Các dạng bài tập toán lớp 9 chương 1 năm 2024

Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.

• 1. HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 (DÙNG CHO HS ÔN THI VÀO LỚP 10) Đà nẵng ,Năm 2015 HOÀNG THÁI VIỆT- ĐHBK- 01695316875 Truy cập face để liên hệ và học tập : https://www.facebook.com/ttbdgdhtv Download tại liệu của Hoàng thái việt tại : http://www.slideshare.net/barackobamahtv
• 2. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 2 tæng hîp kiÕn thøc vµ c¸ch gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp to¸n 9 A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa. A cã nghÜa khi A  0 2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. a. 2 A A b. . ( 0; 0)AB A B A B   c. ( 0; 0) A A A B B B    d. 2 ( 0)A B A B B  e. 2 ( 0; 0)A B A B A B   2 ( 0; 0)A B A B A B    f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B    i. ( 0) A A B B BB   k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A BA B     m m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A BA B      m 3. Hµm sè y = ax + b (a  0) - TÝnh chÊt: + Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0. + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hµm sè y = ax2 (a  0) - TÝnh chÊt: + NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0. + NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®-êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0). + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh. + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d-íi trôc hoµnh. PhÇn I: §¹i sè
• 3. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 3 5. VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña hai ®-êng th¼ng XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t nhau  a  a' (d) // (d')  a = a' vµ b  b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b' 6. VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng cong. XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung 7. Ph-¬ng tr×nh bËc hai. XÐt ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän  = b2 - 4ac NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1   ; a b x 2 2   NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21   NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm ' = b'2 - ac víi b = 2b' - NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1   ; a b x '' 2   - NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21   - NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 8. HÖ thøc Viet vµ øng dông. - HÖ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: 1 2 1 2. b S x x a c P x x a          - Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) + NhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) NÕu a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = c a NÕu a - b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = c a 
• 4. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 4 9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 1: LËp ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn B. c¸c d¹ng bµi tËp D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A  §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c b-íc sau: - Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) - §-a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia.... - Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng. Bài tập: 1)   2 5 2 8 5 2 5 4    ; 2) 3 3 1 3 1 1 3 1      3) 3 5 3 5   ; 4) 14 8 3 24 12 3   ; 5) Cho biÓu thøc x 1 x x x x A = 2 2 x x 1 x 1              a) Rót gän biÓu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6. 6) Cho biÓu thøc x 2 1 10 x B = : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                  a) Rót gän biÓu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. D¹ng 2: Bµi to¸n tÝnh to¸n Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.  TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót gän biÓu thøc A Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a  C¸ch gi¶i:
• 5. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 5 - Rót gän biÓu thøc A(x). - Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. Bài tập : Bµi 9: Cho biÓu thøc : P =                       a a aa a a aa 1 1 . 1 1 a) Tính P khi a = 2 b) T×m a ®Ó P< 347  D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh ®¼ng thøc A = B  Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh: - Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A = B  A - B = 0 - Ph-¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp. A = A1 = A2 = ... = B - Ph-¬ng ph¸p 3: Ph-¬ng ph¸p so s¸nh. A = A1 = A2 = ... = C B = B1 = B2 = ... = C - Ph-¬ng ph¸p 4: Ph-¬ng ph¸p t-¬ng ®-¬ng. A = B  A' = B'  A" = B"  ...... (*) (*) ®óng do ®ã A = B - Ph-¬ng ph¸p 5: Ph-¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph-¬ng ph¸p 6: Ph-¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph-¬ng ph¸p 7: Ph-¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B  Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng: - BÊt ®¼ng thøc Cosi: n n n aaaa n aaaa ..... ... 321 321   (víi 0..... 321 naaaa ) DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: naaaa  ...321 - BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki: Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn   )...)(...(... 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 2 332211 nnnn bbbbaaaababababa  DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: n n b a b a b a b a  ... 3 3 2 2 1 1  Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh: - Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa A > B  A - B > 0 - Ph-¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nÕu M  0 A = B
• 6. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 6 - Ph-¬ng ph¸p 3: Ph-¬ng ph¸p t-¬ng ®-¬ng A > B  A' > B'  A" > B"  ...... (*) (*) ®óng do ®ã A > B - Ph-¬ng ph¸p 4: Ph-¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu A > C vµ C > B  A > B - Ph-¬ng ph¸p 5: Ph-¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t-¬ng ®-¬ng ®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B. - Ph-¬ng ph¸p 6: Ph-¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph-¬ng ph¸p 7: Ph-¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph-¬ng ph¸p 8: Ph-¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 5: bµi to¸n liªn quan tíi ph-¬ng tr×nh bËc hai Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)  C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i: - Ph-¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh tÝch. - Ph-¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai x2 = a  x =  a - Ph-¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm Ta cã  = b2 - 4ac + NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1   ; a b x 2 2   + NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp a b xx 2 21   + NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph-¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b' + NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1   ; a b x '' 2   + NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp a b xx ' 21   + NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph-¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et. NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:          a c xx a b xx 21 21 . Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
• 7. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 7 Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ).  XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng a. Tr-êng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m. Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã: (*) trë thµnh ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**) + NÕu b  0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: (**) v« ®Þnh  (*) v« ®Þnh + NÕu b = 0 vµ c  0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm  (*) v« nghiÖm b. Tr-êng hîp a  0: TÝnh  hoÆc ' + TÝnh  = b2 - 4ac NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1   ; a b x 2 2   NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21   NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm + TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1   ; a b x '' 2   NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21   NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm.  Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm: 1. HoÆc a = 0, b  0 2. HoÆc a  0,   0 hoÆc '  0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu kiÖn 2. Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:      0 0 b a hoÆc      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp.
• 8. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 8  §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm.  §iÒu kiÖn vô nghiÖm:      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:      0 0 b a hoÆc      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu:       0 0 a c P hoÆc        0 0' a c P Bµi to¸n 10 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d-¬ng.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d-¬ng:             0 0 0 a b S a c P hoÆc             0 0 0' a b S a c P Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m:             0 0 0 a b S a c P hoÆc             0 0 0' a b S a c P Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. Bài tập: 1.    2 2 2 3 2 0mx m x m     có 2 nghiệm cùng dấu. 2.  2 3 2 2 1 0mx m x m    có 2 nghiệm âm. 3.  2 1 2 0m x x m    có ít nhất một nghiệm không âm.
