Chú ý. Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'[1] = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 - 2x2 + 3. Điểm M[0; 3] là:
- Cực đại của hàm số
- Điểm cực đại của hàm số
- Điểm cực đại của đồ thị hàm số
- Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Lời giải:
Ta có: y' = 3x2 -4x; y'' = 6x - 4;
y''[0] = -4 < 0
Do đó, điểm M[0;3] là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Chọn đáp án C.
Chú ý. Phân biệt các khái niệm: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài 3: Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin2x + 3cosx + 1 với x ∈ [0; π]
- x = 0
- x = π
- π6
D.π3
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án C.
Bài 4: Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các phát biểu sau?
1. Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
2. Hàm số không liên tục tại x = 0.
3. Hàm số không có cực trị tại x = 0.
4. Hàm số đạt cực trị tại x = 0.
- 0
- 1
- 2
- 3.
Lời giải:
Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ.
Từ đồ thị trong hình ta có hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0
Do đó mệnh đề 1 và 4 đúng.
Chọn đáp án C
Bài 5: Cho hàm số y = -3x4 - 2x3 + 3
Hàm số có
- Một cực đại và hai cực tiểu
- Một cực tiểu và hai cực đại
- Một cực đại và không có cực tiểu
- Một cực tiểu và một cực đại.
Lời giải:
Ta có y' = -12x3 - 4x
Xét y'=0 => x = 0
Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0.
Chọn đáp án C.
Bài 6: Cho hàm số y = x4 - 2[m - 1]x2 + m2. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông
- m = 0
B.m= 1
- m= -1
- m = 2
Lời giải:
Bài 7: Cho hàm số f có đạo hàm là f'[x] = x[x+1]2[x-2]4 với mọi x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số f là:
- 0
- 1
- 2
D.3
Lời giải:
Ta có
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Vậy hàm số có một cực trị
Bài 8: Điểm cực đại của hàm số y = -x3 - 3x2 + 1 là:
- x = 0
- x = -2
- x = 2
- Không tồn tại
Lời giải:
Ta có y' = -3x2 - 6x, y'' = -6x - 6 .
Xét
y''[0] = -6 < 0; y''[-2] = 6 > 0
Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0
Bài 9: Điểm cực tiểu của hàm số y = x4 + 4x2 + 2 là:
- x = 1
- x = 2
- x = 0
- Không tồn tại
Lời giải:
Ta có: y' = 4x3 + 8x, y'' = 12x2 + 8. y' = 0 4x[x2 + 2] = 0 x = 0
y''[0] = 2 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Bài 10: Cho hàm số y = x3 - 2x2 - 1 [1] và các mệnh đề
[1] Điểm cực trị của hàm số [1] là x = 0 hoặc x = 43
[2] Điểm cực trị của hàm số [1] là x = 0 và x = 43
[3] Điểm cực trị của đồ thị hàm số [1] là x = 0 và x = 43
[4] Cực trị của hàm số [1] là x = 0 và x = 43
Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:
A.0
B.1
C.2
D.3
Lời giải:
Ta có: y' = 3x2 - 4x, y'' = 6x - 4;
y''[0] = -4 < 0; y''[43] = 4 > 0. Do đó hàm số có hai cực trị là x = 0 và x = 43
Các mệnh đề [1]; [2] và [3] sai; mệnh đề [4] đúng.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
Lời giải: M [0;2]
Bài 2: Cho hàm số y = f[x] xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- Hàm số có đúng hai cực trị
- Hàm số có điểm cực tiểu là -2
- Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1
Lời giải:
Dựa vào định nghĩa cực trị và bảng biến thiên.
Chọn đáp án D.
Bài 3: Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c có giá trị bằng 0 khi x = 1 và đạt cực trị khi bằng 0 khi x = -1 .
Lời giải:
Sử dụng giả thiết và điều kiện cần của cực trị ta có
y[1] = 0; y'[-1] = 0; y[-1] = 0
Trong đó , y' = 3x2 + 2ax + b
Từ đó suy ra:
Với a = 1; b = -1; c = -1 thì hàm số đã cho trở thành y = x3 + x2 - x - 1
Ta có y' = 3x2 + 2x - 1, y'' = 6x + 2. Vì y''=[-1] = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1 . Vậy a = 1; b = -1; c = -1 là các giá trị cần tìm.
Bài 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu f'[x0] = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.
- Nếu f'[x0] = 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu f'[x0] = 0 và f''[x0] > 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu f[x] có đạo hàm tại x0 và f’[x] đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.
Lời giải:
Xem lại điều kiện cần và đủ để có cực trị của hàm số.
Bài 5: Giá trị của m để hàm số y = x3 - 3mx2 + [m2 - 1]x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là:
Lời giải:
y' = 3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi
Bài 6: Với giá trị nào của m, hàm số y = [x - m]3 - 3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0?
