Mời các bạn cùng tham khảo bộ bài tập ôn thi môn Toán cao cấp mà Hoc247.VN đã tổng hợp dưới đây. Bộ câu hỏi bao gồm nhiều câu được tổng hợp từ các chương và được sưu tầm với hình thức ôn thi tự luận. Mỗi câu hỏi đều có gợi ý trả lời chi tiết sẽ giúp các bạn củng cố lại kiến thức. Chúc các bạn ôn thi thật tốt.
BÀI SỐ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT
1. Tìm một hệ nghiệm cơ bản và nghiệm tổng quát của các hệ PTTT thuần nhất
sau
2 2 1 2 3 2 2 3 3 3 1 3
2 3 4 0
. 2 3 4 5 0
3 4 5 6 0
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3
3 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 0
h h h h h h h h h
x y z t a x y z t x y z t
Biến trụ : x,y
Biến tự do:z,t
+
2 3 4 0
2 3 0
x y z t y z t
- Cho z=0,t=1 x=2,y=-3Nghiệm cơ bản:
- Cho z=1,t=0 x=1,y=-2Nghiệm cơ bản:
+ Nghiệm tổng quát hệ thuần nhất :
b.
0
2 0
3 2 2 0
x y z t x y z t x y z t
2 2 1 2 3 2 3 3 3 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
3 2 2 1 0 1 1 2 0 0 0 1
h h h h h h h h h
Biến trụ :x,y,t
Biến tự do :z
+
- Cho z=1→x=0,y=-1,t=0Nghiệm cơ bản :
+ Nghiệm tổng quát hệ thuần nhất :
2. Tìm nghiệm tổng quát của hê PTTT không thuần nhất sau:
a.
2 4 3 1
3 6 3 4 2
2 5 2 4
x y z t x y z t x y z t
2 3 1 2 3 2 3 3 1 3
1 2 4 3 1 1 2 4 3 1 1 2 4 3 1
3 6 3 4 2 0 0 9 5 5 0 0 9 5 5
1 2 5 2 4 0 0 9 5 5 0 0 0 0 0
h h h h h h h h h
Biến trụ :x,z
Biến tư do :y,t
+ Nghiệm cơ bản :
- Cho y=0,t=
- Cho y=1,t=
+ Nghiệm tổng quát hệ thuần nhất:
+ Nghiệm riêng:
- Cho y=t=
Nghiệm tổng quát hệ không thuần nhất:
x=
b.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
2 1
4 5
x x x x x x x x x
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 1 1 1 2
, 2 2 4 2 1 2 6
4 4 2 4 1 4
1 1 2 1 1 2 1 1 1
4 1 2 6; 2 4 2 12 2 1 4 12
2 1 4 4 2 4 4 1 2
6 1; 12 2; 122
6 6 6
x y z
b x y z
x y z
x x x
Bài 1. Bằng định nghĩa, chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua cơ sở của hệ véc tơ:
a] A 1 1, 3 ; A 2 5, 2 ; A 3 1, 0 ; A 4 2,1 . b] A 1 2,1, 1 ; A 2 1, 0, 2 ; A 3 0,1, 3 ; A 4 1, 2, 4 . Bài 1. Cho hệ véc tơ S A 1 1,1, 2 ; A 2 1, 2, 0 ; A 3 1, 0, 0 ; A 4 3, 4, 4 . Chứngminh hệ S 1 A A A 1 ,, 2 3 là một cơ sở của S. Hãy chỉ ra một cơ sở S 2 của S khác S 1.
Bài 1. Cho ví dụ một cơ sở [khác cơ sở chính tắc] của không gian véc tơ 3 và tìm tọa
độ của véc tơ X 2, 1, 3 qua cơ sở đó.
Bài 1. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ:
1 2 3 4 5
1 2 1 3 3 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 0 , 1 1 2 2 1
A A A A A
trong đó Aj là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j.
- Chứng minh rằng, hệ B A A A 2 ,, 4 5 là một hệ độc lập tuyến tính.
- Viết biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế của biểu diễn tuyến tính đó.
- Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 15, 40, 30, 60, 2 0 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5.
