Bài 42 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn [O] sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn [O].
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán
Ta có: AB ⊥ OB ⇒ ∠[ABO] = 90o
AC ⊥ OC ⇒ ∠[ACO] = 90o
Tam giác ABO có ∠[ABO] = 90o nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có ∠[ACO] = 90o nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.
Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn [O].
* Cách dựng
- Dựng I là trung điểm của OA
- Dựng đường tròn [I; IO] cắt đường tròn [O] tại B và C
- Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng
* Chứng minh
Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn [I] có OA là đường kính nên: ∠[ABO] = 90o
Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn [O]
Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn [I] có OA là đường kính nên: ∠[ACO] = 90o
Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn [O]
* Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn [O].
Bài 43 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn [O] đi qua A và B nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
Lời giải:
* Phân tích
- Giả sử dựng được đường tròn [O] qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn [O] phải tiếp xúc với d tại A
- Đường tròn [O] đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB
- Đường tròn [O] tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A
* Cách dựng
- Dựng đường thẳng trung trực của AB
- Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O
- Dựng đường tròn [O; OA] ta được đường tròn cần dựng
* Chứng minh
Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn [O; OA] đi qua hai điểm A và B
Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của [O]
Vậy [O] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 44 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn [B; BA] và đường tròn [C; CA], chúng cắt nhau tại điểm D [khác A]. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn [B].
Lời giải:
Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có:
BA = BD [bán kính của [B; BA]]
CA = CD [bán kính của [C; CA]]
BC chung
Suy ra: ΔABC = ΔDBC [c.c.c]
Suy ra: CD ⊥ BD tại D
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn [B; BA]
Bài 45 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn [O] có đường kính AH. Chứng minh rằng:
- Điểm E nằm trên đường tròn [O].
- DE là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Lời giải:
- Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên :
EO = OA = OH = AH/2 [tính chất tam giác vuông]
Vậy điểm E nằm trên đường tròn [O ; AH/2 ]
- Ta có : OH = OE
Suy ra tam giác OHE cân tại O
Trong tam giác BDH ta có:
Từ [1], [2] và [3] suy ra:
Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
ED = DB = BC/2 [tính chất tam giác vuông]
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Bài 46 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên Oy.
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
- Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A
- Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A
* Cách dựng
- Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I
- Dựng đường tròn [I; IA]
* Chứng minh
Ta có: I thuộc Oy; OA ⊥ IA tại A
Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn [I; IA] hay [I; IA] tiếp xúc với Ox.
* Biện luận
Vì góc [xOy] là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.
Bài 47 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn [O] và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn [O] sao cho tiếp tuyến đó song song với d