chứng minh được  ABC  CBD  

ACB  CBD

Từ đó suy ra BD//AC [ĐPCM]

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

3A. a] Ta chứng minh ABH  CBA từ đó suy ra AB2 =
BH.BC [ĐPCM]

b] Tương tự câu a, HS tự chứng minh c] Từ AHC  BHA AH AC AH AQ   mà BH AB BH BP AC AQ  Từ đó suy ra . Do đó có BAP  ACQ [c  g  c] AB BP



d] Gọi M là giao điểm của CQ và AP [M  AP]   MCA  . Trong AMC ta Sử dụng kết quả câu b] BAP   90 0  CP  AQ [ĐPCM] chứng minh được CMA 3B. HS tự chứng minh. AB AH  [1] AC AE AD AK  b] Tương tự câu a ta chứng minh được

AC AF

4A. a] Ta chứng minh AHB  AEC[ g.g] 

 AD.AF =AK.AC [2] b] Từ [1] ta có AB.AE = AC.AH [3] Lấy [3] + [2] ta được AD.AF + AB.AE = AC2 [ĐPCM] 4B. Gợi ý: Gọi AH  BC   K  , chứng minh được AK  BC. Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ra ĐPCM. 5A. Ta chứng minh được CIF vuông tại I. Vẽ BK  CE.

2

S  BC   CBK  CFI  CBK    4 SCFI  CF 

Lại có  CFI  BEK nên

SCBE 5

SCIF

5B. Đặt SABC = S2. EBD  ABC
2

S a 2  BD   BD    Chứng minh  EBD     S ABC  BC  S 2  BC 



2

BD a  [1]

BC s

Chứng minh:
2

S DC b  DC   CDF  CBA  CDF    [2]   SCBA  BC  BC s

Từ [1] và [2] 

BD DC a b 2     S  a  b

BC BC s s

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 Bài 1: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a] BEH ” CDH; b] EHD ” BHC. Bài 2: Cho ABC có đường cao AH, biết AB  30cm, BH  18cm ; AC  40cm a] Tính độ dài AH và chứng minh: ABH ” CAH b] Chứng minh ABH ” CBA   Bài 3: Cho tam giác ABC, có A

 90   B , đường cao CH . Chứng minh:

a]  CBA  

ACH

b] CH 2  BH .AH

Bài 4: Cho hình vuông ABCD , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM  DA. a] Chứng minh EMC ~ ECB

b] Chứng minh EB .MC  2 a 2 .

c] Tính diện tích tam giác EMC theo a. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm. a] Tính BC. b] Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB ~ CAB. c] Tính EB và EM. d] Chứng minh BH vuông góc với EC. e] Chứng minh HA.HC  HM .HE . Bài 6: Cho tứ giác ABCD, có  DBC  90 0 , AD  20cm , AB  4 cm , DB  6 cm , DC  9 cm . a] Tính góc  BAD b] Chứng minh BAD ” DBC c] Chứng minh DC //AB . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD [ AC > BD] vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông

góc với AD tại F.Chứng minh rằng AB.AE  AD. AF  AC 2

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

LỜI GIẢI BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1

A

Bài 1:
a] BEH ” CDH [ g  g ]

D
E

HE HB b] Có BEH ~ CDH ta suy ra  HD HC

Từ đó chứng minh được EHD ” BHC [c.g  c ]

Bài 2:

H

C

B

a] Vì AH  BC  AHB vuông tại H, theo định lý Pitago ta có: AB 2  AH 2  BH 2  AH 2  AB 2  BH 2

 AH 2  30 2  182  900  324  576  AH  24cm

Vì AH  BC  AHC vuông tại H, theo định lý Pitago ta có: AC 2  AH 2  HC 2

 HC 2  AC 2  AH 2

A

 HC 2  402  24 2  1600  576  1024  HC  32cm AH 24 4     18 3   AH  HC Ta lại có: BH HC 32 4  BH AH    B H AH 24 3    CHA   90 AHB    CAH    AHB ” CHA [c.g.c]  ABH Xét AHB và CHA có: AH HC  [cmt ]   BH AH    

b] Ta có: HBA  BAH  90  CAH  HAB  90

   90 AHB  CAB Xét  ABH và CBA có:   ABH ” CAB [g  g ] [đpcm]  [chung ] B  Bài 3: a]  CBA  

ACH

   900  [1800  BAC  ]  900  BAC   CBA 

ACH  900  CAH

b] CH 2  BH . AH

   ACH  CBH  HCA ” HBC  0   CHA  BHC  90  HC HA    HC 2  HA.HB HB HC

Bài 4:

5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

C

a] Chứng minh EMC ~ ECB
Tam giác EMC có trung tuyến MD  DA 

1 EC nên là tam giác vuông tại M.

2

  CEB   MEC  ECB ~ EMC  0   EMC  ECB  90 

b] Chứng minh EB .MC  2 a 2 .

