Bài tập nâng cao khảo sát hàm số pdf
- 1. hàm số . f D R .x . y Cho D R [ D ] f :D R x y f [ x] Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi số x D với một số thực duy nhất f [ x] R ta được một hàm số , kí hiệu : y f [ x] Trong đó : x là biến số còn y là hàm số . Tập D được gọi là tập xác định của hàm số . II. Tập xác định của hàm số . Tập xác định của hàm số y f [ x] là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f[x] có nghĩa . Ví dụ : Tìm tập xác định của hàm số y x 5 . Giải Hàm số xác định x5 0 x 5 Vậy tập xác định của hàm số trên là : D [-5; ] III. Đồ thị của hàm số 8 6 4 2 M[ x; f[x] ] 15 10 O 5 5 10 15 2 4 6 8 Đồ thị của hàm số y f [ x] xác định trên tập xác định D là tập hợp tất cả các điểm M [ x; f [ x]] trên mặt phẳng tọa độ với mọi x D . 1
- 2. Cho hàm số y x 2 2 x 3 có đồ thị là [ P] và hai điểm M[ 2; 3] , N[1; 7] .Hãy cho biết trong hai điểm đã cho điểm nào nằm trên đồ thị [P]. Giải Xét M[2; 3] Ta có : y x 2 2 x 3 3 22 2.2 3 [ hiển nhiên đúng] 33 M [ P] Xét N[1;7] Ta có : y x 2 2 x 3 7 2 12 2.1 3 49 2 [ vô lý ] M [ P] IV. Sự biến thiên của hàm số 1. Hàm số đồng biến [ tăng ] , nghịch biến [ giảm] a] Hàm số đồng biến [ tăng] x , x [ a; b] Hàm số y = f[x] được gọi là đồng biến [ tăng] trên [a;b] nếu 1 2 f [ x1 ] f [ x2 ] x1 x2 b] Hàm số nghịch biến [ giảm] x , x [ a; b] Hàm số y = f[x] được gọi là nghịch biến [ giảm] trên [a;b] nếu 1 2 f [ x1 ] f [ x2 ] x1 x2 2. Chiều biến thiên Để chỉ hàm số y = f[x] tăng trên [ a; b] ta dùng mũi tên đi lên , còn hàm số giảm trên [ a; b] ta dùng mũi tên đi xuống . V. Tính chẵn , lẻ của hàm số 1. Hàm số chẵn x D x D Hàm số y = f[x] xác định trên tập D được gọi là hàm số chẵn f [ x ] f [ x ] 2. Hàm số lẻ x D x D Hàm số y = f[x] xác định trên tập D được gọi là hàm số lẻ f [ x] f [ x] Chú ý 1: Một hàm số có thể không có tính chẵn , lẻ. I. Chú ý 2 : Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Cho [G] là đồ thị của y = f[x] và p;q > 0; ta có Tịnh tiến [G] lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f[x] + q Tịnh tiến [G] xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f[x] – q Tịnh tiến [G] sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f[x+ p] Tịnh tiến [G] sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f[x – p] Các dạng bài tập Dạng 1 . Tìm tập xác định của hàm số PP : Đối với hàm số dạng y f [ x] , hàm số xác định f [ x] 0 2
- 3. hàm số xác định g [ x] 0 g [ x] Đối với các hàm đa thức , tập xác định D = R Ví dụ 1 : Tìm tập xác định của hàm số y 2 x 1 Giải Hàm số đã cho xác định 2 x 1 0 2x 1 1 x 2 1 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D [ ; ] 2 x 1 Ví dụ 2 : Tìm tập xác định của hàm số y x2 Giải Hàm số đã cho xác định x 2 0 x2 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D R {2} Bài tập Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau : 5x 1 1] y 3x 1 15] y 2 x 9 x 14 2] y 2 x 3 x2 x 1 3] y 7 x 20 16] y 7 x2 7 4 2 4] y x 1 17] y 3 4x x2 5 18] y x 2 x 5 5] y 3x 2 19] y 3 x x 3 6 6] y 20] y 1 x 1 x x 1 21] y 7 x 1 x x 7] y 22] y x 1 3 x 3 2 x 6 2x 3 1 1 8] y 23] y 3x 2 3 x 3 4x 2 2x 1 24] y x 5 4 5 x 9] y x 25] y 4 x 3 7 3 10] y 12 26] y 5 7 4 x x 2 4x 27] y 4 x 1 2 x 1 x2 2 11] y 3 x4 28] y x 1 2x 3 5x 8 12] y 2 5x 7 x 3x 2 29] y 1 x3 13] y 2 3x x 2 x 1 30] y 2 2 x x 6x 7 14] y 2 x 9 1 31] y 4 x 2 x 3 Đối với hàm số dạng y
