3 cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn
– Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn.
– Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn.
– Cách 3: Chứng minh hệ thứcMA2 = MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Bài tậpminh họa có lời giải
Bài 1:
Cho ΔABC nội tiếp đường tròn [O], [AB < AC]. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2= MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Hướng dẫn giải:
Xét ΔMAC và ΔMBA có
Kẻ đường kính AD của [O]
Ta có
Mà
Suy ra
Từ [3] và [4] suy ra
⇒ OA⊥ MA
Do A∈ [O]
⇒ MA là tiếp tuyến của [O].
Bài 2:
Hướng dẫn giải:
⇒ ΔOHM = Δ OCM [cạnh huyền – góc nhọn]
⇒ OH = OC = R [hai cạnh tương ứng]
⇒ H∈ [O;R]
Do đó d là tiếp tuyến của [O;R].
Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhai tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Hướng dẫn giải:
Gọi O là trung điểm của AH.
Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có:
Tam giác AEH vuông tại E và có EO là trung tuyến nên ta có:
Suy ra: OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Ta có:
[tam giác OAD cân tại O]
Tam giác BDC vuông tại D có DI là trung tuyến nên:
Suy ra: tam giác ICD cân tại I
Do đó:
H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AH⊥ BC tại F.
Khi đó:
Từ [1], [2] và [3] ta có:
Ta có: OD⊥ DI, D thuộc đường tròn [O] nên ID tiếp xúc với [O] tại D.
Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với [O] tại E.
Bài tập vận dụng
Bài 1.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của [O] [Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB]. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho
Khi đó:
a. CD tiếp xúc với đường tròn [O]
b. CD cắt đường tròn [O]
c. CD không có điểm chung với [O]
d. CD = R2
Trả lời:
Đáp án đúng là a
Vì: Trên tia đổi của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC.
Ta có:
Mà AC = BE⇒ BE.BD = R2= OB2
⇒△DOE vuông tại O
⇒ OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của△CDE nên OD cũng là đường phân giác.
⇒△OHD =△OBD [tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau]
⇒ OH = OB⇒ CD tiếp xúc với đường tròn [O].
Bài 2.Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau ở I. Khi đó:
a. AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
b. BKlà tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
c. BHlà tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
d. HKlà tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
Trả lời:
Đáp án đúng là d
Vì, gọi O là trung điểm của AI thì KO là đường trung tuyến của tam giác vuông AKO.
⇒ AO = IO = OK.
Ta cần chứng minh OK⊥ HK, dựa vào tính chất△AOK cân. Từđó suy ra rằng HK là tiếp tuyến củađường trònđường kính AI.
Bài 3.Cho đường tròn [O] đường kính AB, lấy điểm M sao cho A nằm giữa B và M. Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc với đường tròn [O] tại C. Từ O hạ đường thẳng vuông góc với CB và cắt tia MC tại N. Khẳng định nào sau đây không đúng?
a. BN là tiếp tuyến của đường tròn [O]
b. BC là tiếp tuyến của đường tròn [O, OH]
c. OC là tiếp tuyến của đường tròn [O, ON]
d. AC là tiếp tuyến của đường tròn [C, BC]
Trả lời:
Đáp án đúng là: b
Vì góc OCN bằng90onên ba điểm O, C, N cùng thuộc đường tròn đường kính ON. Do đó OC là một dây cung, không thể là tiếp tuyến của đường tròn đường kính ON.
Bài 4.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Khi đó:
a. EF là tiếp tuyến của đường tròn [H, HI]
c. EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [I] và [J].
d. IF là tiếp tuyến của đường tròn [C, CF]
Trả lời:
Đáp án đúng là b.
Vì tứ giác AEHK có:
Nên AEHK là hình chữ nhật
⇒ EF cắt AH tại trung điểm I của AH
⇒ EF là đường kính của đường tròn [I]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Cô Phạm Thị Huệ Chi [Giáo viên VietJack]
1. Tính chất của tiếp tuyến
Quảng cáo
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình vẽ Δ là tiếp tuyến ⇒ Δ ⊥ OH [H là tiếp điểm].
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Để nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn ta có hai dấu hiệu sau:
+ Dấu hiệu 1: Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung [định nghĩa tiếp tuyến].
+ Dấu hiệu 2: Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Cụ thể bằng các hiểu sau:
3. Ví dụ cụ thể
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 3cm; Ac = 4cm; BC = 5cm. Vẽ đường tròn [B; BA]. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn
Hướng dẫn:
Ta có: AB2 + AC2 = BC2
⇒ ΔABC là tam giác vuông tại A.
hay AC ⊥ AB
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của tiếp tuyến ta có:
+ AC với đường tròn [B] có một điểm chung là A.
+ Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với bán kính BA.
⇒ AC là tiếp tuyến của đường tròn [B; BA]
Quảng cáo
Câu 1: Cho đường tròn [O; 12], điểm M cách O 20. Vẽ tiếp tuyến AM với A là tiếp điểm
Quảng cáo
a] Tính MA
b] Vẽ dây AB vuông góc với OM. Chứng minh MB là tiếp tuyến
a] Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:
b] Gọi H là giao điểm của AB với OM
Xét hai tam giác OAH và OBH là hai tam giác vuông tại H
Có: OH chung; OA = OB = R
⇒ ΔOAH = ΔOBH nên HA = HB
Tam giác MAB có MH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên MAB cân tại M
Vậy MB là tiếp tuyến của đường tròn
Câu 2: Cho đường tròn [O] đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn sao cho
Các bài Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.