Bài viết chia sẽ các công thức tính giới hạn hàm số theo từng trường hợp như giới hạn cơ bản, giới hạn vô cực kèm theo đó là những bài tập vận dụng phù hợp. Mong rằng, bạn đọc sẽ nắm vững bài học hôm nay một cách nhanh chóng nhất.
Đồ thị minh họa Giới hạn của hàm số f[x] [Đồ họa: verbalearn.org]
Lý thuyết giới hạn hàm số
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1.1. Khái niệm giới hạn hàm số tại một điểm
Cho khoảng 𝓚 chứa điểm x0 và hàm số y = f[x] xác định trên 𝓚 hoặc trên 𝓚\ {x0}.
Ta nói hàm số y = f[x] có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số [xn] bất kỳ, xn ∊ K \ {x0} và xn → x0, ta có lim f[xn] = L.
Kí hiệu hay f[x] → L khi x → x0.
1.2. Ví dụ giới hạn hàm số tại một điểm
Ví dụ 1. Cho hàm số . Chứng minh rằng .
Lời giải
Tập xác định: D = ℝ \ {–2}.
Giả sử [xn] là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn ≠ –2 và xn → –2 khi n → +∞.
Ta có:
Do đó:
Chú ý: , với c là hằng số.
2. Giới hạn hữu hạn
2.1. Định lí giới hạn hữu hạn
- Giả sử và . Khi đó
+]
+]
+]
+]
- Nếu f[x] ≥ 0 và , thì
L ≥ 0 và .
[Dấu của f[x] được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x ≠ x0].
2.2. Ví dụ giới hạn hữu hạn
Ví dụ 1. Tính .
Lời giải
3. Giới hạn một bên
3.1. Định nghĩa giới hạn một bên
+] Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [x0; b].
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f[x] khi x → x0 nếu với dãy số [xn] bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f[xn] → L.
Kí hiệu:
+] Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; x0].
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f[x] khi x → x0 nếu với dãy số [xn] bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f[xn] → L.
Kí hiệu:
3.2. Định lí giới hạn một bên
khi và chỉ khi .
3.3. Ví dụ gới hạn một bên
Ví dụ 1. Cho hàm số .
Tìm , và [nếu có].
Lời giải
Ta có
Theo định lí 2, không tồn tại.
4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
4.1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn tại vô cực
- Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; +∞].
Ta nói hàm số y = f[x] có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số [xn] bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f[xn] → L.
Kí hiệu: hay f[x] → L khi x → +∞.
- Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [−∞; a].
Ta nói hàm số y = f[x] có giới hạn là số L khi x → −∞ nếu với dãy số [xn] bất kì, xn < a và xn → −∞, ta có f[xn] → L.
Kí hiệu: hay f[x] → L khi x → −∞.
4.2. Ví dụ về giới hạn hữu hạn tại vô cực
Ví dụ 1. Cho hàm số . Tìm và .
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên [−∞; 1] và trên [1; +∞].
Giả sử [xn] là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn < 1 và xn → −∞.
Ta có:
Vậy
Giả sử [xn] là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn > 1 và xn → +∞.
Ta có:
Vậy
Chú ý:
+] Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
+] Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 còn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞.
Ví dụ 2. Tìm
Lời giải
5. Giới hạn vô cực của hàm số
5.1. Giới hạn vô cực của hàm số
Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; +∞].
Ta nói hàm số y = f[x] có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với dãy số [xn] bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f[xn] → −∞.
Kí hiệu: hay f[x] → −∞ khi x → +∞.
Nhận xétMột vài giới hạn đặc biệt+] với k nguyên dương.
+] nếu k là số lẻ.
+] nếu k là số chẵn.
Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:
5.2. Ví dụ giới hạn vô cực của hàm số
Ví dụ 1. Tìm .
Lời giải
Ta có:
Vì và .
Ví dụ 2: Tính .
Ta có: , vì
Dạng 1
Giới hạn của hàm số dạng vô định 0/0
1.1. Phương pháp giải
+] Biểu thức có dạng trong đó f[x], g[x] là các đa thức và f[x0] = g[x0] = 0.
Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là x – x0.
Giả sử f[x] = [x – x0]. f1[x] và g[x] = [x – x0]. g1[x]. Khi đó:
\=
Nếu giới hạn vẫn ở dạng vô định thì ta lặp lại quá trình khử đến khi không còn dạng vô định.
Việc phân tích thành nhân tử ở trên được thực hiện bằng phương pháp chia Horner.
+] Biểu thức có dạng trong đó f[x], g[x] là các biểu thức có chứa căn thức và f[x0] = g[x0] = 0.
Khử dạng vô định bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu thức chứa căn thức để trục các nhân tử x – x0 ra khỏi các căn thức, nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. Lưu ý có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định.