• 9. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 9 Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.  C¸ch gi¶i: - Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh (*) ta cã: ax1 2 + bx1 + c = 0  m - Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*)  x1, x2 - HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 = 1x P Bµi to¸n 14 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a.   21 xx b. kxx  2 2 2 1 c. n xx  21 11 d. hxx  2 2 2 1 e. txx  3 2 3 1  §iÒu kiÖn chung:   0 hoÆc '  0 (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:           )2(. )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Tr-êng hîp:   21 xx Gi¶i hÖ         21 21 xx a b xx Thay x1, x2 vµo (2)  m Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) b. Tr-êng hîp: kxxxxkxx  21 2 21 2 2 2 1 2)( Thay x1 + x2 = S = a b vµ x1.x2 = P = a c vµo ta cã: S2 - 2P = k  T×m ®-îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) c. Tr-êng hîp: ncbxnxxxn xx  2121 21 . 11 Gi¶i ph-¬ng tr×nh - b = nc t×m ®-îc m tho¶ m·n (*) d. Tr-êng hîp: 0222 2 2 1  hPShxx Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh S2 - 2P - h  0 chän m tho¶ m·n (*) e. Tr-êng hîp: tPSStxx  333 2 3 1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh tPSS 33 chän m tho¶ m·n (*) Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P cña chóng. x1, x2
• 10. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 10  Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*) ta t×m ®-îc hai sè u vµ v cÇn t×m. Bài toán 16. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1.Ph-¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( 1 2x x ) và 1 2x x D¹ng 1. 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x        D¹ng 2.        23 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 23x x x x x x x x x x x x x x            D¹ng 3.   2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x            D¹ng 4. 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x    D¹ng 5. 1 2 ?x x  Ta biết       2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4x x x x x x x x x x x x          D¹ng 6. 2 2 1 2x x   1 2 1 2x x x x   = ).(4)( 2121 2 21 xxxxxx  D¹ng 7. 3 3 1 2x x =        22 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x          =……. D¹ng 8. 4 4 1 2x x =   2 2 2 2 1 2 1 2x x x x  =…… D¹ng 9. 6 6 1 2x x =   2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x x x x x x x x     = …….. D¹ng 10. 6 6 1 2x x   ...)(.)()()()( 22 2 2 2 2 1 22 1 2 2 2 1 32 2 32 1  xxxxxxxx D¹ng 11. 5 5 1 2x x = )(.))(( 21 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 3 1 xxxxxxxx  D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 D¹ng13 2 21 21 21 2 ))(( 211 aaSp aS axax axx axax          Bµi to¸n 17 : . TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0) 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: a c xx a b xx    2121 .; 3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
• 11. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 11 Ví dụ 1: Cho phương trình :   2 1 2 4 0m x mx m     (1) có 2 nghiệm 1 2;x x . Lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. (Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn b-íc 1) Gi¶i: B-íc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (1) 1 1 4 3 . . 1 (2) 1 1 m x x x x m m m x x x x m m                     B-íc2: Rút m từ (1) ta có : 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 x x m m x x          (3) Rút m từ (2) ta có : 1 2 1 2 3 3 1 1 1 1 x x m m x x        (4) B-íc 3: từ (3) và (4) ta có:      1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 3 2 3 2 8 0 2 1 x x x x x x x x x x x x               Ví dụ 2: Gọi 1 2;x x là nghiệm của phương trình :   2 1 2 4 0m x mx m     . Chứng minh rằng biểu thức  1 2 1 23 2 8A x x x x    không phụ thuộc giá trị của m. Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 1 2 1 2 2 1 4 . 1 m x x m m x x m          §K:( 101  mm ) ;Thay vào A ta c ó:  1 2 1 2 2 4 6 2 8 8( 1) 0 3 2 8 3. 2. 8 0 1 1 1 1 m m m m m A x x x x m m m m                    Vậy A = 0 với mọi 1m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình :    2 2 2 1 0x m x m     . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho 1 2;x x độc lập đối với m. 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x          Bµi to¸n 18.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0) 1
• 12. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 12 - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình :    2 6 1 9 3 0mx m x m     Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x  Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :      2 2 2 0 0 0 0 ' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1' 3 21 9( 3) 0 m m m m m m m m mm m m                                       Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 2 1 2 6( 1) 9( 3) m x x m m x x m        và từ giả thiết: 1 2 1 2x x x x  . Suy ra: 6( 1) 9( 3) 6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7 m m m m m m m m m m                (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x  Ví dụ 2: Cho phương trình :  2 2 2 1 2 0x m x m     . Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :  1 2 1 23 5 7 0x x x x    Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 1 2&x x là : 2 2 ' (2 1) 4( 2) 0m m      2 2 4 4 1 4 8 0m m m      7 4 7 0 4 m m     Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 1 2 2 1 2 2 1 2 x x m x x m       và từ giả thiết  1 2 1 23 5 7 0x x x x    . Suy ra 2 2 2 3( 2) 5(2 1) 7 0 3 6 10 5 7 0 2( ) 3 10 8 0 4 ( ) 3 m m m m m TM m m m KTM                     Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :  1 2 1 23 5 7 0x x x x    Bài tập áp dụng
• 13. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 13 1. Cho phương trình :  2 2 4 7 0mx m x m     Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 22 0x x  2. Cho phương trình :  2 1 5 6 0x m x m     Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức: 1 24 3 1x x  3. Cho phương trình :    2 3 3 2 3 1 0x m x m     . Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 23 5 6x x  Hƣớng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ: + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. BT1: - ĐKX Đ: 16 0& 15 m m  -Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 ( 4) (1) 7 m x x m m x x m         - Từ 1 22 0x x  Suy ra: 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2( ) 9 2( ) 3 x x x x x x x x x x        (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 2 1 2127 128 0 1; 128m m m m       BT2: - ĐKXĐ: 2 22 25 0 11 96 11 96m m m          - Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 1 (1) 5 6 x x m x x m       - Từ : 1 24 3 1x x  . Suy ra:    1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3( ) 1 3( ) . 4( ) 1 4( ) 1 7( ) 12( ) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   (2) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 0 12 ( 1) 0 1 m m m m       (thoả mãn ĐKXĐ) BT3: - Vì 2 2 2 (3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m           với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. - -Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 3 2 3 (1) (3 1) 3 m x x m x x        
• 14. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 14 - Từ giả thiết: 1 23 5 6x x  . Suy ra:    1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 8 5( ) 6 64 5( ) 6 . 3( ) 6 8 3( ) 6 64 15( ) 12( ) 36 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   (2) - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: 0 (45 96) 0 32 15 m m m m         (thoả mãn ) DẠNG 6 . ®å thÞ )0(&)0( '2'  axayabaxy vµ t-¬ng quan gi÷a chóng I/.ĐiÓm thuộc đƣờng – đƣờng đi qua điểm. Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4) Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm của hai đƣờng y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên. III.Quan hệ giữa hai đƣờng thẳng. Xét hai đường thẳng : (d1) : y= a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2. a) (d1) cắt (d2) a1 a2. b) d1) // (d2) c) d1) (d2) d) (d1) (d2) a1 a2 = -1 IV.Tìm điều kiện để 3 đƣờng thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’ x2 (a’ 0). 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: a’ x2 = ax + b (#)  a’ x2 - ax – b = 0 Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P). 2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau: Tõ ph-¬ng tr×nh (#) ta cã: baabaxxa .4)(0 '22' 
• 15. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 15 a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 0 b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (#) có nghiệm kép 0 c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (#) vô nghiệm 0 VI.Viết phƣơng trình đƣờng thẳng y = ax + b : 1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0) Chú ý : song song a2=a1 và b1 khác b2 Vuông góc a2 = - 1/a1 (tìm hiểu trong sgk) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b. 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’ x2 +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’ x2 nên: Pt: a’ x2 = ax + b có nghiệm kép +) Gi¶i hÖ      0 00 baxy để tìm a,b. VII.Chứng minh đƣờng thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B Gäi x1; x2 lÇn l-ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn l-ît lµ tung ®é cña A vµ B Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®-îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC: 2 12 2 12 22 )()( yyxxBCACAB  IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. bµi tËp vÒ hµm sè. Bµi 1. cho parabol (p): y = 2x2 .
• 16. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 16 1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®-êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). 2. t×m ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). 3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®-êng th¼ng y = 2m +1. Bµi 2: Cho (P) 2 2 1 xy  vµ ®-êng th¼ng (d): y = ax + b . 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). 2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 3: Cho (P) 2 xy  vµ ®-êng th¼ng (d) y = 2x + m 1. VÏ (P) 2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 4: Cho hµm sè (P): 2 xy  vµ hµm sè(d): y = x + m 1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 2. X¸c ®Þnh ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P) 3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 23 Bµi56: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®-êng th¼ng ( 1d ) y = -2(x+1) 1. §iÓm A cã thuéc ( 1d ) kh«ng ? V× sao ? 2. T×m a ®Ó hµm sè (P): 2 .xay  ®i qua A 3. X¸c ®Þnh ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ( 2d ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( 1d ) 4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( 2d ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( 1d ) víi trôc tung . T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC? DẠNG 7: gi¶i ph-¬ng tr×nh b»ng ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn sè phô Bµi to¸n1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng ax4 + bx2 + c = 0  §Æt t = x2 (t0) ta cã ph-¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x B¶ng tãm t¾t at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0 v« nghiÖm v« nghiÖm 2 nghiÖm ©m v« nghiÖm nghiÖm kÐp ©m v« nghiÖm 1 nghiÖm d-¬ng 2 nghiÖm ®èi nhau 2 nghiÖm d-¬ng 4 nghiÖm 2 cÆp nghiÖm ®èi nhau Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0) 1 () 1 ( 2 2  C x xB x xA
• 17. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 17  §Æt x x 1  = t  x2 - tx + 1 = 0 Suy ra t2 = ( x x 1  )2 = 2 1 2 2  x x  2 1 2 2 2  t x x Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x x 1  = t gi¶i t×m x. Bµi to¸n 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0) 1 () 1 ( 2 2  C x xB x xA  §Æt x x 1  = t  x2 - tx - 1 = 0 Suy ra t2 = ( x x 1  )2 = 2 1 2 2  x x  2 1 2 2 2  t x x Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x x 1  = t gi¶i t×m x. Bµi to¸n 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao  Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®-a ph-¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng: + Ph-¬ng tr×nh tÝch + Ph-¬ng tr×nh bËc hai. DẠNG 8: gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh      ''' cybxa cbyax  C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i: + Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ + Ph-¬ng ph¸p céng + Ph-¬ng ph¸p thÕ + Ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô DẠNG: 9 gi¶i ph-¬ng tr×nh v« tØ Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf  (1)  Ta cã        )3()()( )2(0)( )()( 2 xgxf xg xgxf
• 18. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 18 Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp  nghiÖm cña (1) Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()()( xgxhxf   §iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh         0)( 0)( 0)( xg xh xf Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph-¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x. DẠNG 10: gi¶i ph-¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Bµi to¸n: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf   Ph-¬ng ph¸p 1: )()( xgxf           22 )()( 0)( xgxf xg  Ph-¬ng ph¸p 2: XÐt f(x)  0  f(x) = g(x) XÐt f(x) < 0  - f(x) = g(x)  Ph-¬ng ph¸p 3: Víi g(x)  0 ta cã f(x) =  g(x) Một số dạng khác . VÝ dô: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 31323  xx Ta cã thÓ gi¶i nh- sau: LËp b¶ng xÐt vÕ tr¸i: x 3 1 3 2 23 x 23  x 23  x 23 x 13 x 13  x 13 x 13 x VÕ tr¸i céng l¹i 36  x 10 x 36 x VËy: + Víi 3 1 x th× ph-¬ng tr×nh (1) 006336  xxx ( tho¶ m·n) + Víi 3 2 3 1  x th× ph-¬ng tr×nh (1) 310  x ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. + Víi 3 2 x th× ph-¬ngtr×nh (1) 166336  xxx tho¶ m·n. Bµi tËp: Bµi 1: 5122  xx DẠNG 11 gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)  Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n. - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0 - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:
• 19. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 19 y = m + [h(x)]2k kZ  y  m Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0  Ph-¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.  Ph-¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc. DẠNG 12: c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè * §iÓm thuéc ®-êng - ®-êng ®i qua mét ®iÓm Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét ®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?  §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng ph-¬ng tr×nh cña (C) A(C)  yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A. NÕu f(xA)  yA th× (C) kh«ng ®i qua A. * sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) H·y kh¶o s¸t sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ  To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung: f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung. - NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau. - NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung. - NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung. * lËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng Bµi to¸n 1: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*) - X¸c ®Þnh a: ta cã a = k - X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b  b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 2: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA); B(xB;yB)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:      baxy baxy BB AA Gi¶i hÖ ta t×m ®-îc a vµ b suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
• 20. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 20 f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc b vµ suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**) MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***)  a vµ b  Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D).
• 21. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 21 A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. HÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc a2 = b2 + c2 222 111 cbh  2. TØ sè l-îng gi¸c cña gãc nhän. 0 < sin < 1 0 < coss < 1    cos sin tg    sin cos cot g sin2  + cos2  = 1 tg.cotg = 1   2 2 cos 1 1  tg   2 2 sin 1 cot1  g 3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B 4. §-êng trßn. - C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®-îc mét vµ chØ mét ®-êng trßn. - T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: §-êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc ®èi xøng. - Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y. Trong mét ®-êng trßn + §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy + §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy. PhÇn II: h×nh häc a b' c' b c h H B C A b a c C B A
• 22. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 22 - Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y: Trong mét ®-êng trßn: + Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m + Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau + D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n + D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n - Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: Trong mét ®-êng trßn hay trong hai ®-êng trßn b»ng nhau: + Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau + Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau + Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n + D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n. - VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn c¾t nhau 2 d < R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn tiÕp xóc nhau 1 d = R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn kh«ng giao nhau 0 d > R
• 23. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 23 - VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R - Hai ®-êng trßn c¾t nhau 2 R - r < OO' < R + r - Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau + TiÕp xóc ngoµi + TiÕp xóc trong 1 OO' = R + r OO' = R - r - Hai ®-êng trßn kh«ng giao nhau + (O) vµ (O') ë ngoµi nhau + (O) ®ùng (O') + (O) vµ (O') ®ång t©m 0 OO' > R + r OO' < R - r OO' = 0 5. TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn - TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm. - DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn: + §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung + Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®-êng trßn ®Õn ®-êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh + §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã. - TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×: + MA = MB + MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB + OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB B O A M
• 24. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 24 - TiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn: lµ ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®-êng trßn ®ã: TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong 6. Gãc víi ®-êng trßn Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o 1. Gãc ë t©m · »AOB sd AB 2. Gãc néi tiÕp · »1 2 AMB sd AB 3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. · »1 2 xBA sd AB 4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-êng trßn · » »1 ( ) 2 AMB sd AB sdCD  5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®-êng trßn · » »1 ( ) 2 AMB sd AB sdCD  d' d O' O d' d O' O B A O M B A O x B A O M D C B A O O B A D C M
• 25. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 25  Chó ý: Trong mét ®-êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng-îc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®-êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. 7. §é dµi ®-êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®-êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : 180 Rn l   8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0 : 2 360 2 R n lR S    9. C¸c lo¹i ®-êng trßn §-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c §-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c §-êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba ®-êng trung trùc cña tam gi¸c T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba ®-êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c T©m cña ®-êng trßn bµng tiÕp trong gãc A lµ giao ®iÓm cña hai ®-êng ph©n gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm cña ®-êng ph©n gi¸c gãc A vµ ®-êng ph©n gi¸c ngoµi t¹i B (hoÆc C) 10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian. a. H×nh trô. - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r2 h O C B A O C B A F E J B C A r: b¸n kÝnh Trong ®ã h: chiÒu cao
• 26. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 26 b. H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = 21 r 3 h c. H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 3 h r r r r   d. H×nh cÇu. - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4R2 = d - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = 34 3 R 11. Tø gi¸c néi tiÕp:  DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . B. c¸c d¹ng bµi tËp. D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu - Hai gãc t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr-¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn hoÆc hai ®-êng b»ng nhau. r: b¸n kÝnh Trong ®ã l: ®-êng sinh h: chiÒu cao r1: b¸n kÝnh d¸y lín r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá Trong ®ã l: ®-êng sinh h: chiÒu cao R: b¸n kÝnh Trong ®ã d: ®-êng kÝnh
• 27. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 27 D¹ng 2: Chøng minh hai ®-êng th¼ng song song  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng song song víi ®-êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: + ë vÞ trÝ so le trong + ë vÞ trÝ so le ngoµi + ë vÞ trÝ ®ång vÞ. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn - Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh D¹ng 3: Chøng minh hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc  C¸ch chøng minh: - Chóng song song song song víi hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c. - §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. D¹ng 4: Chøng minh ba ®-êng th¼ng ®ång quy.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: - Tr-êng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Tr-êng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Tr-êng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau
• 28. THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 28 D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t-¬ng øng tû lÖ - Cã ba c¹nh t-¬ng øng tû lÖ * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t-¬ng øng tû lÖ D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc  C¸ch chøng minh: Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: MAC  MDB hoÆc MAD  MCB - NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®-êng th¼ng th× ph¶i chøng minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE  MFB MCE  MFD  MA.MB = MC.MD * Tr-êng hîp ®Æc biÖt: MT2 = MA.MB ta chøng minh MTA  MBT D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp  C¸ch chøng minh: DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O;R)  C¸ch chøng minh: - Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R) - Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh - Dïng gãc néi tiÕp. D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc  C¸ch tÝnh: - Dùa vµo hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. - Dùa vµo tû sè l-îng gi¸c - Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng - Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch... ®©y chØ lµ mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña ch-¬ng tr×nh to¸n 9 ®Ó «n tËp tèt h¬n c¸c em cÇn ®äc kü tµi liÖu vµ xem thªm s¸ch gi¸o khoa to¸n 9 CHÚC CÁC EM THI TỐT ! HOÀNG THÁI VIỆT