Tuyensinh247.com gửi đến các thí sinh toàn bộ các công thức toán học lớp 12 giúp các em có thể giải quyết các bài toán từ cơ bản đến khó và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
PHẦN I: ĐẠI SỐ
1. Tam thức bậc 2 2. Bất đẳng thức Cauchy 3. Cấp số cộng 4. Cấp số nhân 5. Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối 6. Phương trình, bất phương trình chứa căn 7. Phương trình, bất phương trình logarit 8. Phương trình, bất phương trình mũ 9. Lũy thừa 10. Logarit
Phần II. LƯỢNG GIÁC Bao gồm 3 chuyên đề lớn 1. Công thức lượng giác 2. Phương trình lượng giác 3. Hệ thức lượng trong tam giác
Phần III. ĐẠO HÀM – TÍCH PHÂN – HÌNH HỌC – NHỊ THỨC NEWTON
1. Đạo hàm 2. Bảng các nguyên hàm 3. Diện tích hình phẳng – Thể tích vật thể tròn xoay 4. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 5. Phương pháp tọa độ trong không gian 6. Nhị thức Newton
Chúc các em học tập tốt!
Tuyensinh247.com
Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán lớp 12, VietJack biên soạn tài liệu trọn bộ công thức Toán lớp 12 Học kì 1, Học kì 2 Giải tích và Hình học đầy đủ công thức quan trọng, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 12.
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Phương pháp tính cực trị của hàm số
- Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số
- Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số
- Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị
- Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit
- Công thức lũy thừa
- Công thức logarit
- Công thức tính lãi suất ngân hàng
- Công thức giải phương trình mũ
- Công thức giải bất phương trình mũ
- Công thức giải phương trình lôgarit
- Công thức giải bất phương trình lôgarit
- Công thức tính trả góp vay vốn
Chương 1: Khối đa diện
- Công thức tính thể tích khối chóp
- Công thức tính thể tích khối lăng trụ
- Công thức về tỉ số thể tích khối đa diện
Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
- Công thức tính bán kính của hình nón
- Công thức tính đường sinh của hình nón
- Công thức tính diện tích hình nón
- Công thức tính thể tích khối nón
- Công thức tính bán kính hình trụ
- Công thức tính chiều cao hình trụ
- Công thức tính diện tích hình trụ
- Công thức tính thể tích khối trụ
- Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu
- Công thức tính diện tích mặt cầu
- Công thức tính thể tích khối cầu
- Công thức tính diện tích thiết diện hình nón
- Công thức tính diện tích hình nón cụt
- Công thức tính thể tích khối nón cụt
- Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ
- Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt
Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Lý thuyết
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K ta có:
+ Hàm số y = f[x] được gọi là đồng biến [tăng] trên K nếu: ∀x1,x2 ∈ K, x1 < x2 => f[x1] < f[x2] .
+ Hàm số y = f[x] được gọi là nghịch biến [giảm] trên K nếu: ∀x1,x2 ∈ K, x1 < x2 => f[x1] > f[x2] .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét:
+ Hàm số f[x] đồng biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Hàm số f[x] nghịch biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:
• Nếu f'[x] > 0, ∀x ∈ [a,b] hàm số f[x] đồng biến trên khoảng [a; b]
• Nếu f'[x] < 0, ∀x ∈ [a,b] hàm số f[x] nghịch biến trên khoảng [a; b]
• Nếu f'[x] = 0, ∀x ∈ [a,b] hàm số f[x] không đổi trên khoảng [a; b]
• Nếu f[x] đồng biến trên khoảng [a,b] => f'[x] ≥ 0, ∀x ∈ [a,b]
• Nếu f[x] nghịch biến trên khoảng [a,b] => f'[x] ≤ 0, ∀x ∈ [a,b]
• Nếu thay đổi khoảng [a; b] bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f[x] liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
• Nếu f'[x] ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
• Nếu f'[x] ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
Phương pháp giải chung
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y' = f'[x].
Bước 2. Tìm các điểm tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.
Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.
Chú ý:
• Đối với hàm phân thức hữu tỉ
• Giả sử y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d => f'[x] = 3ax2 + 2bx + c
+ Hàm số đồng biến trên R
+ Hàm số nghịch biến trên
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f[x] = d
[Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu]
• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:
Bước 1: Tính y' = f'[x,m] = ax2 + bx + c
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên [x1,x2] ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1
Bước 4: Giả [*] và giao với [* *] để suy ra giá trị m cần tìm.
Phương pháp tính cực trị của hàm số
1. Lý thuyết
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên khoảng [a,b] [có thể a là -∞ ; b là +∞] và điểm xo ∈ [a,b]
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x] < f[x0] ∀x ∈ [x0 - h, x0 + h ] và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực đại tại x0
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x] > f[x0] ∀x ∈ [x0 - h, x0 + h ] và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực tiểu tại x0
Chú ý:
1. Nếu hàm số f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số; f[x0] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số. Kí hiệu là fCĐ[fCT], còn điểm M[x0,f[x0] ] được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn được gọi là cực đại [cực tiểu] và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a,b] và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f'[x0] = 0
Thật vậy giả sử f[x] đạt cực đại tại x0. Khi đó theo định nghĩa ta có:
+ TH1: Δx > 0 => f'[x0+] = 0
+ TH2: Δx < 0 => f'[x0-] = 0
Mà f[x] có đạo hàm nên suy ra f'[x] = 0.