Bài 1.* Trong không gian 3 ,cho hai hệ véc tơ:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
,, ,, ,,
A x x x S B y y y C z z z
và
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
, , , , , , , , ,
A x x x x S B y y y y C z z z z
Chứng minh rằng, nếu hệ S độc lập tuyến tính thì hệ S cũng độc lập tuyến tính và nếu hệ S phụ thuộc tuyến tính thì hệ S cũng phụ thuộc tuyến tính.
Bài 1.* Cho AB , là các véc tơ trong không gian n. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng:
- Các hệ véc tơ AB , và A B A B , cùng độc lập tuyến tính hoặc cùng phụ thuộc
tuyến tính.
- h A B , h A B A B , , .
CHỦ ĐỀ 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
Bài 2. Cho hai ma trận:
2 1 3 1 3 4 1 0 2 2 1 2 AB ;.
- Tính A B A B ; ; 2 A 3 B ; 3 A 5 B.
Bài 2. Cho các ma trận:
2 1 1 1 1 21331230 1 0 2 2 3 1 2 4
A ; B ; C.
a] Tính AC C B ; [ 22 ]; A B C T .
b] Tìm ma trận X biết rằng: X 20 AT B 12 x
Bài 2. Cho ví dụ về các ma trận AB , thỏa mãn:
- Tồn tại AB nhưng không tồn tại BA.
- Tồn tại AB , tồn tại BA nhưng AB BA .
- Tồn tại AB , tồn tại BA và AB BA .
Bài 2. Tính định thức của các ma trận sau:
- 32 15 ;
b]
1 0 3 2 2 1 2 4 1
;
c]
3 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 3 1 1 3 1
Bài 2. Sử dụng các tính chất của định thức, hãy giải thích tại sao các định thức sau có giá trị bằng 0?
a]
1 3 0 1 5 0 1 3 0
;
b]
2 1 1 0 0 0 3 5 4
;
c]
2 3 1 1 0 1 3 5 2
;
d]
1 3 1 1 0 2 1 3 3
;
e]
2 1 1 1 0 3 2 1 2 1 1 1 3 5 4 2
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
- 110 13
x ; x
b]
12 21 3 1 1 5 1 1 13
x
x
.
Bài 2. Tìm để mỗi ma trận sau không suy biến:
- 32 5 ;
b]
13 02 3 1 2
.
Bài 2. Cho các ma trận:
2 1 1 1 3 0 2 1 2
A
; 2 1 1 0 1 3 B
;
11 21 03
C.
Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:
- AX C . b] XA CT B.
Bài 2. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau:
a] A 1 0 3 1, , ; A 2 5 3 1, , ; A 3 1 2 0, , .
b] A 1 0 1 2 3, , , ; A 2 3 2 3 0, , , ; A 3 5 3 4 3, , ,.
c] A 1 2 1 3 0 0, , , , ; A 2 3 1 1 2 1, , , , ; A 3 1 0 2 2 0, , , , ; A 4 4 1 1 4 2, , , , .
d] A 1 3 5 1 7, , , , A 2 1 3 3 5, , , , A 3 3 2 5 1, , , , A 4 2 3 0 4, , , , A 5 5 4 7 1, , , .
Bài 2. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị tuyến tính của các hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với mỗi hệ véc tơ sau:
a] A 1 2 1 4, , ; A 2 3 6 5, , ; A 3 9 3 7, , .
b] A 1 1 2 1, , ; A 2 0 1 2, , ; A 3 1 4 1, , ; A 4 1 4 3, , ; A 5 1 5 1, , .
c] A 1 2 1 0 2, , , ; A 2 1 2 1 3, , , ; A 3 1 4 3 5, , , .
d] A 1 2 7 1 4, , , , A 2 3 2 0 1, , , , A 3 5 1 1 5, , , , A 4 3 8 2 3, , , , A 5 3 1 1 3, , , .
- Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán cần thiết để tính số lượng các loại vật liệu thô vừa đủ để sản xuất 120 đơn vị thành phẩm F 1 và 150 đơn vị thành phẩm F 2.
Bài 2. Bảng dưới đây cho biết định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm các loại của một doanh nghiệp:
Loại vật liệu
Định mức vật liệu cho các loại sản phẩm P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 R 1 3 1 2 2 1 R 2 1 2 0 1 3 R 3 2 3 1 2 4
Ký hiệu Pjj ,, 15 là véc tơ thể hiện định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm thứ j.
a] Sử dụng phương pháp khử toàn phần, chứng tỏ rằng B P P P 234 ,, là một cơ sở của
Pjj ,, 15 .
