Hàm số liên tục là gì năm 2024
|
Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại $\left( {{x_0}} \right)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$. Show
Hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục tại $\left( {{x_0}} \right)$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng * Định nghĩa Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên một đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$. 3. Một số định lí cơ bản * Định lí 1
* Định lí 2 Giả sử $y = f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hai hàm số liên tục tại điểm ${x_0}$. Khi đó:
* Định lí 3 Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$, thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$. Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11. Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thứcQuảng cáo Lý thuyết Hàm số liên tục1. Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu limx→x0 f(x) = f(x0). Hàm số f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số g(x) = 2x+12x−1 tại điểm x0 = 1. Hướng dẫn giải Ta thấy hàm số g(x) xác định trên ℝ \ , do đó x0 = 1 thuộc tập xác định của hàm số. Quảng cáo Ta có: g(1) = 2.1+12.1−1= 3 limx→1 gx = limx→1 2x+12x−1 = 3 = g(1). Vậy hàm số g(x) liên tục tại x0 = 1. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng - Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. - Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và limx→a+f(x) = f(a), limx→b−f(x) = f(b). - Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞),… được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó. Quảng cáo - Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có: + Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ. + Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng. Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x+2x−2. Tìm các khoảng trên đó hàm số f(x) liên tục. Hướng dẫn giải Tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; 2) ∪ (2; +∞). Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞). 3. Một số tính chất cơ bản Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: Quảng cáo
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = cosx3−x. Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho xác định trên các khoảng (–∞; 3) và (3; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên ℝ \{3}. Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Ví dụ: Phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực thuộc khoảng (–2; 2) ? Hướng dẫn giải Vì hàm số f(x) = 2x3 – 6x + 1 liên tục trên ℝ nên nó liên tục trên đoạn[– 2; 2]. Ta có: f(–2) = –3 ; f(2) = 5 ; f(0) = 1 ; f(1) = – 3. Ta thấy: +) f(– 2). f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–2; 0). +) f(0) . f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1). +) f(1) . f(2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2). Do đó phương trình: 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thực thuộc khoảng (– 2; 2). Bài tập Hàm số liên tụcBài 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm giá trị của m để f(x) liên tục trên [0; +∞). Hướng dẫn giải +) Với x ∈ (0; 9): f(x) = 3−9−xx liên tục trên (0; 9). +) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = 3x liên tục trên [9; +∞). +) Tại x = 0 ta có f(0) = m Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0. Suy ra: limx→0+f(x) = m⇒m = 16. Vậy m = 16 thì f(x) liên tục trên [0; +∞). Bài 2: Cho hàm số f(x) = . Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0. Hướng dẫn giải Ta có: f(0) = 0 limx→0+f(x) = limx→0+(x2+1) = 1 limx→0−f(x) = limx→0−x = 0 Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0. Bài 3: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và limx→1[2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1). Hướng dẫn giải Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1. Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1. Suy ra: limx→1[2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4 Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2. Vậy g(1) = 2. Học tốt Hàm số liên tụcCác bài học để học tốt Hàm số liên tục Toán lớp 11 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay khác:
Săn shopee siêu SALE :
CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVIDĐăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. Hàm số liên tục tại 1 điểm khi nào?Hàm số f theo biến x được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực, nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c); và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Hàm số liên tục trên đoàn là gì?Hàm số liên tục là gì? Hàm số y = f(x) gọi là hàm số liên tục trên khoảng nếu hàm số đó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Cụ thể hơn, ta có định nghĩa khái quát chung như sau: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K,x0∈K K , x 0 ∈ K . F X liên tục tại x0 khi nào?Cho một hàm số y = f(x) được xác định trên một khoảng (a;b) và x0 thuộc (a;b). Khi đó hàm số f(x) sẽ liên tục tại x0 khi: Lim[x→x0] f(x) = f(x0). Bản chất của hàm số là gì?Trong toán học, một hàm số hay gọi ngắn là hàm (Tiếng Anh: function) là một loại ánh xạ giữa hai tập hợp số liên kết mọi phần tử của tập số đầu tiên với đúng một phần tử của tập số thứ hai. Ví dụ điển hình là các hàm từ số nguyên sang số nguyên hoặc từ số thực sang số thực. |
