Tìm m de hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
|
Ôn thi vào lớp 10 môn Toán Show Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào 10 tham khảo. Tài liệu thể hiện chi tiết cách tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, giúp học sinh có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 môn Toán. 1. Định lý Vi-ét thuậnCho phương trình bậc 2 một ẩn:  Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau: + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm 2. Định lý Vi-ét đảoGiả sử hai số thực thỏa mãn hệ thức: thì là hai nghiệm của phương trình bậc hai 3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là + Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho + Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. 4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trướcBài 1 Bài 3: Tìm m để phương trình Gợi ý đáp án: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Ta có Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: Ta có Có Vậy với Bài 4: Cho phương trình Gợi ý đáp án: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Ta có Vậy với Có Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn Bài 2: Cho phương trình bậc hai a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m, b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6 Gợi ý đáp án: a) Ta có: Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: Ta có tổng hai nghiệm bằng 6 Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6. Bài 3: Cho phương trình a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn Gợi ý đáp án: a, Ta có Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: Ta có: Dấu “=” xảy ra khi Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt đạt giá trị nhỏ nhất. 1)tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt \(^{\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\left(1+m\right)\\\left(x+y\right)^2=4\end{cases}}}\) 2)tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực x>0,y>0 \(\hept{\begin{cases}x+xy+y=m+1\\x^2y+xy^2=m\end{cases}}\)
H phng trình có ch a tham sI-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất mộtphương trình bậc haiKhi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệcó một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có baonhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệmĐê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãntính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìmx − y = 3Bài 1 Cho hệ phương trình 2 x − 2 xy = m − 1A,tìm m để hệ có nghiệmB,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãnP = x 12 + x 22 + y 12 + y 22 đạt giá trị nhỏ nhấtGiảiy = x − 3a- Hệ pt ⇔ 2x − 6x + m − 1 = 0Hệ có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm ⇔ ∆, = 10 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 10b- Theo Viét : x1 + x 2 =6 , x 1 .x 2 =m-1 Nênp = (x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 .x 2 +(x 1 -3) 2 +(x 2 -3) 2 =-4m+46 ≥ 6 (m ≤ 10)⇒ p min = 6 khi m=103 x + 5 y = a (1)Bài 2 Cho hệ phương trình ; 223 x + 5 y = b(2)a-Tìm a,b để hệ có nghiệmb-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b ∈ [− 1,2]c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a ∈ [− 1,2]Giảia − 3xthay vào (2)ta có :24x 2 -6ax+a 2 -5b=0(3) Hệ có nghiệma-Từ(1) ⇔ y =5a2⇔ pt(3) c ó nghiệm ⇔ ∆, = −15a 2 + 120b ≥ 0 ⇔ b ≥8b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệma21c-Hệcó nghiệm với mọi a ∈ [− 1,2] ⇔ b ≥ max ≥ ( ) mọi a ∈ [− 1,2] ⇔ b ≥82Các bài tập tương tựx + y = m1- Giải và biện luận h ệ phương trình : 22x − y + 2x = 2x 2 − 4 y 2 = 12- Cho hệ phương trình : ax + y = ba-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b x + ay − a = 03- Cho hệ phương trình 2 2x + y − x = 0a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệtnghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )Chứng minh rằng2b-hệ có hai(x 1 -2x 2 ) +(y 1 -y 2 ) ≤ 1 x 2 − xy − 2m + 1 = 04- Cho hệ phương trình: x + y = 2a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệtb-hệcó hai nghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )Tìm mđể:(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 =4x − y = 35- Cho hệ phương trình: 2 x − 2 xy = m − 1a- Tìm m để hệ có nghiệmb- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãnP = x 12 + x 22 +y 1 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất x 2 + y 2 = 256-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau : mx − y + 4 − 3m = 022a ( x + y ) + x + y = b7- Cho hệ pt: có nghiệm với mọi b CMR:a=0y − x = bII-Hệ đối xứng loại mộtHệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn chonhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổiCách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2 ≥ 4 p )Khi đó có hệ phươngtrình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìmđược s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìmđược giá trị của tham số . Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệđối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụcũng khác nhauĐể tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sửdụng điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tínhđối xứng của hai ẩn trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệmduy nhất .Sau đây là một số ví dụ minh hoạ x + y − xy = 1 − mBài1-Chohệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm Giải5( x + y ) − 4 xy = 4Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2 ≥ 4 p )Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta cós=4m ,p=5m-11Hệ có nghiệm ⇔ s 2 ≥ 4 p ⇔ m ≥ 1 hoặc m ≤4x+y+xy=mBài 2- Chohệ phương trình: 2Tìm m để hệ có nghiệm2x + y = mGiảis + p = mĐặts=x+y,p=xy(điều kiện :s 2 ≥ 4 p )Khiđóhệphươngtrình: 2s − 2 p = ms = −1 − 3m + 1s = −1 + 3m + 1−1)⇔hoặc (với m ≥3 p = m + 1 + 3m + 1 p = m + 1 − 3m + 1− 1 − 3m + 1) 2 ≥ 4(m + 1 + 3m + 1)Hệ có nghiệm ⇔ s 2 ≥ 4 p ⇔ ⇔ m ≥ 0 (TMĐK)2(−1 + 3m + 1) ≥ 4(m + 1 − 3m + 1) x 2 + y 2 = mBài 3- Tìm m để hệ có nghiệm : 4 x + y 4 = 3m − 2GiảiĐặt s=x 2 +y 2 ,p=x 2 y 2 (ĐK:s,p ≥ 0)s = ms = mKhiđóhệpt ⇔ 2⇔m 2 − 3m + 2 Hệcónghiệm−2=3−2spmp=22s ≥ 4 p0 ≤ m ≤ 1⇔ s ≥ 0⇔2 ≤ m ≤ 3 + 5p ≥ 0 x + y = mBài 4- Tìm m để hệ có nghiệm : x − 4 + y − 1 = 4GiảiĐặtu= x − 4 ,v= y − 1 (đK:u,v ≥ 0 ,x ≥ 4 ,y ≥ 1 )Khiđóhệpt:u + v ≥ 0u + v = 4u + v = 4⇔ 221 − 3m Hệcónghiệm u ≥ 0 ,v ≥ 0 ⇔ uv ≥ 02u + v = 3m + 5uv =22(u + v) ≥ 4uv16 ≥ 2(21 − 3m)13⇔⇔≤m≤7321 − 3m ≥ 0x + y + x 2 + y 2 = 8Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm : Giải xy ( x + 1)( y + 1) = mu + v = 811Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u ≥ , v ≥ )Khiđóhệ: nên u,v là nghiệm pt44uv = m1bậc hai: X 2 -8X +m=0 (u,v ≥ )Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn41bằng⇔ Hai đồ thị hai hàm số y=x 2 -8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có4131hoành độ ≥ .Nên dựa vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16 ≤ m ≤ −416+=1xyBài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt 33 x − y = m( x − y )Giảix + y = 1x + y = 1 x + y = 1Hệpt ⇔ ⇔v 2⇔222 x − y = 0 x + y + xy − m = 0( x − y )( x + y + xy − m) = o1x = y = 2x + y = 1Hệ có ba nghiệm phân biệt khi có hai nghiệm phân biệt x x + y = 1 xy = 1 − m xy = 1 − m113⇔ pt X 2 -X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt ≠ ⇔ ∆ = 4m − 3〉 0 ⇔ m. >2243(m= ptcó nghiệm kép X=0,5)4 x + y + xy = 2m + 1Bai7-Cho hệ phương trình : 2 xy ( x + y ) = m + ma-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của mb-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhấtGiảis = m(1)s + p = 2m + 1p = m +1Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình : ⇔2s = m + 1sp = m + m( 2) p = ma-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (s 2 ≥ 4 p với mọi m),y ≠b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duynhất ⇔ s 2 = 4 p ⇔ (m + 1) 2 = 4m ⇔ m = 1Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệmduy nhất là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK củatham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiệnđủ x + y = xy + 1Bài8-Tìm mđể hệ pt 2có nghiệm duy nhất x + y 2 − 1 − m( x + y − 1) = 1Giải* Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệmduy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0 x + y = xy + 1* Với m=0 hệ pt : 2 x + y 2 − 1 = 1 x + y = 0(VN )xy=−1 x + y − xy = 1 x + y − xy = 1⇔ 2⇔Vậy :m=0⇔22 x + y = 2+=2xy(x+y)−2xy=2x = 1⇔ xy = 1y = 1Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ vềdạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặclợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ cónghiệm duy nhất`Bài tậpx + y = m + 11-cho hệ pt : 222 x y + xy = 2m − m − 3a-Giải hệ pt khi m=3b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m x + xy + y = m + 12- Cho hệ pt : 22 x y + xy = ma-Giải hệ pt khi m=2b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0 x 2 + y 2 + xy = m + 63- Cho hệ pt : 2 x + xy + 2 y = ma- Giải hệ khi m=-3b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x + y = 2m − 14- Tìm m để hệ : 2có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ22 x + y = m + 2m − 3nhất x 2 + y 2 = 2 + 2m5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : ( x + y ) 2 = 4x + y = m6- Cho hệ pt : 2a- Giải hệ khi m=222x + y = 6 − mb- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất xy ( x + 2)( y + 2) = 5m − 67- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : 22 x + y + 2 x + 2 y = 2m x + y + xy = m8- Tìm m để hệ : 2có 4 nghiệm phân biệt2x+y=3−2m x + y + xy = m9- Giải biện luận hệ pt: 22 x + y = 3 − 2m x + y − xy = m10-Tìm m để hệ có nghiệm : x + y = mIII-Hệ đối xứng loại hai+Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhauthì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại+Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựavào pt này có thể giải được hệ+Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một2 x = 3 x + myBài1-Chohệpt: 2Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt y = 3 y + mxGiảix − y = 0Trừ hai vế của của hai pt ta có : 2 x = 3 x + my y ( y − 3 − m) = 0x = y = 0⇔⇔ Hệ có hai nghiệm phân biệtx = yx = y = 3 + m⇔ m+3 ≠ 0 ⇔ m ≠ −3 x 2 − 2 y 2 = mx + yBài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 2 y − 2 x 2 = my + xGiảiTrừ hai vế của hai pt,ta có hệ:( x − y )(3 x + 3 y − m + 1) = 0x = y3 x + 3 y − m + 1 = 0⇔ 2(1) hoặc 2( 2) 2222x−2y=mx+yy−2x=my+xy−2x=my+xGiải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m1=0 ⇔ m = −1 khi đó hệ (2) vô nghiệm .Vậy m=-1 xy + x 2 = m( y − 1)Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : xy + y 2 = m( x − 1)GiảiNếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duynhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2x 2 − mx + m = 0 có nghiệm duy nhất khi m=0 vm=82x = 0y + x = 0 xy + x = 0Vớim=0hệlà: ⇔hoặc (hệcóvôsốnghiệm)2 xy + y = 0y = 0 x( x + y ) = 0 xy + x 2 = 8( y − 1)Với m=8 hệ: ⇔ x = y = 2 (hệ có nghiệm duy nhất) xy + y 2 = 8( x − 1)Vậy m=8 1 + x + 6 − y = mBài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 1 + y + 6 − x = mGiải : Đ K :-1 ≤ x, y ≤ 6Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ cóx = 5 − x5nghiệm duy nhất thì ⇔ x=y= thay vào hệ ta có m= 142y = 5 − yVới m= 14 hệ pt: 1 + x + 6 − y = 14 1 + x + 6 − y = 14⇔ 1 + y + 6 − x = 14 1 + x + 6 − x + 1 + y + 6 − y = 2 14Mà 1 + x + 6 − x + 1 + y + 6 − y ≤ 2 14 dấu bằng xảy ra ⇔ x=y=mãn hệ pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y=5(thoả252Vậy m= 14Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm x + 1 + y − 2 = m y + 1 + x − 2 = mGiảiĐK :x,y ≥ 233 x + 1 − x − 2 = y + 1 − y − 2 x + 1 + x − 2 = y + 1 + y − 2 (1)Hệ ⇔ ⇔ x + 1 + y − 2 = m x +1 + y − 2 = mHàm số f(t)=3nghịch biến trong khoảng (2,+ ∞ ) Nênpt(1) ⇔ x=ythayt +1 + t − 2vào pt kia ta có pt: x + 1 + x − 2 = mHệcónghiệmkhiptnàycónghiệm ⇔Vậy: m ≥ 3m ≥ Min ≥ ( x + 1 + x − 2 ) = 3x≥2 x 3 = y 2 + 7 x 2 − mxBài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 3Giải y = x 2 + 7 y 2 − my( x − y )( x 2 + y 2 + xy − 6( x + y ) + m) = 0Trừ haivế của hai pt ta có: 3⇔ x=y=0 V x = y 2 + 7 x 2 − mx x 2 + y 2 + xy − 6( x + y ) + m = 0(2)x = y(I)V( II ) 2 3 y = x 2 + 7 y 2 − my y − 8 y + m = 0(1)ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho cónghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm ⇔ pt (1) vô nghiệm ⇔ ∆, <0 ⇔ m >16ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2) ⇔ y 2 + ( x − 6) y + x 2 − 6 x + m = 0 Là pt bậc haiẩn y có ∆ = −3( x − 2) 2 − 4(m − 12) < 0 với mọi m>16 nên pt(2) vô nghiệm ⇒ hệ(II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệmVậy :m>16Bài tập( x + 1) 2 = y + m1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : ( y + 1) 2 = x + m2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất x2 + 2 + y = m x + 1 − y = m + 1 x 2 = y 3 − 4 y 2 + mya- 2b, c, 3 y = x − 4 x + mx y + 1 − x = m + 1 y 2 + 2 + x = m x 2 − x − y = 2md, 2 y − y − x = 2m2 x + y − 1 = m3-Tìm m để hệ có nghiệm : 2 y + x − 1 = mIV-Hệ đẳng cấp bậc haia x 2 + b xy + c1 y 2 = d 1 (1)Xét hệ có dạng : 1 2 1a 2 x + b2 xy + c 2 y 2 = d 2 (2)Cách