- Viết và nêu ý nghĩa kinh tế của các biểu thị tuyến tính của P 1 và P 5 qua cơ sở B.
- Tính số vật liệu vừa đủ để sản xuất 20 đơn vị sản phẩm P 2 , 30 đơn vị sản phẩm P 3 và
50 đơn vị sản phẩm P 4 , không sản xuất sản phẩm P 1 và P 5.
- Nếu sử dụng hết lượng vật liệu vừa tính ở ý c], hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm P 5 [vẫn không sản xuất sản phẩm P 1 ] thì số lượng của 3 loại sản phẩm còn lại
thay đổi như thế nào? Số đơn vị sản phẩm P 5 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu?
Bài 2. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho hai ma trận
0 3 2 1 3 1 1 3 5 2 0 4 1 2 2 1
AX ,
trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị
sản phẩm loại j , xj cho trong ma trận X là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định
sản xuất ij 1 3, ; 1 4, .
- Sử dụng phép nhân ma trận, tính số lượng vật liệu các loại vừa đủ để sản xuất số lượng các loại sản phẩm cho trong X.
- Ký hiệu Aj là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j 14 ,. Bằng phương pháp khử toàn
phần, tìm biểu diễn tuyến tính của A 3 qua hệ véc tơ A A A 1 ,, 2 4 và nêu ý nghĩa kinh
tế. c] Sử dụng ý nghĩa vừa nêu ở phần b, với điều kiện sử dụng hết số lượng vật liệu được tính ở phần a, nếu hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại 3, thì số lượng các loại sản phẩm còn lại là bao nhiêu và số đơn vị sản phẩm loại 3 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu?
Bài 2. Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 5 loại sản phẩm. Biết định mức của 3 loại vật liệu dùng để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận:
2 4 1 3 5 2 2 3 1 3 1 1 4 3 4
A
với aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị sản
phẩm loại j ij 1 3, ; 1 5, ; xj là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định sản
xuất.
- Ký hiệu Aj là véc tơ cột thứ j của ma trận Aj , 15 ,. Bằng phương pháp khử toàn
phần, chứng minh hệ véc tơ B A A A 1 ,, 3 4 là một cơ sở của hệ Ajj : 15 , .
- Tìm biểu thị tuyến tính của AA 45 , qua B và nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
- Tính tổng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17 đơn vị sản phẩm loại 3, biết rằng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 3 đơn vị sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 là 27 triệu đồng.
Bài 2. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
2 1 1 2 1 1 A 4 1 2 , B 1 1 1 , 322102 2 0 3
với a ij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị sản
phẩm trung gian loại j , bjk cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian loại
j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k i 1, 4; , j k 1, 3 .
- Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120,130, 240 đơn vị sản phẩm trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng.
- Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất được số đơn vị thành phẩm cho trong X.
c] Kí hiệu Ajj 13 , là véc tơ cột thứ j của ma trận A. Tính 32 A 1 A 2 A 3 và nêu ý
nghĩa kinh tế của kết quả vừa tìm được. d] Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của cột 2 trong ma trận AB.
Bài 2: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian sản xuất 5 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
3 1 0 1 2 0 2 1 2 1 1 ; 3 2 1 3 4 104 2 0 1 1 3 4 0 2
AB
Trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i dùng để sản xuất 1 đơn
vị sản phẩm trung gian j và bjk cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian j
dùng để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm k. Cho Y 0 10 15 5 T là véc tơ số đơn vị sản
phẩm trung gian hãng dự định sản xuất.
- Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán để tính số lượng vật liệu thô đủ để
sản xuất số lượng sản phẩm trung gian Y 0. b] Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính.
Bài 2.* Cho hệ véc tơ:
S A 1 1 1 2, , ; A 2 0 1 1, , ; A 3 2 1 1, , ; A 4 3 3 2, , ; A 5 2 1 3, , .
a] Chứng tỏ rằng hệ véc tơ B A A A 1 ,, 2 3 là một cơ sở của S.
b] Hệ véc tơ , A A A 1 3 , 5 có phải là một cơ sở của S hay không? Vì sao?
- Dùng phương pháp khử toàn phần, tìm các biểu thị tuyến tính của AA 45 , qua B.
