Bài giảng toán cao cấp 1 giới hạn

Công thức cộng Công thức nhân đôi, nhân ba cos [a b] = cos a cos b + sin a sin b sin 2a = 2 sin a cos a

cos [a + b] = cos a cos b sin a sin b cos 2a = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a sin [a b] = sin a cos b cos a sin b tan 2a = 1 2 tantan 2 a a

sin [a + b] = sin a cos b + cos a sin b sin 3a = 3 sin a 4 sin 3 a

tan [a b] =

tan atan b 1+tan a tan b cos 3a = 4 cos

3 a 3 cos a

tan [a + b] = 1 tantan a+tan a tan b b tan 3a = 3 tan atan

3 a 1 3 tan 2 a

Công thức hạ bậc Công thức chuyển đổi sin a; cos a qua t = tan a 2

cos 2 a = 1+cos 2 2 a cos a = 1 t

2 1+t 2 sin

2 a =

1 cos 2a 2 sin a =

2 t 1+t 2 sin 3 a = 3 sin a 4 sin 3a

cos 3 a =

3 cos a+cos 3a 4

5 Giới hạn

1. U = [x 0 r; x 0 + r]; r > 0 :

 L = lim x!x 0

f [x] , [ 8 " > 0 ; 9  > 0 ; 8 x 2 U; 0 < jx x 0 j <  ] jf [x] Lj < "] :

 L = lim x!x 0

f [x] , [ 8 xn 2 U; xn 6 = x 0 ; xn! x 0 ] f [xn]! L] :

 L = lim x!+ 1

f [x] , [ 8 " > 0 ; 9 M > 0 ; 8 x 2 [a; + 1 ]; x > M ] jf [x] Lj < "] :

 L = lim x!

f [x] , [ 8 " > 0 ; 9 M > 0 ; 8 x 2 [1; a]; x < M ] jf [x] Lj < "] :

 lim x!x 0

f [x] = +1 , [ 8 A > 0 ; 9  > 0 ; 8 x 2 U; 0 < jx x 0 j <  ] f [x] > A] :

 lim x!x 0

f [x] = 1 , [ 8 A > 0 ; 9  > 0 ; 8 x 2 U; 0 < jx x 0 j <  ] f [x] < A]

Theorem 1 1/ Nếu hàm số f có giới hạn khi x! x 0 [hoặc 1] thì giới

hạn đó là duy nhất.

2/ Nếu 9 lim x!x 0

f [x] = L 2 R ] 9một lân cận U của điểm x 0 và một số

dương M sao cho

jf [x]j  M; 8 x 2 U; x 6 = x 0 :

3/ Nếu lim x!x 0

f [x] = L 1 ; lim x!x 0

g[x] = L 2 thì

lim x!x 0

[f [x]  g[x]] = L 1  L 2

lim x!x 0

[f [x]g[x]] = L 1 L 2

Hệ quả lim x!x 0

[ f [x]] = L 1

lim x!x 0

f [x]

g[x] =

 L = lim x!x 0

f [x] , [ 8 " > 0 ; 9  > 0 : 8 x 2 U; 0 < x 0 x <  ] jf [x] Lj < "] :

Theorem 5 9 lim x!x 0

f [x] = L , 9 lim x!x 0

f [x]; lim x!x+ 0

lim f [x] và lim x!x 0

f [x] = lim x!x+ 0

lim f [x] = L

7 Vô cùng bé [VCB] và Vô cùng lớn [VCL]

Definition 6 1/ Hàm số [x] VCB khi x! x 0 ,

lim x!x 0

[x] = 0

2/ Hàm số f [x] VCL khi x! x 0 ,

lim x!x 0

jf [x]j = + 1

Example 7 a/ Khi x! 0 ; các hàm số x 2 và sin 2x đều là các VCB.

b/ Khi x! 0 ; các hàm số

x

và cot x đều là các VCL.

Example 8 a/ Khi x! 0 ; x 2 và 1 cos x là hai VCB cùng cấp vì

lim x! 0

1 cos x

x 2

\= lim x! 0

2 sin 2 x 2

x 2

2 lim x! 0

sin x 2

x 2

2 lim x! 0

sin x 2 x 2

b/ Khi x! 0 ; x 3 là VCB cấp cao hơn 2 sin x; vì lim x! 0

x 3

2 sin x

\= lim x! 0

x 2

2 sin x x

c/ Khi x! 1 ; [x 1] 2 và tan 2 [x 1] là hai VCB tương đương vì

lim x! 1

[x 1] 2

tan 2 [x 1] = lim x! 1

[x 1] 2 sin 2 [x1] cos 2 [x1]

t=x 1! 0 ==== lim t! 0

cos

2 t

t 2

sin 2 t

\= lim t! 0

cos

2 t

sin t t

8 Đạo hàm

Definition 9 1/ Đạo hàm của f tại x 0 :

f

0 [x 0 ] = lim
x! 0

f [x 0 +
x] f [x 0 ]

x

\= lim x!x 0

f [x] f [x 0 ]

x x 0

2/ Nếu hàm số f có đạo hàm tại mọi điểm x 2 [a; b] thì ta nói nó có

đạo hàm trên khoảng [a; b]: Ký hiêu:

y 0 [x] = f 0 [x] =

dy

dx

df [x]

dx

Definition 10 1/ Giả sử hàm số f xác định trong nửa khoảng [a; x 0 ]: Nếu

tồn tại giới hạn

f 0 [x

0 ] = lim
x! 0

f [x 0 +
x] f [x 0 ]

x

thì ta nói hàm số f có đạo hàm bên trái tại điểm x 0 : 2/ Giả sử hàm số f xác định trong nửa khoảng [x 0 ; b]: Nếu tồn tại giới

