Bài viết trình bày cách giải phương trình bậc 4 [phương trình bậc bốn], đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số 10 chương 3.
Dạng 1. Phương trình bậc bốn dạng $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0.$
Ta có: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a\left[ {{x^4} + 2{x^2}.k + {k^2}} \right]$ $ + bx\left[ {{x^2} + k} \right] + \left[ {c – 2ak} \right]{x^2} = 0$ $
\Leftrightarrow a{\left[ {{x^2} + k} \right]^2} + bx\left[ {{x^2} + k} \right]$ $ + \left[ {c – 2ak} \right]{x^2} = 0.$
Đến đây có hai hướng để giải quyết:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng ${A^2} = {B^2}.$
Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa $x^2$ sang bên phải.
Cách 2: Đặt $y = {x^2} + k$ $ \Rightarrow y \ge k.$
Phương
trình $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0$ trở thành: $a{y^2} + bxy$ $ + \left[ {c – 2ak} \right]{x^2} = 0.$
Tính $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo $x$ để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn $x.$
Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^4} – 8{x^3} + 21{x^2} – 24x + 9 = 0.$
Cách 1:
Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {{x^4} + 9 + 6{x^2}} \right] – 8\left[ {{x^2} + 3} \right] + 16{x^2}$ $ = 16{x^2}
– 21{x^2} + 6{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} – 4x + 3} \right]^2} = {x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 4x + 3 = x\\
{x^2} – 4x + 3 = – x
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 3 = 0\\
{x^2} – 3x + 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}\\
x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}
\end{array} \right.$
Cách 2:
Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right]$ $ – 8x\left[ {{x^2} + 3} \right] + 15{x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 3} \right]^2} – 8x\left[ {{x^2} + 3} \right] + 15{x^2} = 0.$
Đặt $y = {x^2} + 3$, phương trình trở thành: ${y^2} – 8xy + 15{x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {y – 3x} \right]\left[ {y – 5x} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 3x\\
y = 5x
\end{array} \right.$
Với $y =
3x$, ta có: $x^2+3=3x$, phương trình vô nghiệm.
Với $y = 5x$, ta có: ${x^2} + 3 = 5x$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}\\
x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}
\end{array} \right.$
Nhận xét: Mỗi cách giải có ưu điểm riêng, với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà không phải thông qua ẩn phụ, với cách giải 2, ta sẽ có những tính toán đơn giản hơn và ít bị nhầm lẫn.
Dạng
2. Phương trình bậc bốn dạng $\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e{x^2}$ với $ad=bc=m.$
Cách 1: Đưa về dạng $A^2 = B^2.$
$\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + px + m} \right]\left[ {{x^2} + nx + m} \right] = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x +
m – \frac{{n – p}}{2}x} \right]$$\left[ {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m + \frac{{n – p}}{2}x} \right]$ $ = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m} \right]^2}$ $ = \left[ {{{\left[ {\frac{{n – p}}{2}} \right]}^2} + e} \right]{x^2}$, với $ad = bc = m$, $p = a + d$, $n = b + c.$
Cách 2: Xét xem $x=0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không.