- Tìm các biểu thị tuyến tính của AA 45 , qua B bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. Bài 2.* Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện A 3 B BA , biết
det B 0. Chứng minh rằng A là ma trận không khả nghịch.
Bài 2.* Cho A là ma trận vuông cấp 3, biết AA 12 3 tính A.
Bài 2.* Cho A là ma trận vuông cấp 2021 thỏa mãn AA 1 . Tính AI .
Bài 2.* Cho ma trận 17 6 35 12 A.
Tính A 6.
Bài 2.* Tính định thức của các ma trận sau:
a]
1 2 3 223 333
... ... ... ... ... ... ... ...
n n n n n n n n
b]
0 1 2
1
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n n
a ax ax
ax ax
Bài 2.* Cho ma trận
2 3 1 0 1 2 14
A
, 1 0 2 1 3 1 B
- Tìm để ma trận A là không suy biến. b] Với 1 hãy tìm ma trận X thỏa mãn XA B X , bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
Bằng phương pháp khử toàn phần, tìm công thức nghiệm tổng quát của hệ đã cho và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ thỏa mãn 41 xx 24 .
Bài 3. Tìm một nghiệm không âm của hệ ràng buộc sau
a]
1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 3 4 5
2 2 3 3 5 2 2 2 2 3
x x x x x x x x x x x x x x
; b]
1 2 3 5 1 2 4 1 2 3 4 5
3 3 7 2 2 2 12 4 2 2 12
x x x x x x x x x x x x
.
Bài 3. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương pháp khử toàn ph ần
a]
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
2 3 4 2 2 3 5 3 3 j 0, 1, 5
x x x x x x x x x x x x xj
; b]
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 2 1 2 3 2 1 20. 0, 1, 5.
j
x x x x x x x x x x x x x x x xj
Bài 3. Chuyển các hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ:
a]
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 4 23 3 4 5 j 0, 1, 3
x x x x x x x x x xj
; b]
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
29 2 2 10 3 4 4. j 0, 1, 4
x x x x x x x x x x x x xj
Bài 3. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các ma trận
1 2 3 4 2 1 1 2 28 1 2 3 1 , 49 , 4 3 5 7 , , 2 1 1 3 33
A B C X x x x x T
trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị
sản phẩm loại j , bi cho trong ma trận B là số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử
dụng, cj cho trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và xj cho trong ma
trận X là sản lượng sản phẩm loại j ij 1, 3; 1, 4.
- Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể sản xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B. Tìm một nghiệm cơ sở, với x x x 234 ,, là các
ẩn cơ sở, của hệ này bằng phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được.
- Ký hiệu Aj là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j 1, 4. Sử dụng kết quả của ý a], viết
biểu diễn tuyến tính của A 1 qua hệ véc tơ A A A 234 ,, và nêu ý nghĩa kinh tế của nó. Dựa
vào ý nghĩa vừa nêu, nếu hãng sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm loại 1, với điều kiện vẫn sử dụng hết số vật liệu cho trong B , thì tổng số lãi thay đổi như thế nào?
Bài 3. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các véc tơ
1 2 1 2 3 4 3 4
4 3 2 1 4 155 3 4 , 3 , 2 , 2 , 160 , , 2 4 1 3 195 5 7
x x A A A A B C X x x
trong đó Akk , 1, 4 là véc tơ định mức thể hiện số đơn vị vật liệu các loại đủ dùng để sản
xuất 1 đơn vị sản phẩm loại k , B là véc tơ thể hiện số lượng đơn vị vật liệu các loại mà hãng sử dụng, cj trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và xj cho trong
ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j j 1, 4
- Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể sản xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B.
- Tìm một nghiệm cơ sở, với x x x 234 ,, là các ẩn cơ sở, của hệ lập được trong ý a] bằng
phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được.
Bài 3. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận
3 1 0 2 1 1 2 1 1 , 1 0 1 , 1 0 4 1 2 2 4 0 2
AB
trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị
sản phẩm trung gian loại j , bjk cho trong ma trận B là số lượng đơn vị sản phẩm trung
gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k ik 1, 4; j, 1, 3.
- Tính số đơn vị vật liệu thô các loại vừa đủ để sản xuất 320, 150, 430 đơn vị sản phẩm trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng.