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa và các phép tính trên hàm số; giới hạn hàm một biến và các tính chất, phép tính về giới hạn; sự liên tục của hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Vi bao là phương pháp hiệu quả giúp bảo quản các chất sinh học. Thông qua cơ chế bao gói của các polymer có nguồn gốc từ protein, polysaccharide, các hợp chất tự nhiên [polyphenol, carotenoid, …] cũng như vi sinh vật có lợi [nấm men, probiotic] giúp bảo vệ trong các điều kiện bất lợi của môi trường. Ứng dụng các hạt vi bao trong chế biến thực phẩm giúp sản phẩm kéo dài thời gian sử dụng, nâng cao khả năng kháng oxy hóa và cải thiện khả năng sống sót của probiotic.

Trong phần này, nhóm tác giả trình bày cụ thể và chi tiết hơn về FDI tại Việt Nam sau hơn ba thập kỷ dựa trên các tiêu chí bao gồm những sự kiện nổi bật, thực trạng và triển vọng.

TÓM TẮT: Rút gọn thuộc tính là bài toán quan trọng trong bước tiền xử lý dữ liệu của quá trình khai phá dữ liệu và khám phá tri thức. Trong mấy năm gần đây, các nhà nghiên cứu đề xuất các phương pháp rút gọn thuộc tính trực tiếp trên bảng quyết định gốc theo tiếp cận tập thô mờ [Fuzzy Rough Set FRS] nhằm nâng cao độ chính xác mô hình phân lớp. Tuy nhiên, số lượng thuộc tính thu được theo tiếp cận FRS chưa tối ưu do ràng buộc giữa các đối tượng trong bảng quyết định chưa được xem xét đầy đủ. Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất phương pháp rút gọn thuộc tính trực tiếp trên bảng quyết định gốc theo tiếp cận tập thô mờ trực cảm [Intuitionistic Fuzzy Rough Set IFRS] dựa trên các đề xuất mới về hàm thành viên và không thành viên. Kết quả thử nghiệm trên các bộ dữ liệu mẫu cho thấy, số lượng thuộc tính của tập rút gọn theo phương pháp đề xuất giảm đáng kể so với các phương pháp FRS và một số phương pháp IFRS khác.

Malpera “Amida Kurd” [Swêd] bi Ezîz ê Cewo Mamoyan ra. Yên êzdî û êzdîtî. Li ser rêya hevhatin û yekîtîyê. Gotûbêj. Weşanên “Amida Kurd”, s. 2022. Ev berevoka gotûbêjên malpera “Amida Kurd” bi lêgerîner, nivîskar û rojnamegerê kurd Ezîz ê Cewo ra li ser mijara wan pirsgirêkan e, yên ku li ser rêya hevhatin û yekîtîya civaka netewî-ayînî ya kurdên êzdî dibin asteng. Mamosta Ezîz ê Cewo di nava goveka van gotûbêjan da bingehên wan pêvajoyên dîrokî ravedike, yên ku bûne sedemên bûyerên bobelatî û rojên reş û giran di jîyana êzdîyan da. Wisa jî pêvajoyên îroyîn û rê û rêbazên lêgerandin û berterefkirina wan pirsgirêkan tên govtûgokirin, ên ku hê jî di nava jîyana êzdîyan da rû didin… Ev weşana ji bo govekek a berfireh a xwendevanan hatye armanckirin.

Cốt liệu cao su được nhận định sẽ giúp tăng khả năng kháng nứt do co ngót của vật liệu xi măng. Tuy nhiên hiện không nhiều các nghiên cứu sử dụng cốt liệu phế thải này trong lớp móng cấp phối đá dăm [CPĐD] gia cố xi măng [GCXM]. Nghiên cứu này sử dụng cốt liệu cao su cỡ hạt 1÷3 mm thêm vào CPĐD Dmax25 gia cố 4% xi măng với tỉ lệ 1%, 2% và 5% khối lượng cốt liệu khô. Các loại CPĐD-cao su GCXM này được thí nghiệm đánh giá các chỉ tiêu cường độ và đặc biệt triển khai thi công thí điểm 2 loại CPĐD GCXM sử dụng 0% và 2% cao su. Kết quả cho thấy CPĐD GCXM trộn thêm 1% và 2% cao su đạt cường độ yêu cầu làm lớp móng trên. Ngoài ra, đã quan sát được 2 vết nứt rộng khoảng 1 mm xuất hiện ở ngày thứ 30 trên lớp móng GCXM không trộn thêm cốt liệu cao su trên toàn bộ bề rộng lớp móng [3,25 m], trong khi đó CPĐD GCXM thêm 2% cao su không xuất hiện vết nứt. Điều này chứng tỏ cốt liệu cao giúp CPĐD GCXM giảm co ngót và hạn chế nứt do co ngót. Nghiên cứu góp phần thúc đẩy sử dụng cốt liệu cao su được...