Chú ý công thức ||z₁| – |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁ – z₂|.
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2|^2-|z-i|^2.$ Tìm môđun của số phức $w= M+mi$.
Bài giải:
Ta có $|z-3-4i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow [x-3]^2+[y-4]^2=5 ; [C]$
Tính toán ta được $P=|z+2|^2-|z-i|^2= 4x+2y+3.$ Xét đường thẳng $d: 4x+2y+3-P=0.$
Đường thẳng d và đường tròn [C] có điểm chung khi và chỉ khi
$d[I; d]\leq R \Leftrightarrow |23-P|\leq 10 \Leftrightarrow 13\leq P\leq 33.$
Vậy $M=33$; $m=13.$ Khi đó $w=33+13i$ nên $|w|=\sqrt{1248}.$
Bài tập 2: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z^2-2z+5|=|[z-1+2i][z+3i-1]|$. Tính $\min |w|$ với số phức $w=z-2+2i.$
Bài giải:
Ta có $z^2-2z+5=[z-1]^2+4=[z-1]^2-[2i]^2 =[z-1+2i][z-1-2i].$
Khi đó, giả thiết $ \Leftrightarrow |[z-1+2i][z-1-2i]|=|[z-1+2i][z+3i-1]|$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}z=1-2i \\|z-1-2i|=|z+3i-1|\end{array}\right.$
TH1: Với z=1-2i, ta có w=z-2+2i=-1. Vậy $|w|=1$.
TH2: Với $|z-1-2i|=|z+3i-1|$ [*], đặt z=x+yi, ta có
$[*]\Leftrightarrow |x-1+[y-2]i|=|x-1+[y+3]i|$
$\Leftrightarrow [x-1]^2+[y-2]^2=[x-1]^2+[y+3]^2 \Leftrightarrow y=\frac{-1}{2}$
Do đó $w=z-2+2i=x-\frac{1}{2}i-2+2i=x-2+\frac{3}{2}i \Rightarrow |w|=\sqrt{[x+2]^2+\frac{9}{4}}\geq \frac{3}{2}.$
Vậy $\min |w|=\frac{3}{2}.$
Bài tập 3: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z|=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$T=|z+1|+2|z-1|$.
Bài giải:
Gọi $z=x+yi \Rightarrow M[x; y].$
Và $A[-1; 0], B[1;0]$. Ta có $|z|=1 \Rightarrow |x+yi|=1 \Leftrightarrow x^2+y^2=1.$
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính AB.
$\Rightarrow MA^2+MB^2=AB^2=4.$ Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có
$T=MA + 2MB \leq \sqrt{[1^2+2^2][MA^2+MB^2]}=\sqrt{5.4}=2\sqrt{5}$.
Vậy $Max T= 2\sqrt{5}.$
Bài tập 4: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-2-4i|=\sqrt{5}.$ Tìm Max $|z|$; $\min |z|$.
Bài giải:
Vì $|z-2-4i|=\sqrt{5}$ nên tập hợp các điểm $M[z]$ là đường tròn $[C]$ có tâm $I[2;4]$ và bán kính $R=\sqrt{5}.$
Vậy $Max |z|=OM=OI+R=\sqrt{2^2+4^2}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}.$
$\min |z|=ON=OI-R=sqrt{2^2+4^2}-\sqrt{5}=\sqrt{5}.$
Bài tập 5: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-5i|\leq 3.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Bài giải:
Tập hợp các điểm $M[z]$ là hình tròn $[C]$ tâm $I[0;5]$ và bán kính R=3.
Vậy số phức z có môđun nhỏ nhất là $z=2i.$
$\begingroup$
How do I find all complex numbers $z$ such that :
$$z^2=7−24i$$
I don't even know where to begin please help. The $z^2$ throws me off.
$\endgroup$ 1
|z - [a + bi]| = c, [c > 0] => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I[a; b] và bán kính R = c
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u=z+2+3iz-i là một số thuần ảo.
Là một đường tròn tâm I[a;b]. Tính tổng a + b
Xem đáp án » 18/06/2021 2,525
Cho số phức z thỏa mãn [1-3i]z+1+i=-z. Môđun của số phức w=13z+2i có giá trị bằng:
Xem đáp án » 18/06/2021 1,864
Trong mặt phẳng Oxy, M,N,P là tọa độ điểm biểu diễn của số phức z1=-5+6i;z2=-4-i;z3=4+3i
Tọa độ trực tâm H của tam giác MNP là:
Xem đáp án » 18/06/2021 800
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M,N,P là điểm biểu diễn của 3 số phức: z1=8+3i; z2=1+4i; z3=5+xi.Với giá trị nào của x thì tam giác MNP vuông tại P?
Xem đáp án » 18/06/2021 640
Tìm phần ảo của số phức z, biết z¯=[2+i]2[1-2i]:
Xem đáp án » 18/06/2021 568
Cho các số phức z1=1; z2=2+2i; z3=-1+3i được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là M,N,P, các điểm này lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác EFH. Tọa độ trọng tâm G của tam giác EFH là:
Xem đáp án » 18/06/2021 486
Cho số phức z thỏa mãn: 2+iz+2[1+2i]1+i=7+8i [1]
Chọn đáp án sai?
Xem đáp án » 18/06/2021 469
Tính căn bậc hai của 1+43i
Xem đáp án » 18/06/2021 381
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện -2+i[z-1]=5. Phát biểu nào sau đây là sai:
Xem đáp án » 18/06/2021 373
Cho số phức z=x+yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn z-3z-1+2i=1và biểu thức P=z2-z-2+i[z2-z-2]z[1-i]+z¯[1+i]. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:
Xem đáp án » 18/06/2021 300
Cho số phức z thỏa mãn z+i+1=z¯-2i.
Giá trị nhỏ nhất của z là:
Xem đáp án » 18/06/2021 250
Cho số phức z=[1-2i][4-3i]-2+8i. Cho các phát biểu sau:
[1] Modun của z là một số nguyên tố
[2] z có phần thực và phần ảo đều âm
[3] z là số thuần thực
[4] Số phức liên hợp của z có phần ảo là 3i
Số phát biểu sai là:
Xem đáp án » 18/06/2021 234
Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z-i≥3 và z-1≤5 . Gọi z1,z2∈T lần lượt là các số phức có môdun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức z1+2z2
Xem đáp án » 18/06/2021 199
Mệnh đề nào dưới đây là sai ?
Xem đáp án » 18/06/2021 138
Cho số phức z, biết [2z-1][1+i]+[z¯+1][1-i]=2-2i.
Tìm số phức liên hợp của số phức w=3z-3i
Xem đáp án » 18/06/2021 124