- Viết hệ ràng buộc tuyến tính để xác định sản lượng mỗi loại thành phẩm nếu hãng sử dụng hết số sản phẩm trung gian cho ở ý a]. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm nghiệm của hệ đó.
- Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính.
Bài 3. Một hãng sự định sẽ sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, D. Định mức về chi phí vật liệu và lợi nhuận [1 đồng] trên 1 đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau:
Sản phẩm A B C D Chi phí vật liệu 3 2 3 1 Chi phí tiền công 1 3 1 4 Lợi nhuận 2 1 1 3 a] Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm cần sản xuất sao cho tổng chi phí vật liệu 290 triệu đồng, tổng chi phí tiền công không quá 410 triệu đồng và tổng số lợi nhuận không dưới 320 triệu đồng.
- Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm số sản phẩm mỗi loại cần sản xuất thỏa mãn các yêu cầu ở câu a] , biết rằng công ty chỉ sản xuất các sản phẩm A, B và D.
Bài 3. Người ta sử dụng 3 loại thảo dược I, II và III để chiết xuất ra 2 loại hóa chất A và B. Lượng hóa chất mỗi loại và chi phí [triệu đồng] tính trên 1 đơn vị thảo dược mỗi loại khi chiết xuất được cho ở bảng sau:
Thảo dược I II III Hóa chất A 5 1 3 Hóa chất B 3 2 3 Chi phí 8 5 6
Mỗi loại dược liệu cần sử dụng bao nhiêu để chiết xuất được tối thiểu: 200 đơn vị hóa chất A, 150 đơn vị hóa chất B và chi phí không vượt quá 350 triệu đồng?
Bài 3. Một công ty sử dụng 3 loại dược liệu [DL] I, II, III để chiết xuất ra 3 loại hóa chất [HC] A, B, C. Biết số đơn vị [đv] hóa chất mỗi loại chiết xuất được từ một đơn vị dược liệu tương ứng được cho trong bảng sau :
DL HC
I II III
A 2 4 5 B 3 1 2 C 3 2 4
- Bằng phương pháp khử toàn phần, chỉ ra một phương án mua các loại dược liệu đưa vào chiết xuất để công ty thu được lượng hóa chất tối thiểu loại 2 và 3 lần lượt là 15, 22 đv và vừa đúng 28 đv hóa chất loại 1.
- Nếu giá của 1 đơn vị dược liệu I, II, III lần lượt là 120, 180, 150 nghìn đồng thì chi phí mua dược liệu của công ty là bao nhiêu?
Bài 3. Một doanh nghiệp lựa chọn phương án phân bổ vốn đầu tư vào 3 dự án I, II, III. Số đơn vị [đv] việc làm và số đv chất thải tạo ra tính trên 1đv vốn đầu tư đối với mỗi dự án tương ứng được cho trong bảng sau:
Dự án I II III Số đv việc làm 6 4 7 Số đv chất thải 1 1 2
Cho biết tổng số vốn đầu tư không quá 45 đv, tổng số việc làm tạo ra không dưới 210 đơn vị và số chất thải tạo ra vừa đúng 50 đơn vị. Bằng phương pháp khử toàn phần, hãy chỉ ra một phương án phân bổ vốn đầu tư vào các dự án.
Bài 3. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và
lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường pii 1, 3 của cả
3 loại hàng hóa và được cho bởi:
Hệ phương trình cung
11 22 33
5
10 3
s s s
qp qp qp
và hệ phương trình cầu
1 1 3 2 2 3 3 1 2 3
10 2 26 12
d d d
q p p q p p q p p p
trong
đó là tham số thực. Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu qsdii q i , 1, 3.
- Viết hệ phương trình xác định các mức giá p p p 1 ,, 2 3 làm cân bằng cả ba thị trường của
cả ba loại hàng hóa trên dưới dạng ma trận và tìm điều kiện của để hệ phương trình thu được là hệ Cramer.
- Với 2 , sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo xác định các mức giá cân bằng thị trường của ba loại hàng hóa trên.
Bài 3. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và
lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường pii 1, 3 của cả
3 loại hàng hóa và được cho bởi:
Hệ phương trình cung
11 22 33
12 14 2 93
s s s
qp qp qp
, và hệ phương trình cầu
1 1 2 2 1 2 3 3 1 2
20 3 17 2 2 70 3
d d d
q p p q p p p q p p
trong đó là tham số thực. Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu qiisd q i , 1, 3.