- 4. 3 x 8 x 7 50] y x 3 2 x x2 x 34] y x 1 x2 x 1 4 x 35] y [ x 2][ x 3] 3x 4 [ x 2] x 4 33] y 51] y= 52] y = x 1 x2 x2 2 37] y [ x 2]. x 1 39] y 40] y= 41] y = 42] y 55] y = 56] y = x2 6x 8 57] y = 45] y = 1 x 4x 3 2 2 60] y = 1 1 x x + 1 x 2x 61] y = x 8 2 x 7 + 1 x 1 x x 2x 1 4 2 x 62] y = x 2x 1 1 x 63] y = x2 6x 8 9 x2 x2 4 + x 2 3x 2 [3x 4][3 x ] 59] y = 64] y = 1 x 4x 3 47] y= 2 x 4 + 6 x x 1 48] y 2 x 1 2x 1 49] y 2 2x x 1 46] y= [2 x 1][x 2] [ x 2] x 1 x 1 58] y = 2 - 3 3x 5 | x 2 | 1 9 x2 43] y x 4 3 2 x 5x 6 x x 4 44] y x2 4 x 5 54] y = x [ x 1][ x 2] x2 4 + 1 1 x 53] y x2 4 . 36] y 38] y x 8 2 x 7 + 4 x4 3x 2 x x2 x x 1 x 2 2x 3 2 5x x 2 3 2x x 1 2 Bài 2: Cho hàm số y = bằng 2 đơn vị. 65] y= 2x 1 xx 4 5 x 2x 3 . Định a để tập xác định của hàm số là đoạn thẳng có độ dài 4
- 5. 1 , x 0 Bài 3:Cho hàm số f [ x ] 3 x 1 , 1 x 0 x 1 a] Tìm tập xác định của hàm số y=f[x]. b] Tính f[0], f[2],f[-3],f[-1]. Bài 4: Cho hàm số f [ x ] x 2 x 1 i. Tìm tập xác định của hàm số. ii. Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của f[4], f [ 2], f [ ] chính xác đến hàng phần trăm. Bài 5: Tìm điều kiện của m để hàm số sau xác định trên [0;1] x a] y x m 2 b] y x m 2 x m 1 x 2m 1 Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của một hàm số PP: Dựa vào khái niệm tính chẵn , lẻ. x D x D Hàm số y = f[x] xác định trên tập D được gọi là hàm số chẵn f [ x] f [ x] x D x D Hàm số y = f[x] xác định trên tập D được gọi là hàm số lẻ f [ x ] f [ x ] Ví dụ 1 : Xét tính chẵn , lẻ của hàm số y 3x 2 2 Giải : Ta có : tập xác định D = R nên x D x D Xét : f [ x] 3[ x] 2 2 3 x 2 2 f [ x] Hàm số đã cho là hàm số chẵn . Ví dụ 2 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y x 2 x 1 Giải : Ta có : tập xác định D = R nên x D x D Xét : f [ x] [ x] 2 [ x] 1 x 2 x 1 f [ x] f [ x ] Do Hàm số đã cho không có tính chẵn , lẻ. f [ x] f [ x ] Bài tập Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau : 1] y x3 3 x 8] y x 2 x 2 2 2] y x 2 9] y 2 x 1 2 x 1 3 3] y 2 x x 10] y 2 x 3 x 4] y 3x 2 x 2 x4 x 2 1 11] y x x 5] y 2 3 2x 3 x 7 12] y 3 6] y x x x x 7] y x 4 3 x 2 1 13] y x x 5
- 6. 1 x 1 x 18] y [2 x 1][2 x 1] 15] y 1 x 1 x x2 x2 16] y = x 1 x 1 x2 19] y 0 x2 ; x 1 ; 1 x 1 ;x 1 2 17] y x[ x 2] Dạng 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số. Phương pháp : Tìm tập xác định D của hàm số. Giả sử x1 , x2 D [ x1 x2 ] f [ x2 ] f [ x1 ] Lập tỉ số x2 x1 f [ x2 ] f [ x1 ] Nếu 0 thì hàm số đã cho đồng biến [ tăng]. x2 x1 f [ x2 ] f [ x1 ] Nếu 0 thì hàm số đã cho nghịch biến [giảm]. x2 x1 Ví duï : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y f [ x ] x 1 2 x3 GIAÛI. Tập xác định: D R 3 . Giả sử x1 , x2 D [ x1 x2 ] f [ x2 ] f [ x1 ] 2 1 x2 x1 [ x2 3].