EB BC   EB.MC  EC .BC  2a 2 EC MC c] Tính diện tích tam giác EMC theo a.

ECB ” EMC 

 EC  EC 2 4a 2 4   ECB ” EMC      2 2 2 2   S ECB 5 EC  CB 4a  a  EB  1 4 S EBC  EC .BC  a 2  S EMC  a 2 2 5

S EMC

2

Bài 5:

a] BC 

AB 2  AC 2  9cm [Pitago]

  CAB  [  90 0 ], EBM   CBA  [góc chung]  EMB ~ CAB [g.g]

b] EMB

6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

5  ME  AC  6cm ME BE MB 9 : 2 5  6      c] EMB ” CAB  5 AC BC AB 5, 4 6  BE  BC  7,5cm  6 d] ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC, BH  EC e] Chứng minh AHE ” MHC từ đó suy ra HA.HC  HM .HE .

Bài 6:

a] Ta có BD 2  AB 2  AD 2 , suy ra tam giác ABD vuông tại A [Pitago đảo] b] Ta có BC  CD 2  BD 2  3 5 [Pitago]     CBD   90, AB  AD  4  20   ABD ” BDC [c.g .c] BAD   BD BC  6

3 5 

  AB / /CD c] ABD ” BDC   ABD  BDC

Bài 7: Vẽ BH  AC  H  AC 

  AEC   900 ; BAC  Xét  ABH và  ACE có AHB chung . Suy ra ABH ” ACE[g  g]



AB AH   AB.AE  AC.AH [1]

AC AE

  Xét CBH và ACF có BCH  CAF [so le trong]   CFA   900

CHB





Suy ra CBH ” ACF[g.g] 

BC CH   BC .AF  AC .CH [2] AC

AF

Cộng vế theo vế [1] và [2] ta được:

AB.AE  BC .AF  AC .AH  AC .CH  AB.AE  AD.AF  AC AH  CH   AC 2 .

7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2 Dạng 1: Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác Vuông Suy Ra Từ Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác Bài tập 1 : Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng. Viết các cặp tam giác đồng dạng theo

thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Chứng minh rằng:
AH 2  BH .CH .

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Đường cao AH cắt BD tại I. Chứng minh rằng: 1. AB.BI  BH .DB 2. Tam giác AID cân. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, biết AB  15cm, AC  13cm và đường cao

AH  12cm . Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB và AC.

1. CMR: AHN ∽ ACH 2. Tính độ dài BC 3. Chứng minh: AM . AB  AN . AC , từ đó suy ra AMN ∽ ACB . Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD có AB  8cm, AD  6cm . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM  4cm. Đường thẳng AM cắt đường chéo BD tại I, cắt đường DC tại N IB ID

2. Chứng minh: MAB ∽ AND

1. Tính tỉ số

3. Tính độ dài DN và CN. Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, Hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Biết BQ  4cm, CP  9cm. Tính cạnh của hình vuông. Dạng 2: Trường Hợp Đồng Dạng Cạnh Huyền – Cạnh Góc Vuông

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Bài tập 1: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB, MA  6cm, MB  24cm. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C thuộc tia Ax, điểm D thuộc tia By sao cho

MC  10cm, MD  30cm. Chứng minh rằng: CMD  900 .

y
D

x
30

C

10

A 6

M

24

B

Bài tập 2: Tam giác ABH vuông tại H có AB  20cm, BH  12cm. Trên tia đối của tia HB lấy
điểm C sao cho AC 

5 AH .

3

1. Chứng minh rằng các tam giác ABH và CAH đồng dạng. . 2. Tính BAC Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC  4cm, BC  6cm. Ở phía ngoài tam giác ABC,

vẽ tam giác BCD vuông tại C có BD = 9cm. Chứng minh rằng BD / / AC .