2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị
- Điều kiện cần
- f [x] đạt cực trị tại x0, có đạo hàm tại x0 thì f'[x0] = 0.
- Điều kiện đủ
- Định lí 1: Giả sử hàm số y = f[x] liên tục trên khoảng K = [x0 - h, x0 + h ] và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ với h > 0
+ Nếu f'[x] > 0 trên khoảng [x0 - h, x0] và f'[x] < 0 trên khoảng [x0, x0 + h ] thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f[x].
+ Nếu f'[x] < 0 trên khoảng [x0 - h, x0] và f'[x] > 0 trên khoảng [x0, x0 + h ] thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f[x].
- Nói một cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải:
+ Nếu f'[x] đổi dấu từ + sang - khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại
+ Nếu f'[x] đổi dấu từ - sang + khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu.
- Tóm lại muốn hàm số có cực trị tại x0 thì f'[x] phải đổi dấu khi qua x0
- Định lí 2: Giả sử hàm số y = f[x] có đạo hàm cấp 2 trong khoảng [x0 - h, x0 + h ], với h > 0. Khi đó:
+] Nếu
+] Nếu
3. Quy tắc tìm cực trị
- Quy tắc 1. [Dựa vào định lí 1]
+B1: Tìm tập xác định
+B2: Tính f'[x]. Tìm các điểm tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.
+B3: Lập bảng xét dấu f'[x]
+B4: Từ bảng xét dấu suy ra các điểm cực trị.
- Quy tắc 2 [Dựa vào định lí 2]
+B1: Tìm tập xác định
+B2: Tính f'[x] và giải phương trình f'[x] = 0 được nghiệm xi
+B3: Tính f''[x] và f''[xi] suy ra tính chất cực trị của các điểm xi rồi kết luận.
- Chú ý: Nếu f''[xi] = 0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị.
- Lưu ý: Hàm trùng phương
+] Có 1 cực trị khi a.b ≥ 0
+] Có 3 cực trị khi a.b < 0
..........................
..........................
..........................
Công thức tính thể tích khối chóp
1. Lí thuyết
- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.
- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác
+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.
+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.
2. Công thức tính thể tích khối chóp
Cho khối chóp có đường cao là h
Diện tích đa giác đáy là S
3. Thể tích một số khối chóp đặc biệt
- Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau
Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy
Bài toán: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích tứ diện ABCD
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Do ABCD là tứ diện đều nên AG ⊥ [BCD]
- Khối chóp tam giác đều
- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.
Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC đều, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên bằng a√2. Tính thể tích khối chóp.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có SG ⊥ [ABC]
Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC đều có đáy ABC là tam giác vuông tại B.AB = a, BC = a√3. Các cạnh bên tạo với đáy góc 600. Tính VS.ABC.
Lời giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Do ΔABC vuông tại B nên O là trung điểm của AC.
Ta có [SA,[ABC]] = [SA,OA] =
Áp dụng định lí pytago cho ΔABC ta được AC = 2a => SO = a√3
- Khối chóp tứ giác đều
- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.
Bài toán: Cho khối chóp đều S.ABCD đáy vuông cạnh a. Các cạnh bên dài 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có SO ⊥ [ABCD] .
Diện tích ABCD là a2 =>
- Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc.
- Giả sử 3 cạnh bên có độ dài lần lượt là a, b và c. Khi đó thể tích khối chóp này là:
- Khối tứ diện gần đều
- Là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Bài toán: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b và AD = BC = c. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
4. Công thức tỉ số thể tích
Bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B', C'.
Khi đó tỉ số thể tích:
VD1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là 120.Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, Q sao cho: MA = 2SM; NB = 3SN và QC = 4SQ. Tính thể tích khối chóp S.MNQ?
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
Suy ra
VD2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. SA ⊥ [ABC] và SA = 2a; AB = 2a; BC = a√3. Lấy M trung điểm SA và N trung điểm SB.
- Tính thể tích khối chóp S.ABC
- Tính thể tích khối đa diện
Lời giải:
- Diện tích ΔABC là
Suy ra
- Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
Do đó
- Chú ý: Khi áp dụng phương pháp tỉ số thể tích ta chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác. Nếu không là khối chóp tam giác thì ta nên chia khối chóp đã cho thành các khối chóp tam giác để có thể dùng được phương pháp thể tích.
5. Luyện tập
Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B. AC = a√2, CB = a. SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và góc giữa [SBD] và [ABCD] bằng 600 . Tính VS.ABCD .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AD = 2a; AB = a. Hai mặt phẳng [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mp [SCD] bằng
Dạng 2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. Mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AD = a√3; CD =
Dạng 3. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ A đến [SBC] bằng
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Đáy ABC vuông tại B, AB = a;
Dạng 4. Tỉ số thể tích
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích của khối tứ diện AB’C’D’ biết thể tích của ABCD là 100
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 600. Lấy A’ trên SA sao cho
....................................
....................................
....................................
Trên đây là tóm lược một số nội dung có trong tổng hợp công thức Toán lớp 12 Học kì 1 và Học kì 2, mời quí bạn đọc vào từng bài để xem đầy đủ, chi tiết!
Săn SALE shopee tháng 12:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12
Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official