Toán Đại 10 Bài 3: Công thức lượng giác

Soạn SBT ngữ văn 10 tập 2 chân trời sáng tạo

Soạn SBT ngữ văn 10 tập 2 kết nối tri thức

Soạn SBT ngữ văn 10 tập 1 cánh diều

Soạn SBT ngữ văn 10 tập 1 chân trời sáng tạo

Soạn SBT ngữ văn 10 tập 1 kết nối tri thức

Soạn SBT ngữ văn 10 tập 2 cánh diều

Soạn tập bản đồ địa lí 10

Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Công thức lượng giác chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. 

Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos

* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi  + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)

\(\begin{array}{l}  = \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\  = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}

\end{array}\)

* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi  + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)

\(\begin{array}{l}  = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\  = \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{4}

\end{array}\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 

\(\begin{array}{l} a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}

\end{array}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với tan

\(\begin{array}{l} a)\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}

\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a =  - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)

Hướng dẫn:

+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp 

+ Áp dụng công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l} {\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\  \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {( - \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a =  \pm \frac{4}{5}

\end{array}\)

Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a =  - \frac{4}{5}\)

Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( - \frac{3}{5})( - \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l} \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{( - \frac{4}{5})^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\ \tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}

\end{array}\)

Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức hạ bậc

Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)

\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)

Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}}  = \sqrt {\frac{{{{(2 - \sqrt 2 )}^2}}}{2}}  = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  = \sqrt 2  - 1\)

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức 

\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l} A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\  = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\  = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 } \right)

\end{array}\)

\(\begin{array}{l} B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\  = \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}

\end{array}\)

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức 

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)

\(\begin{array}{l} VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} - x)\\  = 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x - \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} - x)\\  = \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - (\frac{\pi }{4} - x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP

\end{array}\)

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

• Ôn tập lý thuyết
• Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Công thức cộng

• \(cos\,(a-b)=cos\,a\,cos\,b+sin\,a\,sin\,b\)
• \(cos\,(a+b)=cos\,a\,cos\,b-sin\,a\,sin\,b\)
• \(sin\,(a-b)=sin\,a\,cos\,b-cos\,a\,sin\,b\)
• \(sin\,(a+b)=sin\,a\,cos\,b+cos\,a\,sin\,b\)
• \(tan\,(a+b)=\frac{tan\,a-tan\,b}{1+tan\,a\,tan\,b}\)
• \(tan\,(a-b)=\frac{tan\,a+tan\,b}{1-tan\,a\,tan\,b}\)

II. Công thức nhân đôi

• \(sin\,2a=2\,sin\,a\,cos\,a\)
• \(cos\,2a=cos^2\,a-sin^2\,a=2cos^2\,a-1=1-2sin^2\,a\)
• \(tan\,2a=\frac{2tan\,a}{1-tan^2\,a}\)

Công thức hạ bậc

• \(\cos^2\,a =  \frac{1+cos\,2a}{2}\)
• \(sin^2\,a = \frac{1-cos\,2a}{2}\)
• \(tan^2\,a=\frac{1-cos\,2a}{1+cos\,2a}\)

III. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1. Công thức biến đổi tích thành tổng

• \(cos\,a\,cos\,b=\frac{1}{2}[cos\,(a-b)+cos\,(a+b)]\)
• \(sin\,a\,sin\,b=\frac{1}{2}[cos\,(a-b)-cos\,(a+b)]\)
• \(sin\,a\,cos\,b=\frac{1}{2}[sin\,(a-b)+sin\,(a+b)]\)

2. Công thức biến đổi tổng thành tích

• \(cos\,u+cos\,v=2cos\,\frac{u+v}{2}cos\,\frac{u-v}{2}\)
• \(cos\,u-cos\,v=-2sin\,\frac{u+v}{2}sin\,\frac{u-v}{2}\)
• \(sin\,u+sin\,v=2sin\,\frac{u+v}{2}cos\,\frac{u-v}{2}\)
• \(sin\,u+sin\,v=2cos\,\frac{u+v}{2}sin\,\frac{u-v}{2}\)

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: trang 153 sgk Đại số 10

Tính

a) \(\cos {225^0},\sin {240^0},cot( - {15^0}),tan{75^0}\);

b) \(\sin \frac{7\pi}{12}\), \(\cos \left ( -\frac{\pi}{12} \right )\), \(\tan\left ( \frac{13\pi}{12} \right )\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: trang 154 sgk Đại số 10

Tính

a) \(\cos(α +  \frac{\pi}{3}\)), biết \(\sinα =  \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α <  \frac{\pi }{2}\).

b) \(\tan(α -   \frac{\pi }{4}\)), biết \(\cosα = -\frac{1}{3}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π\)

c) \(\cos(a + b), \sin(a - b)\) biết \(\sin a =  \frac{4}{5}\), \(0^0< a < 90^0\) và \(\sin b =  \frac{2}{3}\), \(90^0< b < 180^0\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: trang 154 sgk Đại số 10

Rút gọn các biểu thức

a) \(\sin(a + b) + \sin(\frac{\pi}{2}- a)\sin(-b)\).

b) \(cos(\frac{\pi }{4} + a)\cos( \frac{\pi}{4} - a) +  \frac{1 }{2} \sin^2a\)

c) \(\cos( \frac{\pi}{2} - a)\sin( \frac{\pi}{2} - b) - \sin(a - b)\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: trang 154 sgk Đại số 10

Chứng minh các đẳng thức

a) \( \frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}\)

b) \(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a – \sin^2b = \cos^2b – \cos^2a\)

c) \(\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b = \cos^2b – \sin^2a\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: trang 154 sgk Đại số 10

Tính \(\sin2a, \cos2a, \tan2a\), biết

a) \(sin \,a = -0,6\) và \(π < a < {{3\pi } \over 2}\)

b) \(cos \,a =  - {5 \over {13}}\) và \({\pi  \over 2} < a < π\)

c) \(sin\,a + cos\,a = {1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4} < a < π\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: trang 154 sgk Đại số 10

Cho \(\sin 2a =  - {5 \over 9}\) và \({\pi  \over 2}< a < π\).

Tính \(\sin a\) và \(\cos a\).

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: trang 155 sgk Đại số 10

Biến đổi thành tích các biểu thức sau

a) \(1 - \sin x\)	b) \(1 + \sin x\)
c) \(1 + 2\cos x\)	d) \(1 - 2\sin x\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 8: trang 155 sgk Đại số 10

Rút gọn biểu thức \(A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + cos3x + cos5x}}\).

=> Xem hướng dẫn giải

Trắc nghiệm đại số 10 bài 3: Công thức lượng giác