Đường trung bình của hình thang là gì, công thức tính đường trung bình của hình thang như thế nào? Mời các bạn tham khảo bài viết dưới đây để có câu trả lời nhé.
Đường trung bình của hình thang là gì?
Đường trung bình của hình thang là là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lý về đường trung bình của hình thang
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Công thức tính đường trung bình của hình thang
Đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.
Hình thang ABCD[AB//CD] có E, F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC.
Như vậy, EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
Khi đó: AB//CD//EF và
Từ công thức tính đường trung bình của hình thang này, các bạn có thể kết hợp với công thức tính diện tích hình thang, công thức tính đường cao hình thang, công thức tính chu vi của hình thang để giải các bài tập về hình thang.
Bài tập về tính đường trung bình của hình thang
Bài 1: [Bài 25 trang 80 SGK toán 8 tập 1]
Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
Giải:
Để chứng minh 3 điểm E, F, K thẳng hàng ta có thể chứng minh 2 trong 3 đoạn EK, FK, EF cùng // với AB và CD [theo tiên đề Ơcolit] thông qua tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.
Xét hình thang ABCD, có:
E là trung điểm của cạnh bên AD [gt]
F là trung điểm của cạnh bên BC [gt]
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD [theo định lí 3]
⇒ EF // AB // CD [theo định lí 4] [1]
Xét △ABD△ABD, có:
E là trung điểm của AD [gt]
K là trung điểm của BD [gt]
⇒ EK là đường trung bình của tam giác ABD [theo định lí 1]
⇒ EK // AB [theo định lí 2] [2]
Từ [1], [2] ⇒ E, F, K thẳng hàng [Theo tiên đề Ơcơlit].
Bài 2: Một hình thang cân có cạnh bên là 2,5cm, đường trung bình là 3cm. Tính chu vi của
hình thang đó.
Giải:
Tổng hai cạnh đáy của hình thang là : 3 x 2 = 6 [cm]
Chu vi hình thang là : 6 + 2,5 + 2,5 = 11 [cm]
Đáp số : 11 cm
Sau đây THPT Sóc Trăng sẽ chia sẻ đến các bạn công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác cực hay và các dạng toán thương gặp. Hãy chia sẻ để nắm chắc hơn phần kiến thức Hình học 12 vô cùng quan trọng này bạn nhé !
I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến trong tam giác là gì?
Bạn đang xem: Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác & các dạng bài tập
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.
Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:
- 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
- Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
– Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân
- Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau
II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
Công thức:
Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.
Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác
ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
Lời giải:
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Đặt BE = mb, CD = mc
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Vậy b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. [đpcm]
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến [là độ dài đoạn thẳng] nên nó luôn dương, do đó:
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.
b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.
Lời giải:
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
HB = HC
Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC [tam giác ABC cân tại A]
AH chung
HB = HC
⇒ ΔAHB = ΔAHC [c – c – c]
b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC [1]
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC [2]
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I
Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến [là độ dài đoạn thẳng] nên nó luôn dương, do đó:
Bài 3: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP
Lời giải:
Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP
Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M
=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
=> MI ﬩ NP
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:
a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau
b. KB = KC
c. BC < 4KM
Lời giải:
a. Ta có: AB = AC [gt]
⇒ BN = CM
Xét ΔBCN và ΔCBM có:
BC là cạnh chung
BN = CM
Nên tam giác KBC cân tại A
Suy ra KB = KC
c. Xét ΔABC có:
NA = NB [CN là đường trung tuyến]
MA = MC [MB là đường trung tuyến]
Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC
Xét tam giác NKM có:
NM < NK + KM [bất đẳng thức Cauchy trong tam giác]
NK = CN – CK
⇒ BC/2 < CN – CK + KM [1]
ΔBNC = ΔCMB ⇒ CN = BM [2]
Tam giác KBC cân tai K ⇒ CK = BK [3]
Từ [1], [2], [3] ⇒ BC/2 < BM – BK + KM
⇒ BC/2 < 2KM
⇒ BC < 4KM
Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a] M là trung điểm của CD
b] AM =
Hướng dẫn giải
a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác
Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b. A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra AM = 1/2 BC
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn giải
Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC
Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm
Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:
BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm
Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm
Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm
Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:
EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm
Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:
BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm
Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:
AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 [cm]
Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? [cho BC = a, CA = b, AB = c]
Lời giải:
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Đáp án A
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến
Hướng dẫn giải:
BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Đáp án B
Trên đây THPT Sóc Trăng đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác cực hay và các dạng toán thương gặp. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách tính tọa độ trọng tâm tam giác nữa bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng