1. Lý thuyết:
\[V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h\] \[[=\frac{1}{3}.S_{day}.h]\] R: bán kính hình tròn đáy h: chiều cao [ khoảng cách từ đỉnh tới đáy]
2. Bài tập:
Ví dụ 1: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón. \[\left\{\begin{matrix} l=5cm\\R=3cm \end{matrix}\right.\]
Giải:
Gọi O là đỉnh khối nón H là tâm hình tròn A là điểm thuộc đường tròn đáy OA=5cm, HA=3cm Trong tam giác vuông OHA, \[OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\] \[V=\frac{1}{3}\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi .3^{2}.4=12\pi [cm^{3}]\]Ví dụ 2: Cho khối nón có góc ở đỉnh bằng \[60^{\circ}\] độ dài đường sinh bằng 6cm. Tính thể tích khối nón.
Giải: Gọi O là đỉnh khối nón. Kẻ đường kính AB của hình tròn đáy tâm H.
Chú ý: \[OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}\] hoặc \[OH=HA.\cot30^{\circ}=3\sqrt{3}\]
Ví dụ 3: Cho \[\Delta ABC\] vuông tại A, AB=8[cm], BC=10[cm]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc a] ACB quay quanh AB.
b] ABC quay quanh AC. a] BAC quay quanh BC.
Giải:
b] Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h=AC=6[cm], bán kính R=AB=8[cm].
\[V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .8^{2}.6=128\pi [cm^{3}]\]c] Khi đường gấp khúc
BAC quay quanh BC ta được 2 hình nón. + Hình nón thứ nhất tạo thành khi cho đường gấp khúc BAH quay quanh BH
R1=AH, h1=BH.
Trong tam giác vuông ABC:\[\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{6^{2}}=\frac{10^{2}}{8^{2}.6^{2}}\]
\[\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{8.6}{10}=\frac{24}{5}\] \[h_{1}=BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{8^{2}-\frac{8^{2}.6^{2}}{10^{2}}}=8\sqrt{\frac{10^{2}-6^{2}}{10^{2}}}=\frac{8^{2}}{10}=\frac{32}{5}\]\[V_{1}=\frac{1}{3}.\pi .R_{1}^{2}.h_{1}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{48^{2}}{10^{2}}.\frac{32}{5}=\frac{6144}{125}[cm^{3}]\] + Hình nón thứ hai tọa thành khi cho đường gấp khúc HAC quay quanh HC. \[\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{24}{5}\] \[h_{2}=HC=BC-HB=10-\frac{32}{5}=\frac{18}{5}\] \[V_{2}=\frac{1}{3}.\pi .R_{2}^{2}.h_{2}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.\frac{18}{5}=\frac{3456}{125}[cm^{3}]\] \[V=V_{1}+V_{2}=\frac{384}{5}[cm^{3}]\]
Cách 2: \[V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.h_{1}+\frac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.h_{2}\]
\[=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.[h_{1}+h_{2}]=\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}[\frac{32}{5}+\frac{18}{5}] =\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.10\] Nhận xét:\[V=\frac{1}{3}\pi .AH^{2}.BC=\frac{1}{3}\pi .AH.\frac{AB^{2}.AC^{2}}{AB^{2}+AC^{2}}.BC\]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Tất tần tật về Mặt nón - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:
+ Diện tích xung quanh: Sxq = πRl
+ Diện tích đáy [hình tròn]: Sđ = πR2
+ Diện tích toàn phần hình tròn: S = Sđ + Sxq = π.r.l+πr2
+ Thể tích khối nón:
Bài 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.
Hướng dẫn:
Xét tam giác SOA có: h=SO=3a;r=AO=4a
Diện tích xung quanh: Sxq=πRl=π.4a.5a=20πa2
Diện tích toàn phần: Stp= πRl+πR2=20πa2+25πa2=45πa2
Thể tích của hình nón là:
Bài 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh của hình nón
Hướng dẫn:
Xét tam giác SOA vuông tại O có:
Diện tích xung quanh:
Quảng cáo
Bài 3: Một khối nón có thể tích bằng 30 π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
là thể tích của khối nón ban đầu
⇒ Thể tích của khối nón lúc sau là:
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một cạnh bên và đáy bằng 60º, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là?
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO⊥[ABC], ∆ABC đều cạnh a.
OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt [ABC]
⇒ Góc giữa SA và mặt [ABC] là góc ∠[SAO]=60º
Ta có:
Xét tam giác SAO có:
Ta có:
Xét hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC có
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB = 2a. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích của khối nón được tạo thành.
Hướng dẫn:
Quay tam giác ABC vuông cân tại A xung quanh cạnh AB ta được hình nón có
R=h=AB=2a;
l=BC=AB√2=2a√2
Thể tích của khối nón được tạo thành:
Bài 1: Hình nón có chiều dài đường sinh d, bán kính đáy r thì có diện tích xung quanh bằng:
A.πrd B.2πrd C.πrl D.2πrl
Quảng cáo
Bài 2: Hình nón có đường sinh l=5cm và bán kính đáy r=4cm thì có diện tích xung quanh bằng:
A.20π [cm2 ] B.40π [cm2 ]
C.20 [cm2 ] D.20π [cm3 ]
Đáp án : A
Giải thích :
Sxq=πrl=π.5.4=20π [cm2 ]
Bài 3: Hình nón bán kính đáy r=3cm và chiều cao h=4cm thì có diện tích toàn phần bằng:
A.24π [cm2 ] B.39π [cm2 ]
C.20π[cm2 ] D.20π [cm3 ]
Đáp án : A
Giải thích :
Độ dài đường sinh:
Stp=πr2+πrl=π32+π.3.5=24π [cm2 ]
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2R. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A.[πR2]/2 B.πR2 C.2πR2 D.4πR2
Đáp án : C
Giải thích :
Độ dài đường sinh: l = 2R
Bán kính đáy: r = R
Sxq=πrl=π.R.2R=2πR2
Bài 5: Một hình nón được sinh ra do tam giác đều cạnh 2a quay quanh đường cao của nó. Khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh của hình nón bằng:
Đáp án : D
Giải thích :
ABC là tam giác đều cạnh 2a, đường cao BH
Ta có: BH=a√3;HC=a
Kẻ HK vuông góc với BC
Khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh của hình nón chính là độ dài đoạn HK
Xét tam giác BHC vuông tại H có HK là đường cao
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=a√3 và ∠[ACB]=60º. Khi quay hình tam giác ABC quanh cạnh AC thì khối nón tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng:
A.πa3 B.3πa3 C.9πa3 D.6πa3
Đáp án : A
Giải thích :
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
Khi quay hình tam giác ABC quanh cạnh AC ta được hình nón có chiều cao AC, bán kính đáy AB
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh BC thì đường gấp khúc BAC tạo thành
A. Hình nón B. Hai hình nón
C. Mặt nón D. Khối nón
Đáp án : B
Giải thích :
Kẻ AH vuông góc với BC taị H
Khi quay đường gấp khúc BAC quanh cạnh BC ta thu được hai hình nón:
[N1]: r1=AH; h1=BH; l1=AB
[N2]: r2=AH; h2=CH; l2=AC
Bài 8: Quay một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2 xung quanh một cạnh góc vuông. Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành:
A.2πa2 √2 B.πa2 √2 C.2πa2 D.πa2
Đáp án : B
Giải thích :
Quay tam giác vuông cân ABC quanh cạnh góc vuông AC ta được hình nón có chiều cao AC, bán kính đáy AB và đường sinh BC
Ta có AB=BC/√2=a
Sxq=πRl=π.AB.BC=π.a.a√2= πa2 √2
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h = 2 và ∠[ASB]=60º. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp bằng:
A.π B.2π C.2√2 π D.4√2 π
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ [ABCD]
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
∆SAB có SA = SB; ∠[ASB]=60º nên ∆SAB đều
Đặt SA = AB = a.
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
AO2+SO2=SA2 ⇒ a2/2+4=a2 ⇒ a=2√2
Hình nón ngoại tiếp hình chóp có bán kính đáy r=OA=2; đường sinh
l=SA=2√2
⇒ Sxq=πrl=π.2.2√2=4√2 π
Bài 10: Hình nón [N] có diện tích xung quanh bằng 20π [cm2 ] và bán kính đáy bằng 4cm. Thể tích của khối nón [N] là:
Đáp án : A
Giải thích :
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Hình nón [N] ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Thể tích của khối nón [N] là:
Đáp án : B
Giải thích :
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Hình nón ngoại tiếp hình chóp có bán kính đáy r=OA=a√2; chiều cao
Bài 2: Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh là đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi O là tâm của tam giác ABC ⇒ SO ⊥ [ABC]
Ta có:
Hình nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy r=OA=[a√3]/3; đường sinh l=SA=a
Bài 3: Hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60º. Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là:
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ [ABCD]
AO là hình chiếu vuông góc AS lên [ABCD]
⇒ Góc giữa cạnh bên SA và [ABCD] là góc ∠[SAO]=60º
Ta có:
Xét tam giác SAO có:
Hình nón ngoại tiếp hình chóp có bán kính đáy r=OA=[a√2]/2; đường sinh
l=SA= a√2
Diện tích toàn phần của hình nón là:
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABC, A’B’C’. Biết góc giữa đường thẳng O’B với mặt phẳng [ABC] bằng 30º. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đỉnh O’, đáy là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp án : A
Giải thích :
O'O ⊥ [ABC] nên OB là hình chiếu vuông góc của O’B lên [ABCD]
⇒ Góc giữa O’B và [ABC] là góc giữa O’B và BO
⇒ ∠[O'BO] =30º
∆ABC đều cạnh a nên
Khối nón đỉnh O’, đáy là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC có chiều cao
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2A. Thể tích khối nón có đỉnh S và đáy ngoại tiếp tam giác ABC là:
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi O là tâm đáy ABC ⇒ SO ⊥ [ABC]
∆ABC đều cạnh a ⇒ AO=[a√3]/3
Khối nón có đỉnh S và đáy ngoại tiếp tam giác ABC có đường cao
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đều có cạnh đáy bằng a√2, góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. Thể tích khối nón có đỉnh S và đáy ngoại tiếp tứ giác ABCD là:
Đáp án : B
Giải thích :
Gọi O là tâm của đáy [ABCD] ⇒ SO ⊥ [ABCD]
Gọi M là trung điểm của AD ⇒ OM ⊥ AD
Ta có:
⇒ Góc giữa [SAD] và [ABCD] là góc ∠[SMO] =60º
MO là đường trung bình của ∆DAB
Khối nón đỉnh S và đáy ngoại tiếp tứ giác ABCD có đường cao
Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một mặt bên và đáy bằng 60º, diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi M là trung điểm của BC
⇒ Góc giữa [SBC] và [ABC] là góc ∠[SMA] =60º
Hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC có đường sinh
Bài 8: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Thể tích khối nón đó.
Đáp án : B
Giải thích :
Ta có: l=2;r=1
Bài 9: Biết thể tích hình chóp tam giác đều nội tiếp trong hình nón là V. Khi đó thể tích của hình nón bằng:
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi O là tâm của đáy ABC, ABC là tam giác đều cạnh a
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC có đường cao SO, bán kính đáy SO
Bài 10: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và ∠[SAO] = 30º, ∠[SAB]=60º. Diện tích xung quanh của hình nón là:
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi I là trung điểm của AB
Ta có: OI = a; OI ⊥ AB; SO ⊥ AB ⇒ SI ⊥ AB
Mà
Ta có:
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
hinh-non-khoi-non.jsp