[ x1 3] x1 3 0 f [ x2 ] f [ x1 ] Ta có :Với x1, x2 ;3 0 x2 3 0 x2 x1 x1 3 0 f [ x2 ] f [ x1 ] Với x1, x2 3; 0 x2 x1 x2 3 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trong ;3 3; . Xét tỉ số Bài tập f [ x2 ] f [ x1 ] Bài 1. . Bằng cách xét tỉ số , hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau [không yêu cầu x2 x1 lập bảng biến thiên của nó] trên các khỏang đã cho: a. y 3 x 5 d. y x 3 3 x 2 trn R b. y x 2 4 x 3 trên khoảng [; 2] x e. y trên [; 1] và [1; ] 2x 1 x 1 c. y trn khoảng [1; ] x 1 Bài 2. Giả sử f[x] là hàm số nghịch biến trên khoảng [a;b]. Cmr: a. Hàm số y f [ x] C [C là hằng số] nghịch biến trên khoảng [a;b]. b. Hàm số y 2004 f [ x] đồng biến trên khoảng [a;b]. 6
- 7. 3 khi 3 x 1 Bài 3.Cho hàm số f [ x] 4 x 2 khi 1 x 0 2 2 x 1 khi 0 x 3 a. Tìm tập xác định của hàm số. Tính f [1], f [ 3] . b. Trên các khoảng sau đây hàm số đồng biến hay nghịch biến [3; 2],[ 1;0] ? khi x 2 3 x 4 Bài 4. Cho hàm số f [ x] 2 x 4 khi x 2 a. Tìm tập xác định của hàm số. b. Tính các giá trị f [5], f [ 5], f [0] . c. Tìm x sao cho f [ x] 5 Dạng 4. Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ 2 Bài 1: Giả sử hàm số y có đồ thị là [H] x a. Nếu tịnh tiến [H] xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? b. Nếu tịnh tiến [H] sang phải 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? c. Nếu tịnh tiến [H] lên trên 1 đơn vị, rồi sang trái 4 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? Bi 2. Cho [P] là đồ thị của hàm số y 3 x 2 . a. Nếu tịnh tiến [P] sang phải 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? b. Nếu tịnh tiến [P] xuống dưới 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? c. Nếu tịnh tiến [P] sang tri 1 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được lên trên 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? Bài 3. Cho [H] là đồ thị hàm số y = 3x a. Khi tịnh tiến [H] sang phải 4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ? b. Khi tịnh tiến [H] lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ? c. Khi tịnh tiến [H] sang trái 3 đơn vị, rồi tịnh tiến lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ? 2 Bi 4. Cho hàm số y x 2 có đồ thị là parabol[P]. Phải tịnh tiến [P] như thế nào để được đồ thị của 3 hàm số : a] y 2 x 2 7 b] y 2 x 2 5 c] y 2[ x 3] 2 d ] y 2[ x 4] 2 e] y 2[ x 2] 2 5 f ] y 2x2 6x 1 Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f : R R biết : x 2 f [ x] f [1 x] 2 x x 4 , x R 3x 2 Bài 6. Tìm hàm số f [ x] biết : f [ ] x 2, x 1 x 1 3x 2 Bài 7. Tìm hàm số f [ x] biết f [ x 1] , x 4 x4 x 3 3x 4 Bài 8. Tìm hàm số f [ x] biết: f [ ] 2 , x 2 x2 x 5 x Bài 9. Tìm hàm số f [ x] biết: 4 f [ x] [ x 1] f [ ] 15, x 1 x 1 Bài 10. Tìm hàm số f [ x] biết: 2 f [ x] 5 x. f [ x] 4 x 3, x HÀM Số BậC NHấT Tóm tắt lý thuyết 7
- 8. dạng y ax b , a;b R và a≠ 0. Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R a > 0 hàm số đồng biến trên R a < 0 hàm số nghịch biến trên R 2. Bảng biến thiên : a>0 x y = ax + b - a0 a