CHỦ ĐỀ 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài 4. Sử dụng định nghĩa, kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương sau:
####### a] q X 4 x 1223 x x 1 22 , x 2 trong 2 ;
####### b] q X x 1226 x x 1 29 , x 2 trong 2 ;
####### c] q X 4 x 12 x 22 2 x 32 2 x x 1 2 6 x x 1 3, trong 3.
Bài 4. Viết lại các dạng toàn phương sau dưới dạng ma trận và kiểm tra tính xác định dấu của các dạng toàn phương đó bằng cách sử dụng phương pháp tính các định thức con chính dẫn đầu.
- q x x x 1 , 2 , 3 x 1224 x x 1 2 x 2 x x 1 3 4 x x 2 3.b] q x x x 1 , 2 , 3 2 x 222 x 3 6 x x 1 2 2 x x 1 3 4 x x 2 3.c] q x x x 1 , 2 , 3 4 x 12 x 222 x 32 2 x x 1 2 6 x x 1 3.
####### Bài 4. a] Cho dạng toàn phương q x x x 1 , 2 , 3 2 x 12 3 x 22 x 32 4 x x 1 2 3 x x 1 3 5 x x 2 3
####### a] Hãy chỉ ra 2 ma trận A, B khác nhau sao cho q x x x 1 ,, 2 3 X AXTTX BX và kiểm tra
tính xác định dấu của dạng toàn phương đó.
- Cho ma trận
13 1 4 2 2 7 5
A
. Tìm để X AT X 0, X 03.c] Cho dạng toàn phương
1 1 2 3 2 3
1 1 1 [ ] , , 5 7 0 12
x q X x x x x x
####### . Viết lại qX dưới dạng
####### giải tích và tìm điểu kiện của để qX là dạng toàn phương xác định âm.
Bài 4. Cho dạng toàn phương q x x x 1 , 2 , 3 2 x 12224 x 2 2 x 3 4 x x 1 2 x x 2 3 2 x x 1 3, với
là tham số thực.
####### a] Tìm sao cho q 1,1, 2 20.
- Với 0 , viết dạng toàn phương đã cho về dạng ma trận và kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương đó.
Bài 4. Hãy cho một ma trận vuông A có cấp 2 mà dạng toàn phương q X [] X AXT
không xác định dấu. Sau đó, chỉ ra 2 véc tơ X X 1 , 2 2 : Q X Q X 120.
Bài 4. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xpii , lần lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i [ i 1, 2, 3]. Biết sản lượng của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau:
x 1 35 mp 1 p 2 p x 3 , 2 35 p 1 2 p 2 p x 3 , 3 20 p 1 p 2 2. p 3
- Giả sử sản lượng của ba hãng lần lượt là 90; 60 và 80 , tìm điều kiện của tham số m để doanh thu của hãng thứ nhất bằng tổng doanh thu của hai hãng còn lại.
- Với m tìm được ở câu a], hãy biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của hãng 1 và hãng 2.
Bài 4. Ba hãng cùng tham gia sản suất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xpii , lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i , [ i = 1, 2, 3]. Biết giá bán sản phẩm của mỗi hãng phụ thuộc vào sản lượng của tất cả các hãng như sau:
p 1 340 2 x 1 x 3 , p 2 380 2 x 1 3 x 2 2 x 3 , p 3 240 2 x 2 4 x 3
- Biểu diễn dưới dạng biểu thức ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến x x x 1 ,, 2 3. Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức của hàm
tổng doanh thu đó.
- Biểu diễn dưới dạng biểu thức ma trận của hàm tổng doanh thu của hai hãng 1 và 2 theo x x x 1 ,, 2 3.
Bài 4. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xpii , lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i [ i 1, 2, 3]. Biết sản lượng của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau :
x 1 40 2 p 1 2 p 2 2 p x 3 , 2 90 p 1 2 p 2 4 p x 3 , 3 70 p 1 p 2 2. p 3
- Hãy tính tổng doanh thu của cả ba hãng, biết rằng sản lượng của ba hãng lần lượt là 130, 105 và 125.
- Tính và biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến p p p 1 ,, 2 3. Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức của hàm