giảiCách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm của hệ pt hay không x 2 (a + b t + c1t 2 ) = d 1+Với x ≠ 0 đặt y=tx thay vào hệ pt : 2 1 1chia hai vế của hai x (a 2 + b2 t + c 2 t 2 ) = d 2pt cho x 2 cân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn xkhi đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm được tCách 2:Cân bằng hệ số ẩn X 2 ở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x 2 ,rút xtheo y ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùngphương giải được ẩn xCách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tựdota được pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,yVới hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheomỗi hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác nhau22 x − 4 xy + y = m(1)Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với mọi m: 2 y − 3 xy = 4(2)GiảiNhận xét ở pt (2) bậc nhất với ẩn x nên rút x ở pt (2) thayvào pt(1)tacópt:2y 4 -(40-9m)y 2 -16=0(3)Đặt t=y 2 (t ≥ 0 )Ta có pt:2t 2 -(40-9m)t-16=0(4) pt(4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên pt(3) luôncó nghiệm do đó hệ luôn có nghiệm với mọi m (ĐPCM)3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm : 2 x + 2 xy + 3 y 2 = 17 + mGiải+x=0 thay vào hệ giải ra tìm được y= ± 11 ,m=16+x ≠ 0 (haym ≠ 16 )Đặty=tx thay vào hệ : 3t 2 + 2t + 1 17 + m x 2 (t 2 + 2t + 3) = 11=⇔ t 2 + 2t + 311 ⇔ 2 2 x (3t + 2t + 1) = 17 + m x 2 (t 2 + 2t + 3) = 11(m − 16)t 2 + 2(m + 6) + 3m + 40 = 0(3)Ta có :t 2 +2t+3=(t+1) 2 +2>0 với 2 2 x (t + 2t + 3) = 11(4)mọitnên hệ có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ ∆, = 2(m 2 − 10m − 338) ≥ 0 ⇔ 5-11 3 ≤ m ≤ 5 + 3 x 2 + (m + 1) xy + (m + 2) y 2 = m − 1(1)Bài 3-Tìm m để hệ : 2có 4 nghiệm phân x + (m − 1) xy + (2m + 5) y 2 = m + 1(2)biệtGiải(m + 3) y 2 − 2Lấy pt (1) trừ pt (2) rồi rút x theo y ta có x=thay2yvàopt(1)tacó:(3m 2 +18m + 23) y 4 -12(m+1)y 2 +4=0Đặt t=y 2 (Đ K:t ≥ 0 )Ta có:(3m 2 +18m + 23)t 2 -12(m+1)t+4=0 (3)Hệ có 4nghiệm phân biệt ⇔ pt(3)có2nghiệm dương phân biệt36(m + 1) 2 − 4(3m 2 + 18m + 23) > 07⇔ 3m 2 + 18m + 23 > 0⇔m>3m +1 2>0 3m + 18m + 23Bài tập x 2 + my + y 2 = m1-Tìm m để hệ có nghiệm : 2 x + (m − 1) xy + my 2 = m3 x 2 + 2 xy + y 2 = m2-Tìm m để hệ có nghiệm : 2 x + xy + y 2 = 2V-Một số hệ khác1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩnTa xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn đều là bậc hai,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấpbậc hai1− m 22(1) x + 2 xy − 7 y ≥Ví dụ 1- Tìm m để hệ sau có nghiệm : m +13 x 3 + 10 xy − 5 y 2 ≤ −2(2)Giải*ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên .Khi đónhân cả hai vế của (1) với -2 rồi cộng hai bất đẳng thức với nhau ta có:−4−4⇔ ( x + 3 y) 2 ≤⇒ m + 1 < 0 ⇒ m < −1x 2 +6 xy + 9 y 2 ≤m +1m +11− m2 *ĐK Đủ: Với m<-1.ta>= −1 +< −1m +1m +11− m 22 y = 0,5 x = 1,5 x + 2 xy − 7 y = −1 >Xét hệ pt: V ⇒ Hệ có1+ m ⇔ x = −1,5 y = −0,53 x 2 + 10 xy − 5 y 2 = −2 nghiệm Vậy : m<-1 Nếu a<-1> x 2 + y 2 = 2(1 + a )(1)Nếu a ≥ −1 Khi đó hệ : Tập nghiệm của (1) là đường tròn tâm x + y = 2(2)O(0,0) bán kính R= 2(1 + a) còn nghiệm của (2) là hai đường thẳng x+y-2=0 Vx+y+2=0 đối xứng nhau qua O Nên hệ có nghiệm ⇔ hai đường thẳng và đườngtròn có hai điểm chung ⇔ Hai đường thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn ⇔Khoảng cách từ O đến hai đường thẳng bằng bán kính của đường tròn⇔ 2 = 2(1 + a ) ⇔ a = 0 x 2 + ( y + 1) 2 ≤ a (1)Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất : ( x + 1) 2 + y 2 ≤ a (2)Giải Nếu a<0>Nếu a ≥ 0 Khi đó nghiệm của (1) là hình tròn tâm I(0,-1)bán kính R= a vànghiệm của (2) là hình tròn tâm J(-1,0) bán kính R= a Nên hệ có nghiệm duynhất ⇔ Hai hình tròn có điểm chung duy nhất ⇔ Hai hình tròn tiếp xúc ngoài1nhau ⇔ IJ = 2 a ⇔ 2 = = 2 a ⇔ a =2 x + y = 3aBài 3-Tìm a để hệ có nghiệm ; x + 1 + y + 2 = aGiải Nếu a<0>u + v = a (1)Nếu a ≥ 0 đặtu= x + 1 ≥ 0 ,v= y + 1 ≥ 0 Khiđóhệ: 2(u , v ≥ 0)2u + v = 3a + 3(2)Trong hệ toạ độ nghiệm của (1)là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng:u+v=a(d) và nghiệm của (2) là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâmO(o,o)bán kính R= 3a + 3 .Nên hệ có nghiệmhai đường có điểm chung tronggóc phần tư thứ nhấtd(o,m) ≤ d(o,d) ≤ R (trongđóđtm:u+v= 3a + 3 )3a + 3 ≤ a ≤ 6a + 6Bài tập x + y ≤ 2Bài 1-Tìm a để hệ có nghiệm : x + y + 2 x( y − 1) + a = 2 x + y + 2 xy + m ≥ 1Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : x + y ≤ 1log 2 2 ( x + y ) ≥ 1(x + y )Bài 3-Tìm m để hệ có nghiệm : x + 2 y = m x 2 + y 2 ≤ 1 − 2 xBài 4-Tìm m để có nghiệm duy nhất : x − y + m = 0 x 2 + y 2 − 4 x ≤ 1Bài 5-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Bài 6-Tìm m để x + y + m = 0 x − 1 + y + 1 = 1hệ sau có nhiều nghiệm nhất : 2 x + y 2 = m 23-sử dụng điều kiện cần và đủ x + y + 2 ≥ 4Bài 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 2 x + ( y − 2) 2 ≤ mGiảiĐiều kiện cần :Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (-x,y)cũng là nghiệm của hệ Do đóđể hệcó nghiệm duy nhất thìx=-x x=0 y ≥ 2Vy ≤ −6 y + 2 ≥ 4Với x=0thay vào hệ ta có : (II)⇔( y − 2) 2 ≤ m2 − m ≤ y ≤ 2 + m2 = 2 + mĐểhệ(II)có nghiệm duy nhất điều kiện là: ⇔m=0− 6 < 2 − mĐiều kiện đủ :hệ có nghiệm duy nhất x=0,y=23 x − a y 2 + 1 = 1Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 1= a2x + y +2y + y +1Giải3 x − a y 2 + 1 = 1Hệ ptNếu hệ có nghiệm (x,y)thì (x,-y) cũng là nghiệm x + y 2 + 1 = a 2Nên hệ có nghiệm duy nhất thì y=-y y=03 x − a = 14Thay y=0 vào hệ ta có ⇒ a = −1Va =23x + 1 = aNếu a=-1 thay vào hệ ,giải hệ ta có hệ có nghiệm duy nhất x=y=0Nếu a=4/3 thay vào hệ ,giải hệ => nghiệm :x=7/9,y=0Vậy :a=-1 hoặc a=4/3 x2 + 3 + y = aBài-3 Tìmađể hệ có nghiệm duy nhất y 2 + 5 + x = x 2 + 5 + 3 − aGiảiNếu (x,y)là nghiệm thì (-x,-y)cũng là nghiệm . Nên để hệ có nghiệm duy nhấtthì x=y=0.Thay vào hệ ta có a= 3 x 2 + 3 + y = 3 (1)Với a= 3 ,hệ pt: Nhận thấy x,y ≠ 0 thì VT(1) ≥ 3 y 2 + 5 + x = x 2 + 5 (2)Nên (1) có nghiệm :x=y=0 thay vào (2)thoả mãnVây :a= 3Bài tập xyz + z = aBài 1-Tìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất : xyz 2 + z = b 222x + y + z = 4x 2 + y 2 = zBài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất x + y + z = a2 x + y = 1Bài 3- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất y + 1 = ax 2 + a2 x + x = y + x 2 + mBài 4-Cho hệ pt: y 2 + x 2 = 1a-Giải hệ với m=2b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhấta ( x + 1) = cos x + yBài 5-Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 2 sin x + y = 1 |
