Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán khá quan trọng nằm trong chương trình Toán 8. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bao gồm lý thuyết, các phương pháp và các bài luyện tập chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng với tài liệu này sẽ giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu ôn tập giải toán lớp 8, củng cố và nâng cao các kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo.
Bạn đang xem: Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao
I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửIII. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tửIV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử1. Định nghĩa:Phân tích đa thức thành nhân tử [hay thừa số] là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.Ví dụ:a] 2x2+ 5x - 3 = [2x - 1].[x + 3]b] x - 2
[A + B]2 = A2 + 2AB + B2[A - B]2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = [A + B][A - B][A+B]3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3[A - B]3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3A3 + B3 = [A+B] [A2 - AB + B2]A3 - B3 = [A - B][A2 + AB + B2]c] Phương pháp nhóm hạng tử:Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.Ví dụ:1. x2 – 2xy + 5x – 10y = [x2– 2xy] + [5x – 10y] = x[x – 2y] + 5[x – 2y]= [x – 2y][x + 5]2. x - 3+ y – 3y = [x - 3] + [y – 3y]= [ - 3] + y[ - 3]= [- 3][ + y]d. Phương pháp tách một hạng tử:[trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm]Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c [] nếuVí dụ:a] 2x2-3x + 1= 2x2 - 2x - x +1= 2x[x - 1] - [x - 1]= [x - 1][2x - 1]e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:Ví dụ:a] y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2 = [y2 + 8]2 - [4y]2= [y2 + 8 - 4y][y2 + 8 + 4y]b] x2+ 4 = x2+ 4x + 4 - 4x = [x + 2]2 - 4x= [x + 2]2 - =f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:Ví dụ:a] a3-a2b - ab2 + b3 = a2[a - b] - b2[a - b]=[a - b] [a2 - b2]= [a - b] [a - b] [a + b]= [a - b]2[a + b]Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a] 14x2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x[2x - 3y2 + 4xy2]b] 2[x + 3] – x[x + 3] = [x+3][2-x]c] x2+ 4x – y2+ 4 = [x + 2]2 - y2 = [x + 2 - y][x + 2 + y]Bài 2: Giải phương trình sau :2[x + 3] – x[x + 3] = 0Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:a]8x3+ 4x2 - y3 - y2 = [8x3 - y3] + [4x2 - y2]b] x2+ 5x -6 = x2 + 6x - x - 6= x[x + 6] - [x + 6]= [x + 6][x - 1]c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 - 8a2= [a2 + 4]2 - [a]2= [a2 + 4 +a][ a2 + 4 - a]Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:a] [x5+ x3+ x2 + 1]:[x3 + 1]b] [x2-5x + 6]:[x - 3]Giải:a] Vì x5+ x3+ x2 + 1= x3[x2 + 1] + x2 + 1= [x2 + 1][x3 + 1]nên [x5 + x3 + x2 + 1]:[x3 + 1]= [x2 + 1][x3 + 1]:[x3 + 1]= [x2 + 1]b]Vì x2 - 5x + 6= x2 - 3x - 2x + 6= x[x - 3] - 2[x - 3]= [x - 3][x - 2]nên [x2 - 5x + 6]:[x - 3]= [x - 3][x - 2]: [x - 3]= [x - 2]Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:a] x2- y2 - 2x + 2yb] 2x + 2y - x2 - xyc] 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2d] x2 - 25 + y2 + 2xye] a2+ 2ab + b2 - ac - bcf] x2 - 2x - 4y2 - 4yg] x2y - x3- 9y + 9xh] x2[x -1] + 16[1- x]Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:1] 4x2 – 25 + [2x + 7][5 – 2x]2] 3[x+ 4] – x2 – 4x3] 5x2 – 5y2 – 10x + 10y4] x2 – xy + x – y5] ax – bx – a2 + 2ab – b2 \6] x2 + 4x – y2 + 47] x3 – x2 – x + 18] x4 + 6x2y + 9y2 - 1
Xem thêm: Luyện Tập Về Nhân Hai Số Nguyên Khác Dấu Sách Giáo Khoa Toán Lớp 6
9] x3 + x2y – 4x – 4y10] x3 – 3x2 + 1 – 3x11] 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z212] x2 – 2x – 1513] 2x2 + 3x – 514] 2x2 – 1815] x2 – 7xy + 10y216] x3 – 2x2 + x – xy2
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử : Tài liệu gồm 32 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Đại số 8 chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức. Hãy tham khảo với onthihsg ngay nhé.
Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử [hay thừa số] là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.
Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.
A + B = C.A1 + C.B1 = C[A1 + B1]
Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.
a. 20x – 5y
b] 4x2y – 8xy2+ 10x2y2
c. 5x[x – 1] – 3x[x – 1]
d. 20x2y – 12x3
e. x[x + y] – 6x – 6y
g. 8x4+ 12x2y4 – 16x3y4
h. 6x3– 9x2
i. 4xy2 + 8xyz
Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a. 3x[x +1] – 5y[x + 1]
b. 3x3[2y – 3z] – 15x[2y – 3z]2
c. 3x[x – 6] – 2[x – 6]
d. 3x[z + 2] + 5[-x – 2]
đ. 4y[x – 1] – [1 – x]
e. 18x2[3 + x] + 3[x + 3]
g. [x – 3]3+ 3 – x
h. 14x2y – 21xy2 + 28x2y2
i. 7x[x – y] – [y – x]
k. 10x[x – y] – 8y[y – x]
Bài toán 3 : Tìm x biết.
a. 4x[x + 1] = 8[x + 1]
b. x[x – 1] – 2[1 – x] = 0
c. 2x[x – 2] – [2 – x]2= 0
d. [x – 3]3+ 3 – x = 0
e. 5x[x – 2] – [2 – x] = 0
g] 5x[x – 2000] – x + 2000 = 0
h] x2– 4x = 0
k] [1 – x]2 – 1 + x = 0
m] x + 6x2 = 0
n] [x + 1] = [x + 1]2
Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.
Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a] 4x2– 1
b] 25x2– 0,09
c] 9x2 –
d] [x – y]2– 4
e] 9 – [x – y]2
f] [x2 + 4]2 – 16x2
Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a] x4– y4
b] x2 – 3y2
c] [3x – 2y]2 – [2x – 3y]2
d] 9[x – y]2– 4[x + y]2
e] [4x2 – 4x + 1] – [x + 1]2
f] x3+ 27
g] 27x3– 0,001
h] 125x3 – 1
Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a] x4+ 2x2 + 1
b] 4x2 – 12xy + 9y2
c] -x2– 2xy – y2
d] [x + y]2 – 2[x + y] + 1
e] x3– 3x2+ 3x – 1
g] x3 + 6x2 + 12x + 8
h] x3+ 1 – x2 – x
k] [x + y]3 – x3 – y3
Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a] x2– x – y2 – y
b] x2 – 2xy + y2 – z2
c] 5x – 5y + ax – ay
d] a3– a2x – ay + xy
e] 4x2– y2+ 4x + 1
f] x3 – x + y3 – y
Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] x2– y2 – 2x + 2y
b] 2x + 2y – x2 – xy
c] 3a2– 6ab + 3b2 – 12c2
d] x2 – 25 + y2 + 2xy
e] a2+ 2ab + b2 – ac – bc
f] x2 – 2x – 4y2 – 4y
g] x2y – x3– 9y + 9x
h] x2[x -1] + 16[1- x]
Phương pháp:
Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
hoặc:
Ví dụ :
a] y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 – 16y2
= [y2 + 8]2 – [4y]2
= [y2 + 8 – 4y][y2 + 8 + 4y]
Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:
a] x4+ 16
b] x4y4 + 64
c] x4y4 + 4
d] 4x4y4+ 1
e] x4+ 1 f] x8 + x + 1
g] x8 + x7+ 1
h] x8+ 3x4 + 1
k] x4 + 4y4
Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :
a] a2– b2 – 2x[a – b]
b] a2 – b2 – 2x[a + b]
Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a] x4y4+ 4
b] 4x4 + 1
c] 64x4 + 1
d] x4 + 64
Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
a] 16x4[x – y] – x + y
b] 2x3y – 2xy3– 4xy2– 2xy
c] x[y2– z2] + y[z2– x2] + z[x2 – y2]
Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a] 4x – 4y + x2– 2xy + y2
b] x4 – 4x3 – 8x2 + 8x
c] x3+ x2– 4x – 4
d] x4 – x2 + 2x – 1
e] x4+ x3+ x2 + 1
f] x3 – 4x2 + 4x – 1
Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a] x3+ x2y – xy2 – y3
b] x2y2 + 1 – x2 – y2
c] x2– y2– 4x + 4y
d] x2 – y2 – 2x – 2y
e] x2– y2– 2x – 2y
f] x3 – y3 – 3x + 3y
Bài toán 5 : Tìm x, biết.
a]x3– x2 – x + 1 = 0
b] [2x3 – 3]2 – [4x2 – 9] = 0
c] x4+ 2x3– 6x – 9 = 0
d] 2[x + 5] – x2 – 5x = 0
Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a. A = x2– x + 1
b. B = 4x2+ y2 – 4x – 2y + 3
c. C = x2+ x + 1
d] D = x2 + y2 – 4[x + y] + 16
e] E = x2 + 5x + 8
g] G = 2x2 + 8x + 9
Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a. A = -4x2– 12x
b] B = 3 – 4x – x2
c] C = x2 + 2y2+ 2xy – 2y
d] D = 2x – 2 – 3x2
e] E = 7 – x2– y2– 2[x + y]
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a] 14x2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x[2x – 3y2 + 4xy2]
b] 2[x + 3] – x[x + 3] = [x+3][2-x]
c] x2+ 4x – y2+ 4 = [x + 2]2 – y2 = [x + 2 – y][x + 2 + y]
Bài 2: Giải phương trình sau :
2[x + 3] – x[x + 3] = 0
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = –3: x2 = 2
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a]8x3+ 4x2 – y3 – y2 = [8x3 – y3] + [4x2 – y2]
b] x2+ 5x –6 = x2 + 6x – x – 6
= x[x + 6] – [x + 6]
= [x + 6][x – 1]
c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 – 8a2
= [a2 + 4]2 – [a]2
= [a2 + 4 +a][ a2 + 4 – a]
Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:
a] [x5+ x3+ x2 + 1]:[x3 + 1]
b] [x2–5x + 6]:[x – 3]
Giải:
a] Vì x5+ x3+ x2 + 1
= x3[x2 + 1] + x2 + 1
= [x2 + 1][x3 + 1]
nên [x5 + x3 + x2 + 1]:[x3 + 1]
= [x2 + 1][x3 + 1]:[x3 + 1]
= [x2 + 1]
b]Vì x2 – 5x + 6
= x2 – 3x – 2x + 6
= x[x – 3] – 2[x – 3]
= [x – 3][x – 2]
nên [x2 – 5x + 6]:[x – 3]
= [x – 3][x – 2]: [x – 3]
= [x – 2]
Tải về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử toán 8