  900 , điểm E thuộc cạnh bên AD. Tính BEC  A D Bài tập 4: Cho hình thang ABCD có  biết rằng AB  4cm, BE  5cm, DE  12cm, CE  15cm. Bài tập 5: Cho hai tam giác cân ABC và A’B’C’ [AB=AC, A’B’=A’C’], các đường cao BH và BH BC B’H’. Cho biết . Chứng minh rằng ABC ∽ A ‘ B ‘ C ‘ .  B ‘ H ‘ B ‘C ‘ HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 2 Dạng 1: các trường hợp đòng dạng của tam giác vuông suy ra từ các trường hợp đòng dạng của tam giác

Bài tập 1:

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Trên hình có 4 tam giác vuông đồng dạng với nhau từng đôi một, vì chúng có các cặp góc nhọn tương ứng bằng nhau. Đó là: ABC , NMC , HBA, HAC [Bốn tam giác trên đã được viết theo các đỉnh tương ứng]

Bài tập 2:

A

B

H

Xét tam giác vuông HBA và HAC có:   HAC   900  BAH     BAH  HCA 0  

HCA  HAC  90 

Suy ra HBA ∽ HAC
Từ đó:

BH AH   AH 2  BH .CH

AH CH

Bài tập 3:

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

C

A D I

B

C

H

  IHB   900  mà DAB 1. BD là đừng phân giác nên  ABD  HBI AB DB Suy ra ABD ∽ HBI  g  g     AB.BI  BH .DB HB IB   mà BIH   DIA  [đối đỉnh] 2. Do ABD ∽ HBI  g  g  nên B DA  BIH   Do đó: Tam giác AID cân tại A. Suy ra : B

DA  DIA

Bài tập 4:

A

N M

B

H

C

  A  chung 1. Ta có:   AHN ∽ ACH [ g  g ]  ANH  

AHC  900 

2. Xét tam giác vuông ABH có: BH  AB 2  AH 2  152  122  9  cm  Xét tam giác vuông ACH có: CH  AC 2  AH 2  132  122  5  cm  Khi đó: BC  BH  CH  9  5  14  cm  AH AN   AH 2  AC . AN 1 AC AH

Xét tam giác AMH và ABH có:

3. Do AHN ∽ ACH 

  A  chung   AMH ∽ AHB  g  g   AMH   AHB  900 

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

AM AH   AH 2  AM . AB  2  AH AB Từ [1],[2] ta có : AM .AB  AN.AC AM AN   chung Suy ra: và MAN  AC AB Nên AMN ∽ ACB [c  g  c]



Bài tập 5:

A

8

B
4

6

I

D

M

C

N

BM IB IM [Theo định lý Ta Let mở rộng]   AD ID IA BM 4 2 IB 2 Mà     AD 6 3 ID 3  MAB AND  slt   2. Ta có:   MAB ∽ AND  g  g    ABM  N DA  hbh   MB AB 4 8 6.8 3. Do MAB ∽ AND nên     ND   12  cm  AD N D 6 ND

4

1. Ta có: BM / / AD 

Mà AB  DC  8  cm  hbh  Nên CN  DN  DC  12  8  4  cm 

Bài tập 6:

Đặt MP  NQ  x. Từ BMQ ∽ NCP ta tính được x = 6 cm.
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Cạnh của hình vuông bằng 6 cm. Dạng 2: trường hợp đồng dạng cạnh huyền – cạnh góc vuông

Bài tập 1 :

y
D

x
30

C

10

A 6

M

24

B

Ta tính được BD = 18 cm.

A  B
  900

  Xét tam giác AMC và BDM: CM AM  10 6    AMC ∽ BDM  CH  CGV    vi   

MD BD  30 18  

   AMC  B DM mà B DM  BM D  900 Suy ra:     900 và BM    CMD   1800 D  AMC D  AMC Nên BM  D  900. Vậy CM

Bài tập 2:

A 20

B

12

H

C

AB 5 AC   BH 3 AH    900  AHB  CHA  Có: AB BH   ABH ∽ CAH  CH  CGV    cmt   AC AH



1. Ta có:

  ABH mà BAH ABH  900 2. Từ câu a suy ra: CAH

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

  CAH   900  BAC   900. Nên BAH

Bài tập 3:

B

9

D

6
A

C

4

ACB ∽ CBD  CH  CGV  nên:

  ACB  CB D  AC / / BD.

Bài tập 4:

A

4

E

B
5

15
12

D

C

. AEB  DCE ABE ∽ DEC [CH  CGV ] nên:    DEC   900 nên:    900 AEB  DEC Ta lại có: DCE   900. Suy ra: BEC

Bài tập 5:

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

A
A’

H

H’

B’

B

C

Do BHC ∽ B ‘ H ‘ C ‘  CH  CGV  nên:

 C ’ . Do đó: ABC ∽ A ‘ B ‘ C ‘ C

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

C’