Lời giải:
Xét y = x3 - 3mx2 + [3m2 - 3]x - m2
Ta có: y' = 32 - 6mx + 3m2 - 3, y'' = 6x - 6m
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 khi
Bài 7: Với giá trị nào của m, hàm số y = x3 + 2[m - 1]x2 + [m2 - 4m + 1]x + 2[m2 + 1] có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn
Lời giải:
Ta có y' = 3x2 + 4[m - 1]x + m2 - 4m + 1. Hàm số có hai cực trị
\=> y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Δ' > 0 4[m - 1]2 - 3[m2 - 4m + 1] > 0
m2 + 4m + 1 > 0
Áp dụng Vi-ét cho phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ta có :
Đối chiếu điều kiện [*] có m = 5 hoặc m = 1
Bài 8: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + 3[m2 - 1]x - m 3 + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O là gốc tọa độ?
Lời giải:
Ta có y' = 3x2 - 6mx + 3[m2 - 1].
Hàm số có hai cực trị => y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Δ' > 0 [3m]2 - 3.3[m2 - 1] > 0 9 > 0 đúng với mọi m. Ta có điểm cực đại là B[m - 1; -2m + 2] và cực tiểu là C[m + 1; -2m - 2]
Bài 9: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + m có hai điểm cực trị B, C thẳng hàng với điểm A[-1;3]?
Lời giải:
y’= 3x2 - 6mx = 3x[x - 2m]
Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt m ≠ 0 [*]
Tọa độ hai điểm cực trị là B[0;m] và C[2m;-4m3 + m]
AB→ =[1;m – 3]; AC→ =[2m+1; -4m3 + m-3]
A, B, C thẳng hàng
Bài 10: Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 6x + 8 [C]. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số [C] là:
Lời giải:
Cách 1: Ta có y’=3x2-6x-6 ; y”=6x - 6
Do đó đồ thị hàm số có điểm cực trị là A[1 + 3; -63] và B[1 - 3; 63]
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
Cách 2: Ta có:
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình y’[x]= 3x2-6x-6=0 . Khi đó ta có A[x1, y[x1]], BA[x2, y[x2]] là hai cực trị của đồ thị hàm số C với y'[x1] = y'[x2] = 0
Do đó ta có:
Vậy A, B thuộc đường thẳng y= - 6x+6.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Dựa vào đồ thị [H.7, H.8], hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất [nhỏ nhất]:
- y = -x2 + 1 trong khoảng [-∞; +∞];
- y = x3[x+ 3]2 trong các khoảng [12; 32] và [32; 4].
Bài 2 Giả sử f[x] đạt cực đại tại xo. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số
- Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.
• y = -2x + 1;
• y = x3[x-3]2 [H.8].
- Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
Bài 3 Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?
Bài 4 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f[x] = x[x2 – 3].
Bài 5 Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
- y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10
- y = x4 + 2x2 - 3;
- y = x + 1x
- y = x3[1 - x]2;
Bài 6 Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
- y = x4 - 2x2 + 1 ;
- y = sin2x – x
- y = sinx + cosx ;
- y = x5 - x3 - 2x + 1
Bài 7 Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau
- y=2x3+3x2−36x−10.
- y=x4+2x2−3.
- y=x+1x.
- y=x3[1−x2].
- y=x2−x+1
Bài 8 Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau
- y=x4−2x2+1;
- y=sin2x−x;
- y=sinx+cosx;
- y=x5−x3−2x+1.
Bài 9 Chứng minh rằng hàm số y =x không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Bài 10 Giá trị của m để hàm số y = x3 - 3mx2 + [m2 - 1]x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là?
- Lý thuyết Cực trị của hàm số
- Khái niệm cực đại, cực tiểu.
- Định nghĩa.
Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên khoảng [a; b] [có thể a là -∞; b là +∞] và điểm x0∈[a; b].
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x] < f[x0] với mọi x[x0 – h; x0 + h] và x≠x0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực đại tại x0.
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x] > f[x0] với mọi x∈[x0 – h; x0 + h] và x≠x0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực tiểu tại x0.
- Chú ý:
1. Nếu hàm số f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số; f[x0] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số.
Kí hiệu là fCĐ [fCT] còn điểm M[x0; f[x0]] được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn gọi là cực đại [cực tiểu] và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a; b] và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’[x0] = 0.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
- Định lí 1
Giả sử hàm số y = f[x] liên tục trên khoảng K = [x0 – h; x0 + h] và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}; với h > 0.
- Nếu f’[x] > 0 trên khoảng [x0 – h; x0] và f’[x] < 0 trên khoảng [x0; x0 + h] thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f[x].
- Nếu f’[x] < 0 trên khoảng [x0 – h; x0] và f’[x] > 0 trên khoảng [x0; x0 + h] thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f[x].
Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = – 2x3 + 3x2.
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 6x2 + 6x
Và y’ = 0⇔x=0x =1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số và x = 1 là điểm cực đại của hàm số.
Ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số y=2−x2x+ 2
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ −1
Ta có: y' = −6[2x+2]2