Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với \[\alpha ,a,b\]là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\], trong đó
\[\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
LG a
Cho hai điểm \[M\left[ {{x_1};{y_1}} \right],\,N\left[ {{x_2};{y_2}} \right]\] và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'
Lời giải chi tiết:
M’ có tọa độ \[{[x_1},{\rm{ }}y{_1}]\] với \[\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
N’ có tọa độ \[{[x_2},{\rm{ }}y{_2}]\] với \[\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
Qua phép tịnh tiến T theo vecto đường thẳng d biến thành đường thẳng d’. Trong trường hợp nào thì : d trùng d’ ? d song song với d’ ? d cắt d’ ?
Giải
Nếu \[\overrightarrow u \] là vecto chỉ phương của d thì d trùng với d’
Nếu \[\overrightarrow u \] không là vecto chỉ phương của d thì d // d’
d không bao giờ cắt d’
Câu 2 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường thẳng song song a và a’. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a’.
Giải
Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a’, phép tịnh tiến theo vecto \[\overrightarrow {AA'} \] biến a thành a’. Đó là tất cả những phép tịnh tiến cần tìm
Câu 3 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai phép tịnh tiến \[{T_{\overrightarrow u }}\,\text{ và }\,{T_{\overrightarrow v }}\].Với điểm M bất kì, \[{T_{\overrightarrow u }}\] biến M thành điểm M’,\[{T_{\overrightarrow v }}\] biến M’ thành điểm M”. Chứng tỏ rằng phép tịnh tiến biến M thành M” là một phép tịnh tiến.
Giải
Ta có :
\[\eqalign{ & {T_{\overrightarrow u }}:M \to M' \cr & {T_{\overrightarrow v }}:M' \to M \cr} \]
Suy ra :\[\overrightarrow {MM'} = u,\overrightarrow {M'M} = \overrightarrow v \]
Do đó : \[\overrightarrow {MM} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'M} = \overrightarrow u + \overrightarrow v \]
Câu 4 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn [O] và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn [O]. Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho \[\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} .\]
Giải
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} \] nên phép tịnh tiến T theo vecto \[\overrightarrow {AB} \] biến M thành M’. Nếu gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức \[\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {AB} \] thì quỹ tích M’ là đường tròn tâm O’ có bán kính bằng bán kính đường tròn [O].
Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với \[\alpha ,a,b\]là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\], trong đó
\[\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
- Cho hai điểm \[M\left[ {{x_1};{y_1}} \right],\,N\left[ {{x_2};{y_2}} \right]\] và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'
- Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'
- Phép F có phải là phép dời hình hay không ?
- Khi \[\alpha = 0\], chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến
Giải
- M’ có tọa độ \[{[x_1},{\rm{ }}y{_1}]\] với \[\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
N’ có tọa độ \[{[x_2},{\rm{ }}y{_2}]\] với \[\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
- Ta có \[d=MN=\sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
\[\eqalign{ & d' = M'N' = \sqrt {{{\left[ {x{'_1} - x{'_2}} \right]}^2} + {{\left[ {y{'_1} - y{'_2}} \right]}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]\cos \alpha - \left[ {{y_1} - {y_2}} \right]\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]\sin \alpha + \left[ {{y_1} - {y_2}} \right]\cos \alpha } \right]}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}{{\cos }^2}\alpha + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}{{\cos }^2}\alpha } \cr & = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \cr} \]
- Từ câu b suy ra \[MN=M'N'\] do đó \[F\] là phép dời hình.
\[Khi\,\,\alpha = 0,\,\,\text{ ta có }\,\,\left\{ \matrix{ x' = x + a \hfill \cr y' = y + b \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[F\] là phép tịnh tiến vectơ \[\overrightarrow u \left[ {a;b} \right].\]
Câu 6 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các phép biến hình sau đây:
- Phép biến hình \[{F_1}\] biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {y; - x} \right]\]
- Phép biến hình \[{F_2}\] biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {2x;y} \right]\]
Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?
Giải
Lấy hai điểm bất kì \[M = [{x_1};{\rm{ }}{y_1}]\] và \[N[{x_2};{y_2}]\] khi đó
\[MN = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
Ảnh của M, N qua F1 lần lượt là \[M' = [{y_1}; - {x_1}]\] và \[N' = [{y_2}; - {x_2}]\]
Như vậy ta có: \[M'N' = \sqrt {4{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]