Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Tính thể tích V của khối trụ đã cho.
D. \[V =5 \pi {a^3}\]
Last edited by a moderator: Jul 10, 2021
Thiết diện qua trục của hình trụ
Cách xác định thiết diện của hình trụ cực hay
Cách xác định thiết diện của hình trụ cực hay
Bài giảng: Tất tần tật về Mặt trụ – Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
A. Phương pháp giải & Ví dụ
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay [có bán kính là r] bởi một mặt phẳng [α] vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
Liên quan: thiết diện qua trục của hình trụ
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay [có bán kính là r] bởi một mặt phẳng [α] không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng
– Cho mặt phẳng [α] song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.
+ Nếu k < r thì mặt phẳng [α] cắt mặt trụ theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu k = r thì mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu k > r thì mặt phẳng [α] không cắt mặt trụ.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a, tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối trụ
Hướng dẫn:
Thiết diện là hình vuông ABCD cạnh 2a
Đường cao của hình trụ là AB = 2a, bán kính đáy OB = a.
Diện tích xung quanh của khối trụ là: Sxq = 2πrh=2π.a.2a=4πa2
Diện tích toàn phần của khối trụ là Stp = 2πrh+2πr2=4πa2+2πa2=6πa2
Thể tích của khối trụ là: V=πr2 h=π.a2.2a=2πa3
Bài 2: Khối trụ có bán kính đáy R = a .Thiết diện song song với trục và cách trục khối trụ một khoảng bằng a/2 là hình chữ nhật có diện tích bằng a2 √3 .Tính thể tích khối trụ
Hướng dẫn:
∆BOC cân tại O có OH là đường cao
⇒ H là trung điểm của BC
ABCD là hình chữ nhật nên:
SABCD = AB.BC=AB.a√3=a2 √3⇒ AB=a
Thể tích của khối trụ là:
V=πr2 h=π.a2.a= πa3
Bài 3: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD = 12 cm và góc ACD bằng 60º. Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn:
Xét tam giác ADC vuông tại C có:
Thể tích của khối trụ là:
V=πr2 h=π.[2√3]2.12=144π
Bài 4: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5a và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7a. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3a. Tính diện tích của thiết diện.
Hướng dẫn:
Thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABCD có AB = 7a
Từ O kẻ OH vuông góc với BC
⇒ OH=3a
∆BOC cân tại O có OH là đường cao
⇒ H là trung điểm của BC
Diện tích của thiết diện là:
SABCD = AB.BC=7a.8a = 56a2
Bài 5: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4π, thiết diện qua trục là một hình vuông. Một mp [P] song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung 120º. Tính diện tích thiết diện ABB’A’ .
Hướng dẫn:
Gọi h, r là chiều cao và bán kính đáy của trụ.
Thiết diện qua trục là hình vuông BCC’B’ cạnh a
Dây AB căng cung 120º nên ∠[BOA] = 120º
Xét tam giác BOA có :
Diện tích thiết diện BAA’B’ là :
S=AB.BB’=2√3
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi V là thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ và V’ là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số V/V’
Bài 2: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2√3cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc AB sao cho ∠ ABM = 60º. Thể tích của khối tứ diện ACDM. bằng:
Bài 3: Một hình trụ [T] có diện tích xung quanh bằng 4π và thiết diện qua trục của hình trụ này là một hình vuông. Diện tích toàn phần của [T] là :
Bài 4: Cho một hình trụ [H] có trục ∆. Một mặt phẳng [P] song song với trục ∆ và cách trục ∆ một khoảng k. Nếu k > r thì kết luận nào sau đây là đúng:
A. Mp [P] tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
B. Mp [P] cắt mặt trụ theo hai đường sinh.
C. Mp [P] cắt mặt trụ theo một đường sinh.
D. Mp [P] không cắt mặt trụ.
Bài 5: Khối trụ [T] có bán kính đáy là R và thiết diện qua trục là một hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ [T] trên tính theo R bằng:
Bài 6: Cắt hình trụ [T] bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm2 và chu vi bằng 26cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ [T]. Diện tích toàn phần của [T] là:
Bài 7: Cắt hình trụ [T] bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2cm được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 16cm2. Thể tích của [T] là:
Bài 8: Một hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy bằng 5. Mặt phẳng [P] song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng [P] là:
Bài 9: Khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng a. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai:
Bài 10: Cho hình trụ có trục O1 O2. Một mặt phẳng [α] song song với trục O1 O2, cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy hình trụ. Góc ∠[O1 OO2] bằng
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ
- Dạng 1: Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ
- Dạng 2: Thiết diện của hình trụ
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Danh mục: Tin Tức
Nguồn: //banmaynuocnong.com
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại banmaynuocnong.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác