Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tuy rất đơn giản nhưng luôn có trong các đề thi của các em vì vậy muốn tính được đường tròn nội tiếp tam giác các bạn cần ghi nhớ công thức và cách tính đường tròn nội tiếp tam giác sao cho nhanh nhất để làm bài tập của mình. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu kiến thức này nhé!
- Cách tính chu vi tam giác
- Cách tính diện tích hình tam giác
Trong hình học, đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn lớn nhất nằm trong tam giác, nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong.
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác chính là giao điểm của ba đường phân giác.
- Trong tam giác đều thì tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.
Trong đó:
- S: Diện tích tam giác.
- p: Nửa chu vi tam giác.
Phát biểu bằng lời : Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là diện tích tam giác chia cho nửa chu vi.
Ví dụ 1: Cho hình tam giác △ABC có độ dài các cạnh của hình tam giác lần lượt là là 8cm, 10cm, 12cm. Xác định bán kính đường tròn nội tiếp tam giác △ABC bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Áp dụng công thức chu vi tam giác ta có, chu vi △ABC là:
P= 8 + 10 + 12 = 30 [cm]
⇒ nửa chu vi của △ABC là: p = 30 : 2= 15 [cm]
Áp dụng công thức ta có bán kính đường tròn nội tiếp △ABC là:
Ví dụ 2 : Cho tam giác MNP biết MN = 8cm, MP = 9cm, NP = 11cm. Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ví dụ 3 : Cho tam giác MNP đều cạnh 2a, Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích tam giác đều MNP là:
S = ½ MN.MP.sinM
= ½ .2a.2a.sin60º
= a2√3
Nửa chu vi tam giác MNP là:
Như vậy trên đây chúng tôi đã giới thiệu đầy đủ về tính chất và công thức tính đường tròn nội tiếp tam giác kèm bài tập ví dụ đầy đủ nhất cho các em tham khảo nhé!
Bài toán xác định tâm và bán kính của đường tròn
I. Hướng dẫn giải
Xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác:
– Xác định hai tia phân giác của hai góc trong tam giác.
– Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm của hai tia phân giác đó.
Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam hiacs:
– Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
II. Bài tập mẫu
Bài 1. Cho tam giác ABC có: AB = c, AC = b, BC = a, góc BAC bằng 2α. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo a, b, c và α.
Giải
AH, AI là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm A nên AH = AI
BH, BK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm B nên BH = BK
CK, CI là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm C nên CK = CI
Do đó: 2AH = AH + AI
= [AB – BK] + [AC-CK]
= AB + AC – BC
Suy ra:
AH, AI là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm A nên OA là tia phân giác của:
Xét tam giác vuông OHA, ta có:
Bài 2. Cho đường tròn tâm [O, R] và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ một điểm M [khác A] trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, kẻ hai tia tiếp tuyến ME, MF với đường tròn [O] [E, F là tiếp điểm]. Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định và tính bán kính của đường tròn này theo R.
Giải
ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn [O] kẻ từ điểm M nên MO là tia phân giác của góc EMF.
Dựng tia phân giác của góc MEF, cắt tia phân giác của góc EMF tại điểm I.
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF có bán kính IH.
ME, MF là hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm nên OM ⊥ EF tại H là trung điểm của EF
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho tam giác ABC có góc BAC bằng , AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC đều có cạnh bằng a.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi R, R[1], R[2] lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng:
Bài 4. Cho tam giác ABC có góc BAC bằng . AH là đường cao của tam giác ABC. Biết AB:AC:BC = 3:4:5 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 30cm. Tính bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC.
Bài 5. Cho tam giác ABC có: AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a. Đường trung trực của AC cắt đường phân giác của góc BAC tại K. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.