Hai đường thẳng song song ax+by+c=0

Hãy cùng với Cunghocvui đi vào tìm hiểu về lý thuyết về chuyên đề phương trình đường thẳng lớp 10, trong bài sẽ đưa ra các khái niệm và cách viết phương trình đường thẳng lớp 10 và cùng với các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 giúp các bạn nhanh chóng nắm bắt bài học. Hãy cùng theo dõi nhé!

I. Lý thuyết

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Đường thẳng  [d] được cho trước, vectơ  \[\underset{n}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}\] thì được gọi vectơ pháp tuyến [VTPT] của đường thẳng [d] nếu giá của \[\underset{n}{\rightarrow} \] vuông góc với đường thẳng [d].

- Nhận xét: Vectơ \[\underset{n}{\rightarrow} \] là VTPT của đường thẳng [d] thì k.\[\underset{n}{\rightarrow} \] cũng được gọi là VTPT của đường thẳng [d]

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Định nghĩa: Phương trình đường thẳng [d] có dạng ax + by + c = 0 [\[a^2+b^2\neq 0\]] thì được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng [d].

- Vectơ pháp tuyến của phương trình đường thẳng [d] là:\[\underset{n}{\rightarrow} \] \[[a;b]\].

* Dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

- Đường thẳng [d] song song hoặc trùng với Oy: [d]: ax + c = 0 [\[a\neq0\]]

- Đường thẳng [d] song song hoặc trùng với Ox: [d]: by + c = 0 [\[b\neq0\]]

- Đường thẳng [d] đi qua gốc tọa độ: [d]: ax + by = 0 [\[a^2+b^2\neq 0\]]

- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên đi qua điểm A[a;0]; B[0;b] [\[a;b\neq0\]]

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y = kx + m [k được gọi là hệ số góc của đường thẳng]

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Cho đường thẳng [d], vectơ \[\underset{u}{\rightarrow}\neq \underset{0}{\rightarrow}\] được gọi là vectơ chỉ phương [VTCP] của đường thẳng [d] nếu giá của \[\underset{u}{\rightarrow}\] song song hoặc trùng với đường thẳng [d]

- Nhận xét:

• Nếu \[\underset{u}{\rightarrow}\] là vectơ chỉ phương của đường thẳng [d] thì k.\[\underset{u}{\rightarrow}\] cũng là VTCP của đường thẳng [d].
• VTCP vuông góc với VTPT, vì vậy nếu đường thẳng [d] có VTCP \[\underset{u}{\rightarrow}\]\[[a;b]\] thì \[\underset{n}{\rightarrow} \][\[-b;a\]] là VTPT của đường thẳng [d].

4. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình có dạng: \[\left\{\begin{matrix} & x=x_0+at\\ & y=y_0+bt\end{matrix}\right.\]; [\[a^2+b^2\neq 0\]]. Đường thẳng [d] đi qua điểm \[M_0[x_0;y_0]\] và nhận \[\underset{u}{\rightarrow}\][a;b] làm vectơ chỉ phương, t là tham số.

- Lưu ý:

• Khi thay mỗi \[t \in \mathbb{R}\] vào phương trình tham số ta sẽ được một điểm M[xl y] thuộc đường thẳng [d]
• M[x; y] thuộc [d] thì sẽ có một tham số t sao cho x, y thỏa mãn được với phương trình tham số.
• Ứng với mỗi \[t \in \mathbb{R}\] ta có một phương trình tham số, vì vậy một đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số.

5. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng [d] đi qua điểm \[M_0[x_0;y_0]\] và nhận \[\underset{u}{\rightarrow}\][a;b] làm vectơ chỉ phương, khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:\[\dfrac {x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\] với \[a;b\neq0\].

6. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho trước tọa độ

Cho điểm A [\[x_A; y_A\]] và B [\[x_B; y_B\]], nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì phương trình sẽ có dạng:

- Nếu: \[\left\{\begin{matrix} & x_A \neq x_B\\ & y_A \neq y_B\end{matrix}\right.\] thì đường thẳng qua AB sẽ có phương trình chính tắc là: \[\dfrac {x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}\]

- Nếu: \[x_A=x_B\] thì AB: \[x=x_A\]

- Nếu: \[y_A = y_B\] thì AB: \[y=y_A\]

7. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cho trước điểm M[\[x_0;y_0\]] và đường thẳng \[\Delta: ax+by+c=0\]. Khi đó khoảng cách từ M đến \[\Delta\] được tính theo công thức: \[d[M;\Delta]=\dfrac {\left | ax_0 + by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

8. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Cho trước hai đường thẳng: \[\left\{\begin{matrix} & [d_1]:a_1x+b_1y+c_1=0\\ & [d_2]:a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right.\]

•  \[d_1\cap d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & \ b_2\end{vmatrix}\] \[\neq 0\]
• \[d_1//d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & \ b_2\end{vmatrix}\] = 0 và \[d_1//d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{vmatrix}\] \[\neq 0\] hoặc \[ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & \ b_2\end{vmatrix}\] = 0 và \[d_1//d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2\end{vmatrix}\]\[\neq 0\]
• \[d_1 \ vuông \ d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\]  = \[\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{vmatrix}\] = \[\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2\end{vmatrix}\] = 0

- Nếu \[a_2.b_2.c_2\neq0\] thì:

• Nếu \[\dfrac{a_1}{b_1}\neq\dfrac{a_2}{b_2}\] thì hai đường thẳng cắt nhau
• Nếu \[\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}\neq \dfrac {c_1}{c_2}\] thì hai đường thẳng song song với nhau
• Nếu \[\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}= \dfrac {c_1}{c_2}\] thì hai đường thẳng vuông góc với nhau

II. Các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10

1. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi đã cho trước vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng

- Phương pháp giải: Có:\[\left\{\begin{matrix} &M[x_0;y_0]\in[d] \\ & [d]\perp \underset{n}{\rightarrow}[a;b]\end{matrix}\right.\] \[\Leftrightarrow [d]:a[x-x_0]+b[y-y_0]=0\]

- Ví dụ:

• Đường thẳng [d] đi qua điểm M[1;2] và có VTPT \[\underset{n}{\rightarrow}\] = [2;-3]
• Phương trình tổng quát của đường thẳng [d]: 2[x-1] - 3[y-2] =0 \[\Leftrightarrow \] 2x - 3y + 4 = 0

2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng

- Phương pháp giải: \[\left\{\begin{matrix} & M[x_0;y_0]\in[d]\\ & [d]//\underset{u}{\rightarrow}[a;b]\end{matrix}\right.\] \[\Leftrightarrow \] \[\left\{\begin{matrix} & M[x_0;y_0]\in [d]\\ & [d]\perp \underset{n}{\rightarrow}[-b;a]\end{matrix}\right.\] \[\Leftrightarrow \] [d]: \[-b[x-x_0]+a[y-y_0]=0\]

- Ví dụ: Đường thẳng đi qua điểm M [1;-2] và có VTCP là \[\underset{u}{\rightarrow}\] = [2;-1]

=> Giải:

• Ta có: \[\left\{\begin{matrix} & M[1;-2]\\ & \underset{u}{\rightarrow}=[2;-1]\end{matrix}\right.\] 
• Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: \[\left\{\begin{matrix} & x=1+2t\\ & y=-2-t\end{matrix}\right.\]

3. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song với 1 đường thẳng thứ hai

- Phương pháp giải: \[\left\{\begin{matrix} & M[x_0;y_0]\in [d]\\ & [d]//[d']: ax + by + c = 0 \end{matrix}\right.\] \[\Leftrightarrow \] \[\left\{\begin{matrix} & M[x_0;y_0]\in [d]\\ & [d]\perp \underset{b}{\rightarrow}[a;b] = 0 \end{matrix}\right.\] \[\Leftrightarrow \] \[a[x-x_0]+b[y-y_0]=0\]

- Ví dụ: Cho điểm M [3;2] và song song với đường thẳng \[\Delta: \left\{\begin{matrix} & x=1+2t\\ & y=-t\end{matrix}\right.\]. Viết phương trình đường thẳng d, [d] đi qua M

=> Giải:

• Đường thẳng \[\Delta\] có VTCP là \[\underset{u}{\rightarrow}=[2;1]\].
• Vì [d] song song với \[\Delta\] nên  [d] nhận \[\underset{u}{\rightarrow}=[2;1]\] làm VTCP
• Từ đó ta có: [d] \[\Delta: \left\{\begin{matrix} & M[3;2]\in [d]\\ & \underset{u}{\rightarrow}=[2;-1]\end{matrix}\right.\]
• Suy ra phương trình đường thẳng [d] là: \[\Delta: \left\{\begin{matrix} & x=3+2t\\ & y=2-t\end{matrix}\right.\]

4. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước

- Phương pháp giải: \[\Delta: \left\{\begin{matrix} & M[x_0;y_0]\in[d]\\ & [d]\perp [d']:ax + by + c = 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & M[x_0;y_0]\in [d]\\ & [d]\perp \underset{n}{\rightarrow}[-b;a]\end{matrix}\right.\Leftrightarrow [d]:-b[x-x_0]+a[y-y_0]=0\]

- Ví dụ: Cho điểm M [-2;3] và vuông góc với đường thẳng \[\Delta\]: 2x - 5y + 3 = 0, Viết phương trình đường thẳng [d], [d] đi qua điểm M.

=> Giải:

• Đường thẳng \[\Delta\] có VTPT là \[\underset{n}{\rightarrow}[2;-5]\]
• Đường thẳng [d] vuông góc với \[\Delta\] nên [d] nhận VTPT của \[\Delta\] làm VTCP \[ \underset{u}{\rightarrow}[2;-5]\]
• Vậy phương trình đường thẳng [d] là: \[\left\{\begin{matrix} & x=-2+2t\\ & y=3-5t\end{matrix}\right.\]

5. Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

- Phương pháp giải: A và B là hai điểm được cho trước, đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là đường thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ \[\underset{AB}{\rightarrow}\] làm vectơ chỉ phương [VTCP]. Khi đó bài toán sẽ trở về dạng 2.

- Ví dụ: Cho điểm A [1;2] và điểm B [3;4]. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A  và B

=> Giải:

• Gọi đường thẳng đi qua hai điểm A và B là đường thẳng [d], vì đường thẳng [d] đi qua A và B nên sẽ có VTCP \[\underset{AB}{\rightarrow}\] = [2;2]
• Vậy ta có phương trình tham số của đường thẳng [d]: \[\left\{\begin{matrix} & x=1+2t\\ & y=2+2t\end{matrix}\right.\]

III. Bài tập tự luyện tập

Dựa vào các ví dụ ở phần II. Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng lớp 10 anh/ chị hãy vận dụng tự luyện tập và giải các bài tập dưới đây:

Bài tập 1: Tam giác ABC có điểm A [2;0]; B [0;4]; C [1;3]. Hãy viết phương trình tổng quát trong các trường hợp sau đây

1. Đường cao AH

2. Trên đoạn thẳng BC, viết phương trình của đường trung trực

3. Đường thẳng AB

4. Đường thẳng qua điểm C, đồng thời song song với AB

Bài tập 2: Cho trước tọa độ điểm A [1;-3]. Từ dữ liệu đã cho hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng [d] khi đi qua A và:

1. Vuông với trục tung Oy

2. Song song với đường thẳng [d] có phương trình cho trước là: x + 2y + 3 = 0

Bài tập 3: Cho tam giác DEF có  D[2;1]; E [-1;0]; F [0;3]. Hãy viết:

1. Phương trình tổng quát của đường cao DH

2. Trên đoạn thẳng DE, viết phương trình tổng quát của đường trung trực.

3. Phương trình tổng quát đường thẳng EF

4. Phương trình tổng quát đường thẳng qua D và song song với EF

Bài tập 4: Cho các dữ liệu sau, hãy viết phương trình tổng quát cho từng trường hợp

1. Đường thẳng \[\Delta\] qua điểm M[2;5] song song với đường thẳng d: 4x - 7y + 3 = 0

2. Đường thẳng \[\Delta\] đi qua điểm Q [2;-5] và có hệ số góc k = 11.

Bài tập 5 [Nâng cao]: Cho một hình bình hành và biết trước hai phương trình của cạnh là x - y = 0 và x + 3y - 8 = 0 và tọa độ một đỉnh của hình bình hành là [-2;2]. Hãy viết phương trình tất cả các cạnh còn lại của hình bình hành.

Bài tập 6 [Nâng cao]: Điểm M [1;4] được cho trước. Hãy viết phương trình sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất khi đường thẳng đi qua điểm M, đồng thẳng cắt lần lượt hai tia Ox, Oy tại hai điểm A và B.

Hãy để lại lời giải hoặc đáp án của các bạn nhé!

Xem thêm >>> Bài tập SGK Phương trình đường thẳng lớp 10

Trên đây là những kiến thức đầy đủ về viết phương trình đường thẳng lớp 10 , Cunghocvui mong rằng không chỉ lý thuyết mà còn các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 sẽ giúp được nhiều cho quá trình học tập trên lớp của các bạn. Mọi ý kiến đóng góp cũng như thắc mắc các bạn hãy để lại phía dưới comment nhé!