Trường hợp $x≠0$, ta có: $\left[ {x + a} \right]\left[
{x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e{x^2}$ $\left[ {x + \frac{m}{x} + p} \right]\left[ {x + \frac{m}{x} + n} \right] = e.$
Đặt $u = x + \frac{m}{x}$, điều kiện $\left| u \right| \ge 2\sqrt {\left| m \right|} $, phương trình trở thành $[u+p][u+n]=e$, đến đây giải phương trình bậc hai theo $u$ để tìm $x.$
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\left[ {x + 4} \right]\left[ {x + 6} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 12} \right] = 25{x^2}.$
Cách 1:
$\left[ {x + 4} \right]\left[ {x + 6} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 12} \right] = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} – 2x + 24 + 12x} \right]$$\left[ {{x^2} – 2x + 24 – 12x} \right] = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} – 2x + 24} \right]^2} = 169{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 2x + 24 = 13x\\
{x^2} – 2x + 24 = – 13x
\end{array} \right.$ $
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 15x + 24 = 0\\
{x^2} + 11x + 24 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 8\\
x = – 3\\
x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2}
\end{array} \right.$
Cách 2:
$\left[ {x + 4} \right]\left[ {x + 6} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 12} \right] = 25{x^2}$ $\left[ {{x^2} + 10x + 24} \right]\left[ {{x^2} – 14x + 24} \right] = 25{x^2}.$
Nhận
thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $x≠0$, ta có: phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {x + \frac{{24}}{x} + 10} \right]\left[ {x + \frac{{24}}{x} – 14} \right] = 25.$
Đặt $y = x + \frac{{24}}{x}$ $ \Rightarrow \left| y \right| \ge 4\sqrt 6 $, ta được: $\left[ {y + 10} \right]\left[ {y – 14} \right] = 25$ $ \Leftrightarrow \left[ {y + 11} \right]\left[ {y – 15} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 11\\
y =
15
\end{array} \right.$
Với $y=-11$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = – 11$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 11x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 3\\
x = – 8
\end{array} \right.$
Với $y=15$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = 15$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 15x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2}$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ { – 3; – 8;\frac{{15 –
\sqrt {129} }}{2};\frac{{15 + \sqrt {129} }}{2}} \right\}.$
Nhận xét: Trong cách giải 2, có thể ta không cần xét $x≠0$ rồi chia mà có thể đặt ẩn phụ $y=x^2+m$ để thu được phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$ hoặc ngược lại.
Dạng 3. Phương trình bậc bốn dạng $\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = m$ với $a+b=c+d=p.$
Ta có: $\left[ {x + a} \right]\left[ {x +
b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = m$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + px + ab} \right]\left[ {{x^2} + px + cd} \right] = m.$
Cách 1:
$\left[ {{x^2} + px + ab} \right]\left[ {{x^2} + px + cd} \right] = m$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} + \frac{{ab – cd}}{2}} \right]$$\left[ {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} – \frac{{ab – cd}}{2}} \right] = m$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + px + \frac{{ab +
cd}}{2}} \right]^2}$ $ = m + {\left[ {\frac{{ab – cd}}{2}} \right]^2}.$
Bài toán quy về giải hai phương trình bậc hai theo biến $x.$
Cách 2:
Đặt $y=x^2+px$, điều kiện $y \ge – \frac{{{p^2}}}{4}$, phương trình trở thành: $\left[ {y + ab} \right]\left[ {y + cd} \right] = m.$
Giải phương trình bậc hai ẩn $y$ để tìm $x.$
Ví dụ 3. Giải phương trình: $x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right] = 8.$
Cách 1:
Ta có: $x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x + 1 – 1} \right]$$\left[ {{x^2} + 3x + 1 + 1} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 3x + 1} \right]^2} = 9$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x + 1 = 3\\
{x^2} + 3x + 1 = – 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x – 2 = 0\\
{x^2} + 3x + 4 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$
Cách 2:
$x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] = 8.$
Đặt $y = {x^2} + 3x$ $ \Rightarrow y \ge –
\frac{9}{4}$, ta được: $y\left[ {y + 2} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow {y^2} + 2y – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2\\
y = – 4\:[loại]
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow y = 2.$
Với $y=2$, ta có phương trình: ${x^2} + 3x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2}} \right\}.$
Nhận
xét: Ngoài cách đặt ẩn phụ như đã nêu, ta có thể đặt một trong các dạng ẩn phụ sau:
Đặt $y = {x^2} + px + ab.$
Đặt $y = {x^2} + px + cd.$
Đặt $y = {\left[ {x + \frac{p}{2}} \right]^2}.$
Đặt $y = {x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2}.$
Dạng 4. Phương trình bậc bốn dạng ${\left[ {x + a} \right]^4} + {\left[ {x + b} \right]^4} = c$ với $[c